1. Adım: Terazi dengede olduğuna göre matematiksel eşitlik şöyledir:

$$A + B = C + D$$

2. Adım: Asal sayıları hatırlayalım: \( \{2, 3, 5, 7, 11, \dots \} \).
Burada 2 çift, diğer tüm asal sayılar tek sayıdır.

3. Adım: A seçeneğini ( \( A = 2 \) ) test edelim:

• \( A = 2 \) (Çift) olursa, sayılar birbirinden farklı olduğu için geriye kalan \( B, C, D \) sayıları kesinlikle Tek asal sayı olmak zorundadır.
• Bu durumda eşitliğin sol tarafı: \( \text{Çift (A)} + \text{Tek (B)} = \mathbf{TEK} \) olur.
• Eşitliğin sağ tarafı: \( \text{Tek (C)} + \text{Tek (D)} = \mathbf{ÇİFT} \) olur.

Sonuç: Matematikte \( \text{Tek} = \text{Çift} \) olması imkansızdır. Bu nedenle \( A \) sayısı 2 olamaz.

I. İfade: \( a \cdot b + c \)

$$T \cdot T + T = T + T = \text{Çift}$$

Sonuç \( 2 \)’den büyük bir çift sayı olacağı için (örneğin \( 3 \cdot 5 + 7 = 22 \)) asal olamaz.

II. İfade: \( a + b – c \)

$$T + T – T = \text{Çift} – T = \text{Tek}$$

Sonuç tek sayı olduğu için asal olabilir. Örnek: \( 7 + 11 – 5 = 13 \) (Asaldır).

III. İfade: \( (a + b) \cdot c \)

$$(T + T) \cdot T = \text{Çift} \cdot T = \text{Çift}$$

Sonuç \( 2 \)’den büyük bir çift sayı olduğu için asal olamaz.

Sonuç: I ve III numaralı işlemler kesinlikle asal sayı belirtmez.

1. Adım: Listede bilinen en dıştaki tam sayı çiftini (baştan ikinci ve sondan ikinci) kullanarak \( M \) sayısını bulalım:

$$2 \cdot 66 = 132 \implies M = 132$$

2. Adım: Çarpımları 132 olan diğer çiftleri kontrol edelim:

• \( 1 \cdot 132 = 132 \) (Mevcut)
• \( 3 \cdot 44 = 132 \) (Mevcut)
• \( 4 \cdot 33 = 132 \) (Mevcut)
• \( 11 \cdot 12 = 132 \) (Mevcut)

3. Adım: Listede eşleşmeyen \( 22 \) sayısı kalmıştır. Bu sayının eşini (unutulan sayıyı) bulmak için:

$$x \cdot 22 = 132$$

$$x = \frac{132}{22} = 6$$

Sağlama: Bulunan 6 sayısı, listedeki 4 ile 11 arasına yerleşir. Sıralama \( 4 < 6 < 11 \) şeklinde korunduğu için işlem doğrudur.

1. Adım: Ortak kenarın alabileceği en büyük değeri bulmak için 72 ve 108 sayılarının EBOB’unu hesaplayalım:

$$72 = 2^3 \cdot 3^2$$

$$108 = 2^2 \cdot 3^3$$

$$\text{EBOB}(72, 108) = 36$$

2. Adım: Ortak kenar, 36’nın 1’den büyük bölenleri olabilir: \( \{2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \).
Çevre formülümüz şudur: \( \text{Çevre} = 2 \cdot (\text{Ortak Kenar} + \text{Toplam Uzunluk}) \)
Toplam Uzunluk ise \( (72 + 108) / \text{Ortak Kenar} = 180 / \text{Ortak Kenar} \) formülüyle bulunur.

3. Adım: Şıklardaki değerleri kontrol edelim:

• Ortak Kenar = 12 ise: Toplam Uzunluk = \( 180 / 12 = 15 \).
  Çevre = \( 2 \cdot (12 + 15) = 54 \) cm. (A şıkkı olabilir)
• Ortak Kenar = 9 ise: Toplam Uzunluk = \( 180 / 9 = 20 \).
  Çevre = \( 2 \cdot (9 + 20) = 58 \) cm. (B şıkkı olabilir)
• Ortak Kenar = 4 ise: Toplam Uzunluk = \( 180 / 4 = 45 \).
  Çevre = \( 2 \cdot (4 + 45) = 98 \) cm. (C şıkkı olabilir)

Sonuç: Ortak kenar en küçük değeri olan \( 2 \) cm’yi aldığında bile çevre en fazla:
\( 2 \cdot (2 + 90) = 184 \) cm olmaktadır. Çevrenin 200 cm olması için ortak kenarın 1’den küçük olması gerekirdi, bu da kurala aykırıdır.

1. Adım: Fark Analizi

\( 18 – 13 = 5 \) ve \( 24 – 19 = 5 \). Farklar eşittir. Bu demek oluyor ki, elma sayısına \( 5 \) eklersek hem \( 18 \)’e hem de \( 24 \)’e tam bölünür.

$$A + 5 = \text{EKOK}(18, 24) \cdot k$$

2. Adım: EKOK Hesaplama

\( 18 = 2 \cdot 3^2 \) ve \( 24 = 2^3 \cdot 3 \)

$$\text{EKOK}(18, 24) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$$

Demek ki \( A + 5 \), \( 72 \)’nin katı olmalıdır.

3. Adım: Şarta Uygunluk (\( A > 600 \))

\( 72 \)’nin \( 600 \)’ü geçen en küçük katını bulalım:

$$72 \cdot 8 = 576 \quad (\text{Küçük})$$ $$72 \cdot 9 = 648 \quad (\text{Uygun})$$

Sonuç:

$$A + 5 = 648 \Rightarrow A = 648 – 5 = 643$$

1. Adım: 12 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$

Bu, 12’nin içinde 2 ve 3 asal çarpanlarının bulunduğu anlamına gelir.

2. Adım: Aralarında asallık kuralı gereği, \( K \) sayısının içinde 12’nin asal çarpanları (2 ve 3) bulunamaz.

• \( K \)’nın içinde 2 çarpanı yoksa, \( K \) kesinlikle TEK sayıdır.
• \( K \)’nın içinde 3 çarpanı yoksa, \( K \) 3’ün katı değildir.

3. Adım: Şıkları analiz edelim:

• A şıkkı: \( K \) asal olmak zorunda değildir. Örneğin \( K=25 \) (çarpanları sadece 5) seçilirse, 12 ile aralarında asaldır ama kendisi asal değildir. (Her zaman doğru değil)
• C şıkkı: \( K \) sayısı 3’ün katı olamaz, çünkü ortak bölen oluşur. (Yanlış)
• D şıkkı: \( K \) çift olamaz, çünkü içinde 2 çarpanı bulunmamalıdır. (Yanlış)
• B şıkkı: 12 sayısı Çift, \( K \) sayısı Tektir.
  Matematiksel kural: \( \text{Çift} + \text{Tek} = \text{TEK} \).

Sonuç: \( 12 + K \) işleminin sonucu daima tek sayıdır.

A) \( 75 \) Sayısı:

\( 75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2 \)

Asal çarpanları: \( \{3, 5\} \) (2 adet)

---

B) \( 128 \) Sayısı:

\( 128 = 2^7 \)

Asal çarpanları: \( \{2\} \) (1 adet)

---

C) \( 180 \) Sayısı:

\( 180 = 18 \cdot 10 = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) \)

\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

Asal çarpanları: \( \{2, 3, 5\} \) (3 adet)

---

D) \( 243 \) Sayısı:

\( 243 = 3^5 \)

Asal çarpanları: \( \{3\} \) (1 adet)

Sonuç:

\( 180 \) sayısı \( 3 \) farklı asal çarpana sahipken, diğerleri daha azdır.

1. Adım: İlk sayı olan 162’yi asal çarpanlarına ayıralım:

$$162 = 2 \cdot 81$$

81 sayısı 3’ün 4. kuvvetidir (\( 3^4 \)). Yerine yazalım:

$$162 = 2 \cdot 3^4$$

Verilen eşitlik \( 3^m \cdot 2 \) olduğuna göre, 3’ün kuvvetleri eşit olmalıdır:

\( m = 4 \) bulunur.

2. Adım: İkinci sayı olan 200’ü asal çarpanlarına ayıralım:

$$200 = 2 \cdot 100 = 2 \cdot 10^2$$

Daha detaylı ayırırsak:

$$200 = 8 \cdot 25 = 2^3 \cdot 5^2$$

Verilen eşitlik \( 2^3 \cdot 5^n \) olduğuna göre, 5’in kuvvetleri eşit olmalıdır:

\( n = 2 \) bulunur.

Sonuç: Bizden \( m + n \) toplamı istenmiştir:

$$m + n = 4 + 2 = 6$$

A) \( 21 \) Sayısı:

$$84 \div 21 = 4 \quad (\text{Tam bölünür, çarpanıdır})$$

C) \( 28 \) Sayısı:

$$84 \div 28 = 3 \quad (\text{Tam bölünür, çarpanıdır})$$

D) \( 42 \) Sayısı:

$$84 \div 42 = 2 \quad (\text{Tam bölünür, çarpanıdır})$$

B) \( 24 \) Sayısı:

$$84 \div 24 = 3,5$$

Sonuç ondalıklı sayı çıktığı için \( 24 \), \( 84 \)’ün bir çarpanı değildir.

1. Adım: En küçük asal sayıları sırasıyla alıp karelerini (okunan sayfa sayılarını) hesaplayalım:

• 2 Asalı: \( 2^2 = 4 \) → Çarpanları: 1, 2, 4 (Toplam 3 tane)
• 3 Asalı: \( 3^2 = 9 \) → Çarpanları: 1, 3, 9 (Toplam 3 tane)
• 5 Asalı: \( 5^2 = 25 \) → Çarpanları: 1, 5, 25 (Toplam 3 tane)
• 7 Asalı: \( 7^2 = 49 \) → Çarpanları: 1, 7, 49 (Toplam 3 tane)

2. Adım: Soruda “en az” sayfa sayısı sorulduğu ve sayıların “birbirinden farklı” olduğu belirtilmiştir. Bu yüzden bulduğumuz en küçük üç değeri seçmeliyiz.

Seçilen Sayılar: \( 4, 9, 25 \)

Sonuç: Toplam sayfa sayısını bulalım:

$$4 + 9 + 25 = 38$$

1. Adım: Değerleri Bulalım

\( N = 1 \cdot 7 = 7 \)

\( M = 7 \cdot 3 = 21 \)

\( L = 21 \cdot 2 = 42 \)

\( K = 42 \cdot 2 = 84 \)

2. Adım: İşlemi Yapalım

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:

$$ \frac{K + L}{M – N} = \frac{84 + 42}{21 – 7} $$ $$ = \frac{126}{14} = 9 $$

1. Adım: A seçeneğindeki 87 sayısını inceleyelim. Rakamları toplamı \( 8+7=15 \) olduğundan 3’e bölünür.

$$87 = 3 \cdot 29$$

Asal çarpanları 3 ve 29’dur. (13 yok)

2. Adım: B seçeneğindeki 91 sayısını inceleyelim. Bu sayı genellikle asal sanılır ancak 7’ye bölünebilir.

$$91 = 7 \cdot 13$$

Asal çarpanları 7 ve 13‘tür. Aradığımız çarpan buradadır.

3. Adım: Diğer seçenekleri kontrol edelim:

• C seçeneği: 103 sayısı asal bir sayıdır. Çarpanları sadece 1 ve 103’tür.
• D seçeneği: 111 sayısının rakamları toplamı 3 olduğu için 3’e bölünür.
  $$111 = 3 \cdot 37$$
  (13 çarpanı yok)

Sonuç: Asal çarpanlarından biri 13 olan sayı 91’dir.