Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

$$24 = 2^3 \cdot 3^1$$ $$30 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1$$

Adım 2: Ortak tabanlardan üssü en büyük olanlar ve ortak olmayan çarpanlar alınır.

$$EKOK(24, 30) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$$ $$= 8 \cdot 3 \cdot 5$$ $$= \mathbf{120}$$

1. Adım: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

$$30 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1$$ $$120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$$

2. Adım: EKOK değerinde \(2^3\) çarpanı vardır. Ancak \(30\) sayısında sadece \(2^1\) bulunur. Bu nedenle \(B\) sayısı mutlaka \(2^3\) yani \(8\) çarpanını içermek zorundadır.

3. Adım: Seçenekleri kontrol edelim:

• A) \(8 = 2^3\) (İçeriyor, olabilir)
• B) \(24 = 2^3 \cdot 3\) (İçeriyor, olabilir)
• C) \(40 = 2^3 \cdot 5\) (İçeriyor, olabilir)
• D) \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\) (Hatalı: \(2^3\) yok, sadece \(2^2\) var. Bu durumda EKOK \(120\) değil \(60\) çıkardı.)

Sonuç: \(60\) sayısı gerekli olan \(8\) çarpanını sağlamadığı için \(B\) sayısı olamaz.

Verilen ifadenin paydalarını eşitleyelim (EKOK: 18):

$$ \frac{K}{6} + \frac{K}{9} = \frac{3K + 2K}{18} = \frac{5K}{18} $$

Sonucun tam sayı olması için \(5K\) sayısı \(18\)’e tam bölünmelidir. \(5\) ile \(18\) aralarında asal olduğundan, \(K\) sayısı \(18\)’in katı olmalıdır.

\(K\) iki basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre:

$$ K \in \{18, 36, 54, 72, 90\} $$

Bu şartı sağlayan toplam 5 farklı değer vardır.

1. Adım: Sayıların EKOK değerini bulalım:

$$15 = 3 \cdot 5$$ $$25 = 5^2$$ $$\text{EKOK}(15, 25) = 3 \cdot 5^2 = 75$$

2. Adım: \(75\)’in katı olan en büyük üç basamaklı sayıyı bulmak için \(999\)’u \(75\)’e böleriz:

$$999 \div 75 = 13,32$$

Tam kısmı (\(13\)) alırız:

$$13 \cdot 75 = 975$$

3. Adım: Bulunan \(975\) sayisinin rakamları toplamı:

$$9 + 7 + 5 = 21$$

İki öğrencinin ortak söylediği sayılar, \(6\) ve \(8\)’in ortak katlarıdır. Önce en küçük ortak katı (EKOK) bulalım:

$$ 6 = 2 \cdot 3 $$ $$ 8 = 2^3 $$ $$ \text{EKOK}(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 24 $$

\(100\)’e kadar olan \(24\)’ün katlarını yazalım:

$$ \{24, 48, 72, 96\} $$

Seçenekler incelendiğinde \(60\) sayısı bu kümede yer almaz (Çünkü \(60\), \(24\)’e tam bölünmez).

1. Adım: Seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) \(A=5\) ve \(B=8\): Aralarında asal sayılardır. $$\text{EKOK}(5, 8) = 5 \cdot 8 = 40$$
• B) \(B=8\) ve \(C=10\): $$8 = 2^3, \quad 10 = 2 \cdot 5 \implies \text{EKOK} = 2^3 \cdot 5 = 40$$
• C) \(B=8\) ve \(D=20\): $$8 = 2^3, \quad 20 = 2^2 \cdot 5 \implies \text{EKOK} = 2^3 \cdot 5 = 40$$
• D) \(C=10\) ve \(D=20\): Büyük sayı küçüğün tam katı olduğunda (\(20 = 2 \cdot 10\)), EKOK büyük sayıya eşittir. $$\text{EKOK}(10, 20) = \mathbf{20}$$

Sonuç: A, B ve C seçeneklerinde sonuç \(40\) iken, D seçeneğinde \(20\)’dir.

Pratik Bilgi: \(\frac{\text{EKOK}}{\text{EBOB}}\) oranı, algoritmadaki ortak olmayan (sadece bir harfin değiştiği) asal çarpanların çarpımına eşittir.

Algoritmayı inceleyelim:

• Her iki harfin değiştiği satırlar (1, 2 ve 5. satırlar) EBOB’u oluşturur. Bunları eliyoruz.
• Geriye kalan ortak olmayan çarpanları alıyoruz:

$$ 3. \text{ satır: } 2 $$ $$ 4. \text{ satır: } 2 $$ $$ 6. \text{ satır: } 3 $$

Bu sayıların çarpımı doğrudan sonucu verir:

$$ 2 \cdot 2 \cdot 3 = \mathbf{12} $$

1. Adım: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

$$48 = 2^4 \cdot 3^1$$ $$60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$$

2. Adım: EBOB için sadece ortak olan asal çarpanların en küçük üslerini alırız:

$$\text{EBOB}(48, 60) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$$

3. Adım: EKOK için tüm asal çarpanların en büyük üslerini alırız:

$$\text{EKOK}(48, 60) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1$$ $$16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$$

Sonuç: EBOB \(12\), EKOK \(240\)’tır.

Kural: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK’larının çarpımına eşittir.

$$ \text{Sayı}_1 \cdot \text{Sayı}_2 = \text{EBOB} \cdot \text{EKOK} $$

Verilenleri yerine yazalım:

$$ A \cdot 24 = 6 \cdot 72 $$

\(A\)’yı yalnız bırakmak için her iki tarafı \(24\)’e bölelim:

$$ A = \frac{6 \cdot 72}{24} $$

\(72\) sayısı \(24\)’ün \(3\) katıdır (\(72 \div 24 = 3\)). Sadeleştirme yaparsak:

$$ A = 6 \cdot 3 $$ $$ A = \mathbf{18} $$

1. Adım: \(24\) ve \(36\) sayılarının EKOK değerini bulalım:

$$24 = 2^3 \cdot 3$$ $$36 = 2^2 \cdot 3^2$$ $$\text{EKOK}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$$

2. Adım: \(745\) sayısını \(72\)’ye bölüp kalanı bulalım. Kalan sayı, çıkarmamız gereken fazlalıktır.

$$745 \div 72$$

Bölme işlemini yaparsak:

$$72 \cdot 10 = 720$$ $$745 – 720 = 25$$

Sonuç: Kalan \(25\)’tir. \(745\)’ten \(25\) çıkarılırsa sonuç \(720\) olur ve \(72\)’ye tam bölünür.

Toplamın en az olması için, sayıların aralarında asal olması ve birbirine en yakın seçilmesi gerekir.

\(120\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

$$ 120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 $$

Çarpanları aralarında asal olacak şekilde iki gruba ayıralım:

$$ 1. \text{ Sayı} = 2^3 = 8 $$ $$ 2. \text{ Sayı} = 3 \cdot 5 = 15 $$

Bu iki sayının toplamı:

$$ 8 + 15 = \mathbf{23} $$

1. Adım: Kuralı uygulayalım:

$$\text{1. Sayı} \cdot \text{2. Sayı} = \text{EBOB} \cdot \text{EKOK}$$ $$K \cdot 20 = 4 \cdot 60$$

2. Adım: İşlemi sadeleştirerek \(K\) sayısını bulalım:

$$K \cdot 20 = 240$$ $$K = \frac{240}{20}$$ $$K = 12$$

Sağlama: \(12\) ve \(20\)’nin EBOB’u \(4\), EKOK’u \(60\)’tır. İşlem doğrudur.