1. Adım: Değişken Atama
En hafif koliye (A) \(x\) diyelim. Diğer kolileri buna göre yazalım:

• A Kolisi: \(x\)
• C Kolisi: A’nın 2 katı olduğundan \(2x\)
• B Kolisi: A’dan 3 fazla olduğundan \(x + 3\)

2. Adım: Denklem Kurma
Kolilerin çarpımı \(648\) olarak verilmiştir:

$$x \cdot (x+3) \cdot 2x = 648$$

3. Adım: İşlem
İfadeyi düzenleyip her iki tarafı \(2\)’ye bölelim:

$$2x^2(x+3) = 648$$

$$x^2(x+3) = 324$$

4. Adım: Sonuç
Karesi ile kendisinin 3 fazlasının çarpımı \(324\) olan sayıyı bulalım (Deneme yoluyla):

\(x = 6\) için: \(36 \cdot (6+3) = 36 \cdot 9 = 324\)

Sağladığına göre A kolisinin ağırlığı 6 kg‘dır.

1. Adım: Dizideki bilinen çarpan çiftlerinden \( K \) sayısını bulalım. Baştan 3. sayı \( 3 \) ve sondan 3. sayı \( 28 \)’dir.

$$K = 3 \times 28 = 84$$

2. Adım: Bulduğumuz \( K = 84 \) değerini kullanarak bilinmeyen harfleri hesaplayalım:

• \( D \) Değeri: Baştan 2. sayı \( (2) \) ile eşleşir.
  \( 2 \times D = 84 \implies D = 42 \)
• \( C \) Değeri: Baştan 4. sayı \( (4) \) ile eşleşir.
  \( 4 \times C = 84 \implies C = \mathbf{21} \)
• \( A \) Değeri: Sondan 5. sayı \( (14) \) ile eşleşir.
  \( A \times 14 = 84 \implies A = 6 \)
• \( B \) Değeri: Baştan 6. sayı \( (7) \) ile sondan 6. sayı \( (B) \) eşleşir.
  \( 7 \times B = 84 \implies B = 12 \)

Sonuç: Bulunan değerler \( \{6, 12, 21, 42\} \) kümesidir. Seçeneklerde sadece \( 21 \) sayısı (C şıkkı) mevcuttur.

1. Adım: Ortak Zamanı Bulma (EKOK)
Sistemlerin tekrar ne zaman aynı anda çalışacağını bulmak için periyotların en küçük ortak katını hesaplayalım:

$$ \text{EKOK}(12, 16) = 48 \text{ saat} $$

Sistemler başlangıçtan \(48\) saat sonra tekrar birlikte çalışacaktır.

2. Adım: Toplam Çalışma Sayısını Hesaplama
Başlangıç anı (0. saat) ve bitiş anı (48. saat) dahil olmak üzere, her iki sistemin kaç kez çalıştığını bulalım:

• A Sistemi (12 saatte bir):
  Çalışma Anları: \(0, 12, 24, 36, 48\)
  Toplam: \(5\) kez.
• B Sistemi (16 saatte bir):
  Çalışma Anları: \(0, 16, 32, 48\)
  Toplam: \(4\) kez.

3. Adım: Kalan Miktarı Bulma
Toplam harcanan doz miktarını hesaplayıp depodan düşelim:

$$ \text{Toplam Doz} = 5 + 4 = 9 \text{ doz} $$

$$ \text{Kalan} = 25 – 9 = 16 \text{ doz} $$

1. Adım: Bir doğal sayının pozitif bölenleri için temel kural:

• En küçük pozitif bölen daima \( 1 \)’dir.
• En büyük pozitif bölen daima sayının kendisidir.

2. Adım: A ve B sayılarını denkleme dökelim:

$$ A + 1 = 41 \implies A = 40 \text{ dakika} $$ $$ B – 1 = 47 \implies B = 48 \text{ dakika} $$

3. Adım: Sensörler \( 40 \) ve \( 48 \) dakikada bir çalıştığına göre, tekrar karşılaşma süreleri bu sayıların EKOK’udur. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

$$ 40 = 2^3 \cdot 5 $$ $$ 48 = 2^4 \cdot 3 $$

EKOK için ortak tabanlardan üssü büyük olanlar ve ortak olmayanlar alınır:

$$ \text{EKOK}(40, 48) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 15 = 240 $$

Sonuç: İki sensör \( 240 \) dakika sonra tekrar aynı anda sinyal verir.

Strateji: Verilen sayıyı asal çarpanlarına ayırarak asal çarpanlar kümesini oluşturacağız.

1. Adım: Çarpanlara Ayırma
Sayımızı en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim:

$$ 420 \div 2 = 210 $$ $$ 210 \div 2 = 105 $$ $$ 105 \div 3 = 35 $$ $$ 35 \div 5 = 7 $$ $$ 7 \div 7 = 1 $$

2. Adım: Asal Çarpanlar Listesi
Bulduğumuz asal bölenleri listeleyelim:

$$ 420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 $$

Asal çarpanlar kümesi: \(\{2, 3, 5, 7\}\)

3. Adım: Seçenek Kontrolü
Seçenekler incelendiğinde \(3\), \(5\) ve \(7\) kümede mevcuttur. Ancak \(13\) sayısı \(420\)’nin bir asal çarpanı değildir.

1. Adım: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

$$ 15 = 3 \cdot 5 $$ $$ 20 = 2^2 \cdot 5 $$

2. Adım: EKOK hesaplayalım (Ortak asal çarpanlardan üssü büyük olanlar ve ortak olmayanlar):

$$ \text{EKOK}(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $$ $$ \text{EKOK}(15, 20) = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $$

Sonuç: Kulelerin yüksekliği en az \( 60 \text{ cm} \) olduğunda eşitlenir. (Bu durumda turuncu tuğladan 4 adet, mavi tuğladan 3 adet kullanılmış olur.)

Strateji: Otobüsler periyodik aralıklarla hareket ettiğinden ve “aynı anda” karşılaşmaları sorulduğundan, periyotların en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

1. Adım: Asal Çarpanlarına Ayırma
Sayıları asal çarpanlarının kuvveti şeklinde yazalım:

$$ 24 = 2^3 \cdot 3 $$ $$ 36 = 2^2 \cdot 3^2 $$

2. Adım: EKOK Hesabı
Ortak katların en küçüğü için, her asal çarpanın en büyük üssünü alıp çarparız:

$$ \text{EKOK}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 $$

$$ \text{EKOK}(24, 36) = 8 \cdot 9 = \mathbf{72} $$

Sonuç:
İki otobüs ilk kez 72. dakikada aynı anda perona yanaşır.

1. Adım: Sayıları inceleyelim:

$$ A = 2^4 \cdot 3^2 $$ $$ B = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 $$

2. Adım: En büyük üsleri seçelim:

• 2 Tabanı: \( 2^4 \) ve \( 2^2 \) \(\rightarrow\) Büyük olan \( \mathbf{2^4} \) alınır.
• 3 Tabanı: \( 3^2 \) ve \( 3^1 \) \(\rightarrow\) Büyük olan \( \mathbf{3^2} \) alınır.
• 5 Tabanı: Sadece B’de var \(\rightarrow\) \( \mathbf{5^2} \) alınır.

3. Adım: Seçilenleri çarpalım:

$$ \text{EKOK}(A, B) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 $$

Değerleri hesaplayalım:

• \( 2^4 = 16 \)
• \( 3^2 = 9 \)
• \( 5^2 = 25 \)

$$ 16 \cdot 9 \cdot 25 = 144 \cdot 25 = 3600 $$

Sonuç: Sunucuların sürelerinin en küçük ortak katı 3600‘dür.

Strateji: Aralarında asallık tanımı (\(\text{EBOB}(X,Y)=1\)) üzerinden öncülleri test edeceğiz.

1. Adım (I. Öncül):
\(X\) ve \(Y\) sayılarının her ikisi de \(5\)’in katı ise, bu sayıların en az bir ortak böleni (\(5\)) vardır. Bu durumda \(\text{EBOB}(X,Y) \geq 5\) olur. Ancak aralarında asal sayıların EBOB’u \(1\) olmalıdır.
Sonuç: I. ifade kesinlikle yanlıştır.

---

2. Adım (II. Öncül):
\(X\) ve \(Y\) asal sayı olabilir. Örneğin \(X=3\) ve \(Y=7\) seçilirse, \(\text{EBOB}(3,7)=1\) olur ve şart sağlanır.
Sonuç: II. ifade yanlış olmayabilir.

---

3. Adım (III. Öncül):
Toplamı \(16\) olan ve aralarında asal olan sayı çiftleri bulunabilir. Örneğin \(1\) ve \(15\) veya \(3\) ve \(13\).
Sonuç: III. ifade yanlış olmayabilir.

1. Adım: \( A \) sayısını hesaplayalım:

$$ A = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 90 $$

2. Adım: \( B \) sayısını hesaplayalım:

$$ B = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 150 $$

3. Adım: Seçenekleri kontrol edelim veya EBOB bulalım. Her iki sayıyı da bölen en büyük sayı (EBOB):

$$ \text{EBOB}(90, 150) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $$

Sonuç: \( 30 \) sayısı hem \( 90 \)’ı hem de \( 150 \)’yi kalansız böler.

Strateji: İki sayının ortak bölenleri, bu sayıların En Büyük Ortak Böleninin (EBOB) çarpanlarıdır.

1. Adım: Asal Çarpanlara Ayırma
Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

$$36 = 2^2 \cdot 3^2$$ $$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$

2. Adım: EBOB Hesabı
Ortak asal çarpanların en küçük üslerini çarpalım:

$$ \text{EBOB}(36, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12 $$

3. Adım: Ortak Bölen Listesi
\(12\)’nin bölenlerini bulduğumuzda, her iki sayının da ortak bölenlerini bulmuş oluruz:

$$ 12 \text{‘nin çarpanları: } \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} $$

Analiz:
Seçenekler incelendiğinde tam listeyi veren şık B’dir.

1. Adım: Verilen kesri inceleyelim. \( 35 \) ve \( 56 \) sayıları aralarında asal değildir; her ikisi de \( 7 \)’ye bölünür. Kesri sadeleştirelim:

$$ \frac{35}{56} = \frac{35 \div 7}{56 \div 7} = \frac{5}{8} $$

2. Adım: Artık \( 5 \) ve \( 8 \) aralarında asaldır. Payı paya, paydayı paydaya eşitleyebiliriz:

• Pay: \( A + 2 = 5 \implies A = 3 \)
• Payda: \( 40 – B = 8 \implies B = 32 \)

3. Adım: Bizden \( A + B \) toplamı istenmektedir:

$$ A + B = 3 + 32 = 35 $$

Sonuç: Doğru cevap 35‘tir.