1. Adım: Verilen kesri en sade haline getirelim (Her iki tarafı 6’ya bölelim):

$$ \frac{48}{54} = \frac{48 \div 6}{54 \div 6} = \frac{8}{9} $$

2. Adım: \( 8 \) ve \( 9 \) aralarında asaldır (ortak bölenleri yoktur). Eşitlemeyi yapalım:

$$ \frac{a + 2}{18 – b} = \frac{8}{9} $$

3. Adım: Pay ve paydaları eşitleyerek bilinmeyenleri bulalım:

• \( a + 2 = 8 \Rightarrow a = 6 \)
• \( 18 – b = 9 \Rightarrow b = 9 \)

Sonuç:

$$ a + b = 6 + 9 = 15 $$

1. Adım: \( 532 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 532 \div 2 = 266 \)
• \( 266 \div 2 = 133 \)
• \( 133 \div 7 = 19 \)
• \( 19 \div 19 = 1 \) (Asal sayı)

2. Adım: Sayının üslü ifadesini yazalım:

$$ 532 = 2^2 \cdot 7 \cdot 19 $$

Sonuç: Asal çarpanlar \( 2, 7, 19 \)’dur. En büyüğü 19 olduğu için güvenlik anahtarı budur.

1. Adım: \( 660 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 660 \div 2 = 330 \)
• \( 330 \div 2 = 165 \)
• \( 165 \div 3 = 55 \)
• \( 55 \div 5 = 11 \)
• \( 11 \div 11 = 1 \)

2. Adım: Asal çarpanların listesi:

$$ 660 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 $$

Asal çarpanlar: \( \{2, 3, 5, 11\} \)

Sonuç: Şıklardaki \( 3, 5, 11 \) listede vardır. Ancak 7 sayısı \( 660 \)’ın asal çarpanı değildir.

1. Adım: Sayı hem \( 8 \)’e hem de \( 9 \)’a bölünmelidir.

• A) 60: 8 ve 9’a bölünmez.
• C) 84: 8 ve 9’a bölünmez.
• D) 96: 8’e bölünür ama 9’a bölünmez.

2. Adım: B şıkkı \( 72 \)’yi kontrol edelim:

• \( 8 \) ve \( 9 \)’a tam bölünür.
• Çarpan sayısı: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \Rightarrow (3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12 \) adettir.

Sonuç: Tüm şartları sağlayan sayı \( 72 \)’dir.

1. Adım: Yukarıdan aşağıya işlemleri yapalım:

• \( 150 = 2 \cdot A \Rightarrow A = 75 \)
• \( A = 3 \cdot B \Rightarrow 75 = 3 \cdot B \Rightarrow B = 25 \)
• \( B = 5 \cdot C \Rightarrow 25 = 5 \cdot C \Rightarrow C = 5 \)

Sonuç: Bulunan sayılar \( 5, 25, 75 \)’tir. \( 35 \) bu sayılardan biri değildir.

1. Adım: “Gökkuşağı Yöntemi” ile (baştan ve sondan çarpımlar eşittir) \( M \) sayısını bulalım:

$$ 5 \cdot 9 = 45 \quad (\text{M sayısı 45’tir}) $$

2. Adım: Diğer bilinmeyenleri bulalım:

• \( 3 \cdot A = 45 \Rightarrow A = 15 \)
• \( 1 \cdot B = 45 \Rightarrow B = 45 \)

Sonuç:

$$ A + B = 15 + 45 = 60 $$

1. Adım: İfadeyi \( 10 \)’un kuvveti olacak şekilde düzenleyelim:

$$ 2^{x+3} \cdot 5^x = 2^3 \cdot 2^x \cdot 5^x $$ $$ = 8 \cdot (2 \cdot 5)^x = 8 \cdot 10^x $$

2. Adım: Bu sayı \( 8 \) ile başlayıp yanına \( x \) tane sıfır konulan bir sayıdır.

Sonuç: Şıklarda \( 8 \) ile başlayan tek sayı \( 800 \)’dür (x=2 durumu).

1. Adım: Liste küçükten büyüğe sıralı olduğu için: \( 3 \le a \le b \le 7 \). \( a \) ve \( b \) asal ve birbirinden farklı olmalıdır.

2. Adım: \( A \)’nın en büyük olması için \( a \) ve \( b \) en büyük seçilmelidir:

• En büyük asal çarpan \( b = 7 \) olsun.
• Ondan farklı en büyük asal \( a = 5 \) olsun.

3. Adım: A sayısını hesaplayalım:

$$ A = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 735 $$

1. Adım: Karenin kenarının 1 metre olması zorunluysa, levhanın en ve boy ölçüleri aralarında asal olmalıdır (EBOB=1).

2. Adım: Seçenekleri inceleyelim:

• A) \( \text{EBOB}(18, 24) = 6 \)
• B) \( \text{EBOB}(21, 35) = 7 \)
• C) \( \text{EBOB}(30, 45) = 15 \)
• D) \( \text{EBOB}(25, 36) = 1 \) (25 ve 36 aralarında asaldır).

Sonuç: D seçeneğindeki levha sadece \( 1 \times 1 \)’lik karelere bölünebilir.

1. Adım: \( 3^a \) ifadesinden aşağı 3 ok çıkmış ve her biri 3’ü gösteriyor. Yani 3 tane 3’ün çarpımı:

$$ 3^a = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 \Rightarrow a = 3 $$

2. Adım: Sağ koldaki \( 49 \) sayısı \( 7^b \)’ye eşittir.

$$ 49 = 7^2 \Rightarrow b = 2 $$

Sonuç:

$$ a + b = 3 + 2 = 5 $$

1. Adım: \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \) olduğu için, \( 36 \)’nın asal çarpanları \( 2 \) ve \( 3 \)’tür.

2. Adım: Aralarında asal oldukları için \( A \) sayısının içinde \( 2 \) veya \( 3 \) çarpanı bulunamaz.

Sonuç: \( A \) sayısının içinde \( 2 \) çarpanı yoksa, bu sayı çift olamaz. Dolayısıyla \( A \) kesinlikle tek sayıdır.

1. Adım: “Gökkuşağı yöntemi” ile \( K \) sayısını bulalım:

$$ K = 2 \cdot 42 = 84 $$

2. Adım: \( 84 \)’ü veren diğer eşleşmelere bakalım:

• \( 1 \cdot 84 = 84 \)
• \( 2 \cdot 42 = 84 \)
• \( 3 \cdot 28 = 84 \)
• \( 4 \cdot 21 = 84 \)
• \( 6 \cdot 14 = 84 \)

3. Adım: Sırada \( 7 \) var. \( 7 \cdot ? = 84 \) olmalı.

$$ ? = \frac{84}{7} = 12 $$

Listede \( 12 \) sayısı eksiktir.