Efe ve Defne, tabletleri üzerindeki dijital kartlarla “Tam Sayı Dengeleme Oyunu” oynamaktadır. Oyunun kuralına göre, her oyuncunun elindeki kartların üzerinde yazan tam sayıların toplamı birbirine eşit olduğunda oyun “Berabere” durumuna gelmektedir.
Şu anki durumda kartlar yukarıdaki görselde verildiği gibidir. Oyunun berabere bitebilmesi için Efe, kendi panelinden bir kartı seçip Defne’nin paneline gönderiyor.
Buna göre, Efe’nin Defne’ye gönderdiği kartın üzerinde yazan tam sayı kaçtır?
- \( -2 \)
- \( +9 \)
- \( +5 \)
- \( +12 \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tip denge sorularında deneme-yanılma yapmak yerine, tüm kartların toplamını bulup iki kişiye eşit paylaştırmak en hızlı yoldur. Hedeflenen sayıya ulaşmak için eldeki sayıdan ne kadar eksilmesi gerektiğini bulursak, transfer edilecek kartı direkt buluruz.
1. Adım: Öncelikle her iki oyuncunun elindeki mevcut kartların toplamını bulalım.
Efe’nin Toplamı: \( (-7) + (+12) + (-3) + (+9) + (+5) + (-2) \)
Pozitifler: \( 12 + 9 + 5 = 26 \)
Negatifler: \( -7 – 3 – 2 = -12 \)
Genel Toplam: \( 26 + (-12) = \mathbf{14} \)
Defne’nin Toplamı: \( (-6) + (+8) + (-5) + (+4) + (+3) \)
Pozitifler: \( 8 + 4 + 3 = 15 \)
Negatifler: \( -6 – 5 = -11 \)
Genel Toplam: \( 15 + (-11) = \mathbf{4} \)
2. Adım: Toplam puanı bulup, eşitlik için kişi başına düşmesi gereken puanı hesaplayalım.
Tüm Kartların Toplamı: \( 14 + 4 = 18 \)
Kişi Başı Olması Gereken: \( \frac{18}{2} = \mathbf{9} \)
Sonuç: Efe’nin elinde \( 14 \) puanlık kart var, ancak \( 9 \) puana düşmesi gerekiyor.
Aradaki fark: \( 14 – 9 = 5 \).
Yani Efe, elindeki +5 yazan kartı Defne’ye verirse kendi puanı 9’a düşer, Defne’nin puanı \( 4 + 5 = 9 \)’a çıkar ve denge sağlanır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Deniz seviyesinin 240 metre altında keşif yapan insansız bir denizaltı, belirli bir hedefi incelemek için önce 60 metre daha aşağı dalıyor. Ardından akıntı sebebiyle kontrollü olarak 35 metre yukarı çıkıyor.
Buna göre, denizaltının son konumunun deniz seviyesine göre metre cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- \( -335 \)
- \( -265 \)
- \( -215 \)
- \( -145 \)
Çözümü
Strateji: Bu tip sorularda “Deniz Seviyesi” sıfır noktasıdır. “Aşağı” yön negatif (-), “Yukarı” yön pozitif (+) tam sayılarla ifade edilir. Görseldeki hareketleri adım adım matematiksel işleme dökelim.
1. Adım: İlk konumu ve hareketleri matematiksel ifadeye dökelim.
- Başlangıç Derinliği: \( -240 \)
- 60 metre aşağı inmek (Negatif yön): \( -60 \)
- 35 metre yukarı çıkmak (Pozitif yön): \( +35 \)
2. Adım: İşlemleri sırasıyla yapalım.
Önce aşağı inme hareketi (Negatif toplama): $$ (-240) + (-60) = -300 $$ (Denizaltı 300 metre derinliğe indi)
Sonra yukarı çıkma hareketi (Zıt işaretli toplama): $$ (-300) + (+35) = -265 $$ (Mutlak değeri büyük olanın işareti alınır: \( 300 – 35 = 265 \), işaret eksi)
Sonuç: Denizaltı son durumda deniz seviyesinin 265 metre altındadır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Özel tasarlanmış bir hedef tahtasına yapılan atışlarda, okun isabet ettiği bölgeye göre yukarıdaki puanlar kazanılmaktadır. Bir okçu bu hedef tahtasına toplam 6 atış yapmış ve isabet yerleri görseldeki “X” işaretleriyle gösterilmiştir.
Buna göre, okçunun atışlar sonunda aldığı toplam puan kaçtır?
- \( +1 \)
- \( +7 \)
- \( +15 \)
- \( +24 \)
Çözümü
Strateji: Bu tip sorularda işlem hatası yapmamak için önce her bölgeden alınan toplam puanı ayrı ayrı hesaplamalı (Çarpma İşlemi), en son genel toplamı bulmalısın.
1. Adım: Bölgelere göre isabet sayılarını ve puanları hesaplayalım.
- Kırmızı Bölge (Merkez / +12): 2 isabet var.
\( 2 \cdot (+12) = +24 \) puan. - Beyaz Bölge (Orta / -3): 3 isabet var.
\( 3 \cdot (-3) = -9 \) puan. - Mavi Bölge (Dış / -8): 1 isabet var.
\( 1 \cdot (-8) = -8 \) puan.
2. Adım: Elde edilen tüm puanları toplayalım.
Genel Toplam = \( (+24) + (-9) + (-8) \)
Negatifleri kendi arasında toplayalım: \( (-9) + (-8) = -17 \)
Son İşlem: \( (+24) + (-17) = +7 \)
Sonuç: Okçunun toplam puanı 7’dir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Yukarıdaki hesaplama algoritmasına giren bir sayı, iki farklı işleme tabi tutulmakta ve son adımda I. İşlem sonucundan II. İşlem sonucu çıkarılmaktadır.
Sisteme Girdi olarak \( x = -4 \) sayısı giriliyor.
Buna göre, sistemin “Sonuç” ekranında yazacak sayı aşağıdakilerden hangisidir?
- \( -80 \)
- \( -48 \)
- \( +48 \)
- \( +80 \)
Çözümü
Strateji: Üslü sayılarda taban negatif olduğunda parantez kuvvetinin tek mi çift mi olduğuna dikkat etmelisin. Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. İşlem sırasını takip ederek sonuca ulaşacağız.
1. Adım: I. İşlemi (Karesini Alma) yapalım.
Girdi \( x = -4 \) olduğu için \( (-4)^2 \) hesaplanır.
Kuvvet çift (2) olduğu için sonuç pozitiftir.
$$ (-4) \cdot (-4) = \mathbf{+16} $$
2. Adım: II. İşlemi (Küpünü Alma) yapalım.
Girdi \( x = -4 \) olduğu için \( (-4)^3 \) hesaplanır.
Kuvvet tek (3) olduğu için sonuç negatiftir.
$$ (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = \mathbf{-64} $$
3. Adım: Sonuç kutusundaki işlemi yapalım.
Kural: (I. İşlem Sonucu) – (II. İşlem Sonucu)
$$ (+16) – (-64) $$
Çıkarma işlemi toplamaya dönüşür (Eksi eksi yan yana gelince artı olur):
$$ 16 + 64 = \mathbf{80} $$
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir hava gözlem istasyonunda bulunan K, L ve M sensörlerinin anlık olarak ölçebildiği potansiyel sıcaklık değerleri yukarıdaki panellerde listelenmiştir.
İstasyon şefi, bu üç sensörden birer tane sıcaklık değeri seçip sisteme kaydettiğinde şu durumu gözlemlemiştir:
- Sayı doğrusu üzerinde modellendiğinde; L sensöründen seçilen değer, M sensöründen seçilen değerin sağında; K sensöründen seçilen değerin ise solunda kalmaktadır.
Buna göre, seçilen bu üç sıcaklık değerinin toplamı en fazla kaç olabilir?
- \( -12 \)
- \( -8 \)
- \( -4 \)
- \( 2 \)
Çözümü
Strateji: Soruda verilen “sağında/solunda” ifadelerini matematiksel eşitsizliğe döküp, toplamın en büyük olması için sayıları mümkün olan en üst sınırdan seçmelisin.
1. Adım: Sayı doğrusunda sağda olan sayı her zaman daha büyüktür. Verilen ilişkiyi eşitsizliğe dökelim:
“L, M’nin sağında” \( \rightarrow M < L \)
“L, K’nin solunda” \( \rightarrow L < K \)
Birleştirirsek sıralama: \( M < L < K \) şeklinde olmalıdır.
2. Adım: Toplamın en fazla olması istendiği için, bu sıralamayı bozmayacak şekilde sensörlerden seçebileceğimiz en büyük sayıları belirlemeye çalışalım.
• En sağdaki K kümesinden en büyük sayıyı seçelim: 8 ( \( K=8 \) olsun).
• Şimdi L kümesinden, K’den (yani 8’den) küçük olan en büyük sayıyı seçelim. L kümesi: \( \{-35, -15, 0\} \). 8’den küçük en büyük değer 0’dır ( \( L=0 \) olsun).
• Son olarak M kümesinden, L’den (yani 0’dan) küçük olan en büyük sayıyı seçelim. M kümesi: \( \{-45, -30, -12\} \). 0’dan küçük en büyük değer -12’dir ( \( M=-12 \) olsun).
Sonuç: Seçilen değerler \( K=8 \), \( L=0 \), \( M=-12 \)’dir.
Sıralama kontrolü: \( -12 < 0 < 8 \) (Doğru).
Toplam: \( 8 + 0 + (-12) = -4 \)
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir matematik oyununda, üzerinde tam sayıların yazılı olduğu dört kart masaya kapalı olarak dağıtılıyor ve ardından açılıyor.
Oyunun kuralı şu şekildedir:
- Oyuncu, bu dört karttan iki tanesini seçer ve üzerindeki sayıları çarpar.
- Geriye kalan diğer iki karttaki sayıları toplar.
- Son olarak; bulduğu çarpım sonucu ile toplam sonucunu birbirine ekleyerek oyun puanını elde eder.
Buna göre, bu kartlarla elde edilebilecek en yüksek oyun puanı kaçtır?
- \( 13 \)
- \( 23 \)
- \( 37 \)
- \( 56 \)
Çözümü
Strateji: Çarpma işleminin sonucunu mümkün olduğunca büyük yapmak oyunun kilit noktasıdır. Unutma; iki negatif sayının çarpımı pozitif, büyük bir sonuç verebilir!
1. Adım: Kartlarımız: \( -8, +5, -6, +3 \).
En yüksek puanı almak için önce çarpımları en büyük olacak ikiliyi bulalım:
- İki pozitif sayının çarpımı: \( 5 \times 3 = 15 \)
- Bir negatif, bir pozitif (Sonuç negatif olur, eliyoruz): \( -8 \times 5 = -40 \) vb.
- İki negatif sayının çarpımı: \( (-8) \times (-6) = +48 \)
Görüldüğü gibi en büyük çarpım değeri \( 48 \)’dir. Seçilen kartlar \( -8 \) ve \( -6 \)’dır.
2. Adım: Şimdi geriye kalan kartları toplayalım.
Kullanılmayan kartlar: \( +5 \) ve \( +3 \).
Toplam: \( 5 + 3 = 8 \).
3. Adım: Kural gereği çarpım sonucu ile toplam sonucunu birleştirelim.
Puan = (Çarpım Sonucu) + (Kalanların Toplamı)
Puan = \( 48 + 8 = 56 \)
Kontrol: Eğer pozitifleri çarpsaydık ne olurdu?
Çarpım: \( 5 \times 3 = 15 \)
Kalanlar: \( -8 + (-6) = -14 \)
Puan: \( 15 + (-14) = 1 \). (Bu sonuç \( 56 \)’dan çok küçüktür).
Sonuç: Elde edilebilecek en yüksek puan \( 56 \)’dır.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Yukarıdaki düzenekte verilen 1. Çark tabanı, 2. Çark ise üssü (kuvveti) temsil etmektedir. Oyuncular çarkları çevirdiğinde okların gösterdiği sayılarla üslü ifadeler oluşturulmaktadır.
Örneğin; 1. Çarkta “-4”, 2. Çarkta “2” gelirse, oluşan sayı \( (-4)^{2} = 16 \) olmaktadır.
Bu çarklar birer kez çevrildiğinde elde edilebilecek en büyük sonuç ile en küçük sonucun farkı kaçtır?
(En Büyük – En Küçük işleminin sonucu kaçtır?)
- \( 25 \)
- \( 55 \)
- \( 72 \)
- \( 80 \)
Çözümü
Strateji: Bu soruda “negatif sayıların tek kuvvetlerinin negatif, çift kuvvetlerinin pozitif” olduğu kuralını hatırlamalısın. En büyük sayı için pozitif sonuçlara, en küçük sayı için negatif sonuçlara odaklan.
1. Adım: Olası tüm üslü ifadeleri hesaplayalım.
Taban -4 gelirse:
- \( (-4)^{2} = (-4) \cdot (-4) = +16 \)
- \( (-4)^{3} = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64 \)
Taban -3 gelirse:
- \( (-3)^{2} = +9 \)
- \( (-3)^{3} = -27 \)
Taban 2 gelirse:
- \( 2^{2} = 4 \)
- \( 2^{3} = 8 \)
Sonuç: Elde edilen sonuçları karşılaştıralım.
- En Büyük Değer: \( +16 \)
- En Küçük Değer: \( -64 \)
Soruda bizden \( (\text{En Büyük}) – (\text{En Küçük}) \) işlemi isteniyor.
\( 16 – (-64) \)
Eksi ile eksi yan yana gelince artı olur: \( 16 + 64 = 80 \)
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir bilgisayar programı, sisteme girilen sayıları yukarıdaki akış şemasına göre işlemektedir.
Bu programa sırasıyla \( -3 \) ve \( 2 \) sayıları giriliyor.
Buna göre, programın bu iki giriş için ürettiği sonuçların toplamı kaçtır?
- \( 3 \)
- \( 11 \)
- \( 13 \)
- \( 21 \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Akış şemasını her iki sayı için ayrı ayrı ve adım adım takip etmelisin. Özellikle “Toplama işlemine göre tersi” ve “Negatif sayıların kuvvetleri” adımlarında işaretlere dikkat et.
1. Durum: Giriş Sayısı -3
- Adım 1: Toplama işlemine göre tersini al: \( -(-3) = +3 \).
- Adım 2 (Karar): \( +3 > 0 \) mı? EVET.
- Adım 3 (İşlem): Küpünü al: \( 3^3 = 27 \).
- Adım 4 (Sonuç): 10 çıkar: \( 27 – 10 = 17 \).
- Birinci sonuç: 17
2. Durum: Giriş Sayısı 2
- Adım 1: Toplama işlemine göre tersini al: \( -2 \).
- Adım 2 (Karar): \( -2 > 0 \) mı? HAYIR.
- Adım 3 (İşlem): Karesini al: \( (-2)^2 = +4 \).
(Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir!) - Adım 4 (Sonuç): 10 çıkar: \( 4 – 10 = -6 \).
- İkinci sonuç: -6
Sonuç: Elde edilen iki değeri toplayalım:
\( 17 + (-6) = 11 \)
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir kargo deposunda ray üzerinde hareket eden otonom bir robot, sayı doğrusu modeliyle kodlanmıştır. Robot -3 noktasında beklemekte, taşınacak koliler ise -9 (A Kolisi) ve +4 (B Kolisi) noktalarında durmaktadır.
Robotun çalışma algoritması şöyledir:
- Robot önce kendisine mesafe olarak en yakın olan koliye gider.
- Koliyi alıp 0 (Teslim) noktasına götürür ve bırakır.
- Ardından diğer koliye gider, onu da alıp 0 (Teslim) noktasına bırakır ve görevini tamamlar.
Robotun enerji tüketimi; boşken her 1 birim yol için 5 Watt, koli taşırken her 1 birim yol için 8 Watt‘tır.
Buna göre, robot tüm görevi tamamladığında toplam kaç Watt enerji harcamış olur?
- \( 132 \)
- \( 144 \)
- \( 154 \)
- \( 184 \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu soru, “Hangi koli daha yakın?” sorusuyla başlar (Mutlak Değer). Ardından robotun izlediği yolu parça parça çizmeli ve her parçadaki enerji tüketimini (Boş/Dolu durumuna göre) ayrı ayrı hesaplamalısın.
1. Adım: En Yakın Hedefi Belirleme
Robot (-3) noktasındadır.
- A Kolisine (-9) uzaklık: \( |-3 – (-9)| = |-3 + 9| = 6 \) birim.
- B Kolisine (+4) uzaklık: \( |-3 – 4| = |-7| = 7 \) birim.
Karar: \( 6 < 7 \) olduğu için robot önce A kolisine gider.
2. Adım: Hareket ve Enerji Hesabı (Yolu 4 parçaya bölelim)
- Parça 1 (Başlangıç \(\rightarrow\) A): Robot BOŞ. Yol: 6 birim.
Enerji: \( 6 \cdot 5 = 30 \) Watt. - Parça 2 (A \(\rightarrow\) Teslim Noktası): Robot DOLU.
Konumlar: -9’dan 0’a. Yol: \( |-9| = 9 \) birim.
Enerji: \( 9 \cdot 8 = 72 \) Watt. (İlk koli teslim edildi) - Parça 3 (Teslim Noktası \(\rightarrow\) B): Robot BOŞ.
Konumlar: 0’dan +4’e. Yol: 4 birim.
Enerji: \( 4 \cdot 5 = 20 \) Watt. - Parça 4 (B \(\rightarrow\) Teslim Noktası): Robot DOLU.
Konumlar: +4’ten 0’a. Yol: 4 birim.
Enerji: \( 4 \cdot 8 = 32 \) Watt.
Sonuç: Toplam Enerji:
\( 30 + 72 + 20 + 32 = 154 \) Watt.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir okçuluk yarışmasında puanlama sistemi yukarıdaki hedef tahtasında gösterildiği gibidir. Sarı bölgeye isabet +12, Kırmızı bölgeye isabet +5, Mavi bölgeye isabet ise -4 puan değerindedir.
Yarışmaya katılan bir sporcu toplam 10 atış yapmış ve attığı tüm oklar hedef tahtasındaki bölgelerden birine isabet etmiştir.
Sporcunun atışlarının dağılımı sağdaki tabloda verildiğine göre, yarışma sonunda kazandığı toplam puan kaçtır?
(Toplam Puanı Hesaplayınız)
- \( 37 \)
- \( 41 \)
- \( 49 \)
- \( 59 \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu sorudaki gizli bilgi “Mavi Bölgeye” kaç atış yapıldığıdır. Toplam atış sayısından, bilinen isabetleri çıkararak önce bunu bulmalı, sonra puanları çarparak toplamalısın.
1. Adım: Atış Sayılarını Belirleyelim
- Toplam Atış: 10
- Sarı İsabet: 2
- Kırmızı İsabet: 5
- Mavi İsabet: \( 10 – (2 + 5) = 10 – 7 = 3 \) atış.
2. Adım: Puanları Hesaplayalım
- Sarı Bölge Puanı: \( 2 \cdot (+12) = +24 \)
- Kırmızı Bölge Puanı: \( 5 \cdot (+5) = +25 \)
- Mavi Bölge Puanı: \( 3 \cdot (-4) = -12 \)
(Negatif sayı ile çarpıma dikkat!)
3. Adım: Toplam Skoru Bulalım
\( (+24) + (+25) + (-12) \)
\( 49 + (-12) = 37 \)
Doğru cevap A seçeneğidir.
Yukarıdaki matematik duvarında her bir tuğlanın içindeki sayı, kendisine temas eden altındaki iki tuğlanın içindeki sayıların çarpımına eşittir.
En üstteki tuğlada 144 sayısı, en alt sırada ise -3 ve -4 sayıları bulunmaktadır.
Buna göre, “?” ile gösterilen tuğlanın içine hangi tam sayı yazılmalıdır?
- \( -12 \)
- \( -3 \)
- \( 3 \)
- \( 12 \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu bir “zincirleme işlem” sorusudur. En alttan başlayıp yukarı çıkabildiğin kadar çık, sonra tıkandığın yerde en üstten aşağıya doğru “ters işlem” (bölme) yaparak bilinmeyene ulaş.
1. Adım: A Bloğunu Bulalım
Kural gereği A bloğu, altındaki -3 ve -4’ün çarpımıdır.
\( A = (-3) \cdot (-4) = 12 \)
2. Adım: B Bloğunu Çözümleyelim
En tepedeki 144 sayısı, altındaki A ve B bloklarının çarpımıdır.
\( 144 = A \cdot B \)
A’yı 12 bulmuştuk, yerine koyalım:
\( 144 = 12 \cdot B \)
Buradan \( B = \frac{144}{12} = 12 \) bulunur.
3. Adım: “?” Bloğunu Bulalım
B bloğu (12), altındaki -4 ve ? sayılarının çarpımıdır.
\( B = (-4) \cdot (?) \)
\( 12 = (-4) \cdot (?) \)
Çarpma işleminin tersi bölmedir. 12’yi -4’e bölelim:
\( ? = \frac{12}{-4} = -3 \)
Sonuç: Bilinmeyen tuğlaya -3 yazılmalıdır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir dağcılık ekibi, tırmanış yaptıkları dağdaki iki farklı kamp noktasında sıcaklık ölçümü yapmıştır. Meteoroloji bilgilerine göre, bu bölgede yükseklere çıkıldıkça hava sıcaklığı her 200 metrede \( 1^\circ\text{C} \) azalmaktadır.
Deniz seviyesindeki (0 m) Kamp A‘da sıcaklık \( +12^\circ\text{C} \) iken, zirveye yakın Kamp B‘de sıcaklık \( -8^\circ\text{C} \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, Kamp B’nin deniz seviyesinden yüksekliği kaç metredir?
- \( 800 \)
- \( 2400 \)
- \( 4000 \)
- \( 4800 \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Önce iki nokta arasındaki toplam sıcaklık farkını bulmalısın. Sıcaklığın ne kadar düştüğünü bulduktan sonra, bu düşüşün kaç tane “200 metrelik” dilime denk geldiğini hesaplayabilirsin.
1. Adım: Sıcaklık Farkını Bulalım
Aşağısı \( +12^\circ\text{C} \), yukarısı \( -8^\circ\text{C} \).
Aradaki farkı bulmak için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarırız:
\( 12 – (-8) = 12 + 8 = 20^\circ\text{C} \)
Sıcaklık toplamda 20 derece düşmüştür.
2. Adım: Yüksekliği Hesaplayalım
Kural: Her 200 metrede 1 derece düşüyor.
Toplam 20 derece düştüğüne göre, 20 tane 200 metre yükselmişiz demektir.
\( 20 \cdot 200 = 4000 \) metre.
Sonuç: Kamp B’nin yüksekliği 4000 metredir.
Doğru cevap C seçeneğidir.