Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanlarından biri \( 13 \)’tür?
- \( 115 \)
- \( 119 \)
- \( 133 \)
- \( 143 \)
1. Sorunun Çözümü
Seçeneklerdeki sayıları asal çarpanlarına ayırarak \( 13 \) çarpanını arayalım:
A) \( 115 \) sayısı \( 5 \)’e bölünür:
$$115 = 5 \cdot 23$$Asal çarpanları \( 5 \) ve \( 23 \)’tür.
B) \( 119 \) sayısı \( 7 \)’ye bölünür:
$$119 = 7 \cdot 17$$Asal çarpanları \( 7 \) ve \( 17 \)’dir.
C) \( 133 \) sayısı \( 7 \)’ye bölünür:
$$133 = 7 \cdot 19$$Asal çarpanları \( 7 \) ve \( 19 \)’dur.
D) \( 143 \) sayısı \( 11 \)’e bölünür:
$$143 = 11 \cdot 13$$Görüldüğü üzere çarpanlardan biri \( 13 \)‘tür.
Doğru cevap D seçeneğidir.
\( A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \) ve \( B = 2^2 \cdot 5^3 \)
olduğuna göre, \( B – A \) ifadesinin değeri kaçtır?
- \( 120 \)
- \( 140 \)
- \( 160 \)
- \( 180 \)
Çözüm
Verilen üslü ifadelerin değerlerini hesaplayalım:
$$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$$ $$B = 2^2 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500$$Bulduğumuz değerlerin farkını alalım:
$$B – A = 500 – 360 = 140$$Doğru cevap B seçeneğidir.
Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanlarından biri \( 7 \)’dir?
- \( 113 \)
- \( 123 \)
- \( 133 \)
- \( 143 \)
3. Sorunun Çözümü
Seçeneklerdeki sayıları inceleyerek \( 7 \) çarpanına sahip olanı bulalım:
A) \( 113 \) sayısı bir asal sayıdır. Sadece kendisine ve \( 1 \)’e bölünür.
B) \( 123 \) sayısının rakamları toplamı \( 1+2+3=6 \)’dır, yani \( 3 \)’e tam bölünür:
$$123 = 3 \cdot 41$$Asal çarpanları \( 3 \) ve \( 41 \)’dir.
C) \( 133 \) sayısını \( 7 \)’ye bölelim:
$$133 \div 7 = 19 \quad \Rightarrow \quad 133 = 7 \cdot 19$$Görüldüğü üzere çarpanlarından biri \( 7 \)‘dir.
D) \( 143 \) sayısı \( 11 \)’e tam bölünür:
$$143 = 11 \cdot 13$$Asal çarpanları \( 11 \) ve \( 13 \)’tür.
Doğru cevap C seçeneğidir.
En büyük asal çarpanı \( 5 \) olan iki basamaklı doğal sayılar araştırılıyor.
Buna göre, bu şartı sağlayan en büyük sayı aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 80 \)
- \( 90 \)
- \( 95 \)
- \( 96 \)
Çözüm
Seçenekleri asal çarpanlarına ayırıp en büyük asal çarpanlarını kontrol edelim:
$$96 = 2^5 \cdot 3 \quad (\text{En büyük asal çarpan: } 3)$$ $$95 = 5 \cdot 19 \quad (\text{En büyük asal çarpan: } 19)$$ $$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \quad (\text{En büyük asal çarpan: } 5)$$ $$80 = 2^4 \cdot 5 \quad (\text{En büyük asal çarpan: } 5)$$En büyük asal çarpanı \( 5 \) olan sayılar \( 90 \) ve \( 80 \)’dir. Soruda bu şartı sağlayan en büyük sayı istendiği için:
$$90 > 80$$Doğru cevap B seçeneğidir.
Aşağıda verilen sayılardan hangisinin asal çarpanlarının toplamı \( 8 \)’dir?
- \( 49 \)
- \( 56 \)
- \( 75 \)
- \( 84 \)
5. Sorunun Çözümü
Seçeneklerdeki sayıların asal çarpanlarını bulup toplayalım:
A) \( 49 \) sayısı:
$$49 = 7^2$$Asal çarpanı sadece \( 7 \)’dir. Toplam: \( 7 \)
B) \( 56 \) sayısı:
$$56 = 2^3 \cdot 7$$Asal çarpanları \( 2 \) ve \( 7 \)’dir. Toplam: \( 2 + 7 = 9 \)
C) \( 75 \) sayısı:
$$75 = 3 \cdot 5^2$$Asal çarpanları \( 3 \) ve \( 5 \)’tir. Toplam:
$$3 + 5 = 8$$İstenen koşul sağlanmıştır.
D) \( 84 \) sayısı:
$$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$Asal çarpanları \( 2, 3 \) ve \( 7 \)’dir. Toplam: \( 2 + 3 + 7 = 12 \)
Doğru cevap C seçeneğidir.
$$M = 2^4 \cdot 3^x$$
Yukarıdaki eşitlikte \( M \) ve \( x \) birer doğal sayı olmak üzere; \( M + x \) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Buna göre doğru seçenek aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 68 \)
- \( 124 \)
- \( 146 \)
- \( 250 \)
Çözüm
Verilen eşitlikte \( 2^4 = 16 \) yazarak denklemi düzenleyelim:
$$M = 16 \cdot 3^x$$Seçeneklere ulaşmak için \( x \) değişkenine sırasıyla değerler verelim:
$$x = 1 \implies M = 16 \cdot 3 = 48 \implies M + x = 49$$ $$x = 2 \implies M = 16 \cdot 9 = 144 \implies M + x = 146$$Bulduğumuz \( 146 \) değeri seçeneklerde mevcuttur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Aşağıdakilerden hangisi \( 84 \) sayısının çarpanlarından biri değildir?
- \( 21 \)
- \( 24 \)
- \( 28 \)
- \( 42 \)
7. Sorunun Çözümü
Seçeneklerdeki sayıların \( 84 \)’ü kalansız bölüp bölmediğini (çarpanı olup olmadığını) kontrol edelim:
A) \( 84 \div 21 = 4 \)
Sonuç tam sayıdır, \( 21 \) bir çarpandır.
B) \( 84 \div 24 \)
$$84 = 24 \cdot 3 + 12$$Bölme işlemi kalanlıdır (sonuç tam sayı değildir). Dolayısıyla \( 24 \), \( 84 \)’ün çarpanı değildir.
C) \( 84 \div 28 = 3 \)
Sonuç tam sayıdır, \( 28 \) bir çarpandır.
D) \( 84 \div 42 = 2 \)
Sonuç tam sayıdır, \( 42 \) bir çarpandır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
$$A = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 13$$
Yukarıda asal çarpanlarına ayrılmış halde verilen \( A \) doğal sayısı için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
- \( 4 \) farklı asal çarpanı vardır.
- En küçük asal çarpanı \( 2 \), en büyük asal çarpanı \( 13 \)’tür.
- \( 200 \) ile kalansız bölünür.
- \( 3 \)’ün katı olan her doğal sayıya kalansız bölünür.
Çözüm
Verilen sayıyı inceleyelim:
$$A = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 13^1$$Seçenekleri analiz edelim:
A) Asal çarpanlar \( \{2, 3, 5, 13\} \) kümesidir. Toplam \( 4 \) adettir. (Doğru)
B) En küçük asal \( 2 \), en büyük asal \( 13 \)’tür. (Doğru)
C) \( 200 \) sayısının çarpanlarına bakalım:
$$200 = 2 \cdot 100 = 2 \cdot 10^2 = 2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 5^2$$\( A \) sayısının içinde \( 2^3 \) ve \( 5^2 \) çarpanları mevcut olduğundan tam bölünür. (Doğru)
D) “3’ün katı olan her sayı” ifadesini test edelim. Örneğin \( 9 \) sayısı \( 3 \)’ün katıdır (\( 9 = 3^2 \)). Ancak \( A \) sayısında \( 3 \)’ün kuvveti sadece \( 1 \)’dir. Dolayısıyla \( A \) sayısı \( 9 \)’a bölünmez.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Aşağıdakilerden hangisi \( 108 \) sayısının çarpanlarından (bölenlerinden) biri değildir?
- \( 18 \)
- \( 27 \)
- \( 36 \)
- \( 48 \)
9. Sorunun Çözümü
Seçeneklerdeki sayıların \( 108 \)’i kalansız bölüp bölmediğini kontrol edelim:
A) \( 108 \div 18 = 6 \)
Tam bölündüğü için \( 18 \), bir çarpandır.
B) \( 108 \div 27 = 4 \)
Tam bölündüğü için \( 27 \), bir çarpandır.
C) \( 108 \div 36 = 3 \)
Tam bölündüğü için \( 36 \), bir çarpandır.
D) \( 108 \div 48 \)
$$108 = 48 \cdot 2 + 12$$Bölme işlemi kalanlıdır (sonuç tam sayı değildir). Dolayısıyla \( 48 \) sayısı \( 108 \)’i kalansız bölemez.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Aşağıda bazı doğal sayıların asal çarpanlarına ayrılmış halleri verilmiştir:
I. \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
II. \( 90 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)
III. \( 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)
IV. \( 180 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
Yukarıdaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri yanlıştır?
- Yalnız II
- I ve III
- II ve IV
- III ve IV
Çözüm
Verilen eşitliklerin sağ tarafındaki işlemlerin sonuçlarını kontrol edelim:
I. \( 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 \) (Doğru)
II. \( 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \). Eşitliğin sol tarafı \( 90 \) olduğu için ifade yanlıştır. (\( 60 \neq 90 \))
III. \( 2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \) (Doğru)
IV. \( 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360 \). Eşitliğin sol tarafı \( 180 \) olduğu için ifade yanlıştır. (\( 360 \neq 180 \))
Yanlış olan ifadeler II ve IV numaralı eşitliklerdir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
\( m \) ve \( n \) birer doğal sayı olmak üzere;
$$48 = 2^m \cdot 3$$ $$250 = 2 \cdot 5^n$$Buna göre, \( m + n \) toplamının değeri kaçtır?
- \( 5 \)
- \( 6 \)
- \( 7 \)
- \( 8 \)
11. Sorunun Çözümü
Verilen eşitliklerdeki sayıları asal çarpanlarına ayırarak bilinmeyen üsleri bulalım:
1. Eşitlik: \( 48 = 2^m \cdot 3 \)
Eşitliğin her iki tarafını \( 3 \)’e bölelim:
$$\frac{48}{3} = 2^m \quad \Rightarrow \quad 16 = 2^m$$\( 16 = 2^4 \) olduğundan, \( m = 4 \) bulunur.
2. Eşitlik: \( 250 = 2 \cdot 5^n \)
Eşitliğin her iki tarafını \( 2 \)’ye bölelim:
$$\frac{250}{2} = 5^n \quad \Rightarrow \quad 125 = 5^n$$\( 125 = 5^3 \) olduğundan, \( n = 3 \) bulunur.
Sonuç:
$$m + n = 4 + 3 = 7$$Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir bilgisayar programı, sayıları aşağıdaki kurala göre filtrelemektedir:
$$K = 2^a \cdot 3^b \quad (a, b > 1)$$Bu kurala uyan \( K \) sayısı “Uyumlu Sayı” olarak kabul edilmektedir. Program \( 50 \) ile \( 150 \) arasındaki sayıları taramaktadır.
Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi sisteme “Uyumlu Sayı” olarak kaydedilemez?
- \( 72 \)
- \( 108 \)
- \( 120 \)
- \( 144 \)
Çözüm
Seçenekleri asal çarpanlarına ayırarak kurala (\( 2^a \cdot 3^b \) ve \( a,b > 1 \)) uygunluğunu kontrol edelim:
$$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 \quad (\text{Uyumlu})$$ $$108 = 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3 \quad (\text{Uyumlu})$$ $$120 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \quad (\text{Uyumsuz})$$Not: \( 120 \) sayısında fazladan \( 5 \) çarpanı vardır ve \( 3 \)’ün kuvveti \( 1 \)’dir (Kural \( >1 \) istiyor).
$$144 = 16 \cdot 9 = 2^4 \cdot 3^2 \quad (\text{Uyumlu})$$Doğru cevap C seçeneğidir.
Bence easy
Öncelikle başarılar diliyorum. Ben Çözümlü Test Baş Editörü Mahmut ELİBOL. Matematik Öğretmenimize daha zor seviyede sorular hazırlamasını ifade ettim. Bir kaç hafta içinde zor seviyede soruların hazır olacağını belirtti.