• I. Model (\(15 \times 16\)): \(240/15\) ve \(160/16\) tam bölünür. (Uygun)
• II. Model (\(24 \times 32\)): \(240/24\) ve \(160/32\) tam bölünür. (Uygun)
• III. Model (\(18 \times 25\)): \(240\) sayısı \(18\)’e tam bölünmez (\(240 \div 18 \approx 13,3\)). Aynı şekilde \(160\) sayısı da \(18\)’e bölünmez. (Uygun Değil)
• IV. Model (\(20 \times 40\)): \(240/20\) ve \(160/40\) tam bölünür. (Uygun)

Soruda bizden istenen, şıklardaki sayıların asal çarpanlarını bulup, verilen kümeden \( \{2, 3, 5, 7, 11\} \) tam olarak 3 tanesinden oluşup oluşmadığını kontrol etmektir.

Seçenekleri inceleyelim:

• A) \( 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \) → Asal çarpanları: \( \{2, 3, 5\} \). (3 adet, kurala uyar.)
• B) \( 154 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \) → Asal çarpanları: \( \{2, 7, 11\} \). (3 adet, kurala uyar.)
• C) \( 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11 \) → Asal çarpanları: \( \{3, 5, 11\} \). (3 adet, kurala uyar.)
• D) \( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \) → Asal çarpanları: \( \{2, 3, 5, 7\} \).

Sonuç: \(210\) sayısının 4 tane asal çarpanı vardır. Oyun kuralına göre geriye 3 kart kalması gerektiği için bu sayı söylenemez.

Adım 1: Alanı Bulalım
Kısa kenar \(1\) cm ise, diğer kenar \(A\) (Alan) olur. Çevre 162 cm verildiğine göre: $$ 2 \cdot (1 + A) = 162 \implies 1 + A = 81 \implies A = 80 \text{ cm}^2 $$ Tüm etiketlerin alanı \(80 \text{ cm}^2\) dir.

Adım 2: Tablodaki Bilinmeyenleri Bulalım
Alan = Kısa Kenar \(\times\) Uzun Kenar formülünden:

• K etiketi: \( 4 \cdot x = 80 \implies x = 20 \)
• L etiketi: \( 5 \cdot y = 80 \implies y = 16 \)
• M etiketi: \( 8 \cdot z = 80 \implies z = 10 \)

Adım 3: Şıkları Kontrol Edelim

• A) \( x – y = 20 – 16 = 4 \) (DOĞRU)
• B) \( y + z = 16 + 10 = 26 \) (Yanlış)
• C) \( x = 20 \) (Yanlış)
• D) \( z = 10 \) (Yanlış)

Verilen alan \( A = 60 \)’tır. Şıkları deneyerek toplam alanın tam kare olup olmadığına bakalım:

• A) \( 60 + 40 = 100 \) (Tam kare: \( 10^2 \)) ✔ Olabilir
• B) \( 60 + 84 = 144 \) (Tam kare: \( 12^2 \)) ✔ Olabilir
• C) \( 60 + 120 = 180 \) (Tam kare değil: \( \sqrt{180} \notin \mathbb{Z} \)) ✘ Olamaz
• D) \( 60 + 165 = 225 \) (Tam kare: \( 15^2 \)) ✔ Olabilir

Not: Ayrıca bulunan kare kenarlarının (10, 12, 15), A uygulamasının alanı olan 60’ı tam bölmesi gerekir ki bu şart da sağlanmaktadır.

1. Adım: Kutu sayısı \( 12 \) ile \( 25 \) arasında olacak şekilde \( 120 \)’nin bölenlerini bulalım:

• \( 120 \div 24 = 5 \) litre (24 kutu) [En düşük kapasite]
• \( 120 \div 20 = 6 \) litre (20 kutu)
• \( 120 \div 15 = 8 \) litre (15 kutu)

2. Adım: En az yağ tüketimi için kutu hacmi en küçük olanı (\( 5 \) litre) seçmeliyiz.

3. Adım: Eklenen \( 6 \) kutu için gereken miktar:

$$ 6 \text{ kutu} \times 5 \text{ litre} = 30 \text{ litre} $$

Soruda ustaların eşit ücret kazanması istendiği için birim fiyatların EKOK’unu (En Küçük Ortak Kat) bulmalıyız.

1. Grup: Ahmet (\(15\) TL) ve Berke (\(25\) TL)

• \( \text{EKOK}(15, 25) = 75 \) TL. (Her biri en az 75 TL kazanır.)
• Bu tutar için döşenen alanlar:
  Ahmet: \( 75 / 15 = 5 \text{ m}^2 \)
  Berke: \( 75 / 25 = 3 \text{ m}^2 \)
  Toplam döşenen alan (1 kat için): \( 5 + 3 = 8 \text{ m}^2 \).
• Sınır Kontrolü: Toplam alan \( < 60 \text{ m}^2 \) olmalı.
  \( 8 \cdot k < 60 \) şartını sağlayan en büyük \( k \) değeri 7‘dir (\( 8 \cdot 7 = 56 \)).
• Toplam Kazanç: \( (75 \text{ TL} + 75 \text{ TL}) \cdot 7 = 150 \cdot 7 = \mathbf{1050} \) TL.

2. Grup: Cenk (\(20\) TL) ve Demir (\(30\) TL)

• \( \text{EKOK}(20, 30) = 60 \) TL.
• Bu tutar için döşenen alanlar:
  Cenk: \( 60 / 20 = 3 \text{ m}^2 \)
  Demir: \( 60 / 30 = 2 \text{ m}^2 \)
  Toplam döşenen alan (1 kat için): \( 3 + 2 = 5 \text{ m}^2 \).
• Sınır Kontrolü: Toplam alan \( < 70 \text{ m}^2 \) olmalı.
  \( 5 \cdot m < 70 \) şartını sağlayan en büyük \( m \) değeri 13‘tür (\( 5 \cdot 13 = 65 \)).
  Not: 14 verirsek 70 olur, ancak “70’ten küçük” denildiği için 14 olamaz.
• Toplam Kazanç: \( (60 \text{ TL} + 60 \text{ TL}) \cdot 13 = 120 \cdot 13 = \mathbf{1560} \) TL.

Sonuç:

Tüm ustaların toplam kazancı: \( 1050 + 1560 = \mathbf{2610} \) TL bulunur.

Adım 1: Denklemleri Kuralım
Depo yüksekliğine \( h \) diyelim.
Mavi bloklar için: \( h = 12k + 8 \) (12’nin katından 8 fazla)
Kırmızı bloklar için: \( h = 18m + 14 \) (18’in katından 14 fazla)

Adım 2: Eşitliği Sağlayalım (Sihirli Sayı)
Her iki denklemde de kalanı bölen sayıya tamamlamak için her tarafa \( 4 \) ekleyelim: $$ h + 4 = 12k + 12 = 12(k+1) $$ $$ h + 4 = 18m + 18 = 18(m+1) $$ Bu durumda \( h + 4 \) sayısı, hem \( 12 \)’nin hem de \( 18 \)’in tam katıdır.

Adım 3: EKOK Hesabı
\( \text{EKOK}(12, 18) = 36 \)’dır.
Yani \( h + 4 = 36 \)’nın bir katı olmalıdır: \( h + 4 = 36x \)

Adım 4: Şarta Uygun Değeri Bulalım
Depo yüksekliği \( 3 \) metreden (\( 300 \) cm) fazladır. \( 36 \)’nın katlarını deneyelim:
\( 36 \cdot 8 = 288 \) (300’den küçük)
\( 36 \cdot 9 = 324 \) (300’den büyük, uygun)
Buradan depo yüksekliği: $$ h + 4 = 324 \implies h = 320 \text{ cm} $$

Adım 5: Sonucu Bulalım
Soru bizden Kırmızı bloğun yüksekliğini istemektedir. Depo yüksekliğinden, kırmızı bloğun üzerindeki boşluğu (\( 14 \) cm) çıkarırız: $$ \text{Kırmızı Blok} = 320 – 14 = 306 \text{ cm} $$

1. Adım (EKOK Hesabı): Paket sayıları tam sayı olacağından, bir gruptaki kalem sayısı \( EKOK(10, 12) \) değeri veya katları olmalıdır.

$$ 10 = 2 \cdot 5 $$

$$ 12 = 2^2 \cdot 3 $$

$$ EKOK(10, 12) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $$

Yani her grupta en az \( 60 \) kalem veya \( 60 \)’ın katları kadar kalem olabilir.

2. Adım (Toplam Sayı Kontrolü): Toplam kalem sayısı \( 1000 \)’den fazladır. İki grup eşit olduğu için, her gruptaki kalem sayısı \( 500 \)’den fazla olmalıdır (\( 1000 / 2 = 500 \)).

\( 500 \)’den büyük en küçük \( 60 \) katını bulalım:

$$ 60 \times 8 = 480 \quad (\text{Yetersiz}) $$

$$ 60 \times 9 = 540 \quad (\text{Uygun}) $$

Demek ki her grupta \( 540 \) kalem vardır. (Toplam: \( 1080 > 1000 \))

3. Adım (Paket Sayısı):

1. Grup Paket Sayısı: \( 540 / 10 = 54 \)

2. Grup Paket Sayısı: \( 540 / 12 = 45 \)

Toplam Paket: \( 54 + 45 = 99 \)

1. Adım (EKOK Hesabı): \( 12 \) ve \( 15 \) sayılarının en küçük ortak katını bulalım:

$$ 12 = 2^2 \cdot 3 $$

$$ 15 = 3 \cdot 5 $$

$$ \text{EKOK}(12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $$

Her filo \( 60 \) veya \( 60 \)’ın katları kadar öğrenci taşımıştır.

2. Adım (Sınır Kontrolü): Toplam öğrenci sayısı \( 400 \)’den azdır. İki filo eşit sayıda öğrenci taşıdığına göre, her bir filo \( 200 \)’den az öğrenci taşımalıdır (\( 400 / 2 = 200 \)).

\( 200 \)’den küçük, \( 60 \)’ın en büyük katı:

$$ 60 \times 3 = 180 $$

(Not: \( 60 \times 4 = 240 \) olur ki bu \( 200 \)’ü geçer.)

3. Adım (Araç Sayıları): Her filo \( 180 \) öğrenci taşımıştır.

A Filosu: \( 180 / 12 = 15 \) araç

B Filosu: \( 180 / 15 = 12 \) araç

Toplam: \( 15 + 12 = 27 \) araç.

Yolun uzunluğu hem \( 18 \) hem de \( 24 \)’ün katı olmalıdır. Bu nedenle EKOK hesaplarız.

1. Adım: EKOK Hesabı

• \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
• \( 24 = 2^3 \cdot 3 \)
• \( \text{EKOK}(18, 24) = 72 \text{ cm} \).

2. Adım: Uzun Kenarı Belirleme

Uzunluk \( 200 \) ile \( 400 \text{ cm} \) aralığında olmalı ve çevrenin en fazla olması istendiği için bu aralıktaki en büyük katı seçmeliyiz:

• \( 72 \cdot 3 = 216 \)
• \( 72 \cdot 4 = 288 \)
• \( 72 \cdot 5 = 360 \) &rightarrow; (Aralıktaki en büyük değer)
• \( 72 \cdot 6 = 432 \) &rightarrow; (400’ü geçer, alınamaz)

Böylece Uzun Kenar = \( 360 \text{ cm} \) olarak bulunur.

3. Adım: Kısa Kenar ve Çevre Hesabı

• Uzun kenar, kısa kenarın \( 4 \) katı olduğuna göre:
  \( \text{Kısa Kenar} = 360 / 4 = 90 \text{ cm} \)
• Çevre = \( 2 \cdot (\text{Uzun} + \text{Kısa}) \)
  \( \text{Çevre} = 2 \cdot (360 + 90) = 2 \cdot 450 = \mathbf{900} \text{ cm} \)

Adım 1: Kabinlerin Geçiş Sürelerini Bulalım
Bir kabinin en alt noktadan geçip yerine bir sonraki kabinin gelmesi için geçen süre (periyot): $$ \text{Süre} = \frac{\text{Tam Tur Süresi}}{\text{Kabin Sayısı}} $$

I. Dolap için: \( \frac{20}{8} = 2,5 \) dakika.
II. Dolap için: \( \frac{18}{6} = 3 \) dakika.

Adım 2: Ortak Katı (EKOK) Bulalım
Bu iki sürenin (\( 2,5 \) ve \( 3 \) dakika) en küçük ortak katını bulmalıyız. Ondalıklı sayılarda katları yazarak ilerlemek hatayı önler:

• I. Dolap (2,5’in katları): \( 2,5 \rightarrow 5 \rightarrow 7,5 \rightarrow 10 \rightarrow 12,5 \rightarrow \mathbf{15} \)
• II. Dolap (3’ün katları): \( 3 \rightarrow 6 \rightarrow 9 \rightarrow 12 \rightarrow \mathbf{15} \)

Sonuç:
Görüldüğü gibi her iki dolabın kabinleri, harekete başladıktan sonra ilk kez 15. dakikada tekrar aynı anda en alt noktada buluşur.

1. Adım (Net Miktar): Çuvallara tam dolan miktarı bulmak için artan \( 40 \text{ kg} \)’ı toplam miktarlardan çıkaralım:

Buğday: \( 1720 – 40 = 1680 \text{ kg} \)

Arpa: \( 2320 – 40 = 2280 \text{ kg} \)

2. Adım (EBOB Hesabı): \( 1680 \) ve \( 2280 \) sayılarının EBOB’unu bularak bir çuvalın kapasitesini belirleyelim.

$$ 1680 = 120 \times 14 $$

$$ 2280 = 120 \times 19 $$

Ortak çarpanların en büyüğü \( 120 \)’dir. Demek ki bir çuval 120 kg ürün almaktadır.

3. Adım (Çuval Sayısı):

Buğday Çuvalı: \( \frac{1680}{120} = 14 \)

Arpa Çuvalı: \( \frac{2280}{120} = 19 \)

Toplam Çuval: \( 14 + 19 = 33 \)