Bir oşinografi (okyanus bilimi) araştırmasında, deniz seviyesinin \( 45 \) metre üzerinde uçan bir keşif dronu, denizin \( 12 \) metre derinliğindeki bir sensörden veri almak için dikey hizalama yapıyor.
Buna göre, keşif dronu ile su altındaki sensör arasındaki dikey mesafe kaç metredir?
- \( 33 \)
- \( 47 \)
- \( 57 \)
- \( 67 \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için, sayı doğrusunda yukarıdaki (büyük) değerden aşağıdaki (küçük) değeri çıkarman gerekir. Derinlik negatif tam sayıyla ifade edilir.
1. Adım: Konumları tam sayı olarak belirleyelim:
Dronun konumu: \( +45 \) m
Sensörün konumu: Deniz seviyesinin altı olduğu için \( -12 \) m
2. Adım: Uzaklık (fark) işlemini kuralım:
\( 45 – (-12) \)
3. Adım: Tam sayılarda çıkarma işlemini toplama işlemine dönüştürelim (Eksi ile eksi yan yana gelince artı olur):
\( 45 + (+12) = 57 \)
Sonuç: Dron ile sensör arasındaki toplam dikey mesafe \( 57 \) metredir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir bilimsel araştırma projesi için kullanılan insansız hava aracı (Drone) ve su altı araştırma robotunun konumları deniz seviyesine göre takip edilmektedir.
Deniz seviyesinin \( 18 \) metre üzerinde uçuşa başlayan Drone, bir süre sonra \( 7 \) metre alçalarak sabitlenmiştir. Bu sırada suyun altında bulunan araştırma robotunun konumu, Drone’un son konumundan dikey olarak \( 25 \) metre daha aşağıdadır.
Buna göre, araştırma robotunun deniz seviyesine göre konumu aşağıdakilerden hangisidir?
- \( -11 \) metre
- \( -14 \) metre
- \( -16 \) metre
- \( -20 \) metre
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tip sorularda “Deniz Seviyesi”ni \( 0 \) (sıfır) noktası olarak kabul etmelisin. “Alçalmak” çıkarma işlemi, “daha aşağıda olmak” ise referans noktadan aşağıya doğru saymak (negatif yönde ilerlemek) anlamına gelir.
1. Adım: Öncelikle Drone’un son konumunu bulalım. Drone \( +18 \) metrede iken \( 7 \) metre alçalıyor.
$$ (+18) – (+7) = +11 \text{ metre} $$
Drone şu an deniz seviyesinin \( 11 \) metre üzerindedir.
2. Adım: Araştırma robotunun konumu, Drone’un son konumundan (\(+11\)) \( 25 \) metre daha aşağıdadır. Bu, sayı doğrusunda \( +11 \)’den sola (veya dikeyde aşağı) \( 25 \) birim gitmek demektir.
$$ (+11) – 25 = -14 \text{ metre} $$
Sonuç: Sonuç negatif çıktığı için robot, deniz seviyesinin \( 14 \) metre altındadır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir matematiksel işlem yazılımı, yukarıdaki görselde verilen A Paneli ve B Paneli içindeki tam sayıları ayrı ayrı toplayarak iki farklı değer elde etmektedir.
Yazılımın çalışma prensibi şu şekildedir:
- 1. Adım: A Panelindeki işlemlerin toplam sonucunu bul (Pay).
- 2. Adım: B Panelindeki işlemlerin toplam sonucunu bul (Payda).
- 3. Adım: A Panelinden gelen sonucu, B Panelinden gelen sonuca böl.
Buna göre, yazılımın ekrana yansıtacağı sonuç kaçtır?
- \( 2 \)
- \( -2 \)
- \( 4 \)
- \( -4 \)
3. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tip sorularda işlem önceliği parantez içlerindeki (panellerdeki) toplama işlemleridir. İşaretlere dikkat ederek önce her bir panelin toplam değerini bulmalı, en son bölme işlemini yapmalısın.
1. Adım: A Panelindeki (Pay) işlemlerin toplamını bulalım:
\( (-8) + (+20) + (-4) \)
Negatifleri kendi arasında toplayalım: \( (-8) + (-4) = -12 \)
Şimdi pozitif sayı ile toplayalım: \( -12 + 20 = +8 \)
A Paneli Sonucu: 8
2. Adım: B Panelindeki (Payda) işlemlerin toplamını bulalım:
\( (-1) + (-6) + (+3) \)
Negatifleri toplayalım: \( (-1) + (-6) = -7 \)
Sonucu pozitif sayı ile toplayalım: \( -7 + 3 = -4 \)
B Paneli Sonucu: -4
Sonuç: Son olarak A panelinin sonucunu B panelinin sonucuna bölelim:
\( 8 \div (-4) = -2 \)
(Pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü negatiftir.)
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir ortaokulun düzenlediği robotik kodlama turnuvasında, robotların parkurdaki hareketlerine göre puanlama sistemi yukarıdaki görselde verilmiştir.
Turnuvaya katılan Kerem’in tasarladığı robot, toplam 30 komutun bulunduğu parkurda; 15 komutu başarılı, 8 komutu hatalı tamamlamış, geri kalan komutları ise süre yetmediği için pas geçmiştir.
Buna göre, Kerem’in robotu turnuvayı toplam kaç puanla tamamlamıştır?
- \( \displaystyle 148 \)
- \( \displaystyle 164 \)
- \( \displaystyle 180 \)
- \( \displaystyle 212 \)
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tip sorularda “kazanç” pozitif tam sayı, “kayıp” veya “ceza” ise negatif tam sayı ile ifade edilir. Toplam puanı bulmak için her durumun puan karşılığını adetleriyle çarpmalı ve sonuçları toplamalısın.
1. Adım: Başarılı komutlardan gelen puanı hesaplayalım. Her başarılı komut \( \displaystyle +12 \) puandır. $$ \displaystyle 15 \cdot (+12) = +180 \text{ puan} $$
2. Adım: Hatalı komutlardan gelen puanı (cezayı) hesaplayalım. Her hatalı komut \( \displaystyle -4 \) puandır. $$ \displaystyle 8 \cdot (-4) = -32 \text{ puan} $$
3. Adım: Pas geçilen komutların puan değeri \( \displaystyle 0 \) olduğu için (soruda belirtildiği üzere) toplam puana etki etmez. Şimdi elde edilen puanları toplayalım: $$ \displaystyle (+180) + (-32) $$ Zıt işaretli sayıların toplanmasında, mutlak değeri büyük olandan küçük olan çıkarılır ve büyüğün işareti verilir: $$ \displaystyle 180 – 32 = 148 $$
Sonuç: Robotun toplam puanı 148’dir.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Bir dijital bilgi yarışmasında toplam puan; \( (\text{Soru Puanı}) \cdot (\text{Doğru Sayısı}) \cdot (\text{Çarpan}) \) formülü ile her tur için ayrı ayrı hesaplanmakta ve bu sonuçlar toplanmaktadır.
Yukarıdaki tabloda bir yarışmacının iki turdaki istatistikleri verilmiştir.
Buna göre, yarışmacının kazandığı toplam puan aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 20 \)
- \( 100 \)
- \( -20 \)
- \( -100 \)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tip sorularda “işaret avcısı” olmalısın. Çarpma işleminde negatif sayıların adedi çift ise (2, 4 gibi) sonuç daima pozitif (+), tek ise (1, 3 gibi) sonuç negatiftir (-).
1. Adım: 1. Tur puanını hesaplayalım.
Formül: \( (-5) \cdot (+4) \cdot (-2) \)
Önce işaretleri kontrol et: İki tane eksi var (Çift sayı), sonuç artı olacak.
\( 5 \cdot 4 = 20 \rightarrow 20 \cdot 2 = 40 \)
1. Tur Puanı: \( +40 \)
2. Adım: 2. Tur puanını hesaplayalım.
Formül: \( (-3) \cdot (+2) \cdot (-10) \)
İşaretleri kontrol et: Yine iki tane eksi var, sonuç artı olacak.
\( 3 \cdot 2 = 6 \rightarrow 6 \cdot 10 = 60 \)
2. Tur Puanı: \( +60 \)
3. Adım: İki turdan gelen puanları toplayalım.
\( (+40) + (+60) = 100 \)
Sonuç: Yarışmacının toplam puanı 100’dür.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Yukarıdaki işlem şemasında A ve B panellerindeki işlemlerin sonuçları, ortadaki işlem merkezinde çarpılarak ekrana yansıtılmaktadır.
A Panelindeki işlem: \( (-8) + (+3) \times (-2) \)
B Panelindeki işlem: \( (-5) – (-20) : (+4) \)
Buna göre, sonuç ekranında yazacak olan tam sayı aşağıdakilerden hangisidir?
- \( -20 \)
- \( -14 \)
- \( 0 \)
- \( +14 \)
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tür karmaşık görünen işlemlerde “büyük resmi” görmeye çalış. Eğer çarpanlardan biri sıfır çıkarsa, diğerini hesaplamakla vakit kaybetmene gerek bile kalmaz çünkü sonuç kesinlikle sıfırdır.
1. Adım: Önce A Panelini hesaplayalım. İşlem önceliğine dikkat! Önce çarpma yapılır.
$$ (+3) \times (-2) = -6 $$ Şimdi toplamayı yapalım: $$ (-8) + (-6) = -14 $$ A Paneli sonucu: \( -14 \)
2. Adım: B Panelini hesaplayalım. İşlem önceliği burada bölmededir.
$$ (-20) : (+4) = -5 $$ Şimdi çıkarma işlemini yapalım. Çıkarma işlemi, çıkan sayının ters işaretlisi ile toplamak demektir: $$ (-5) – (-5) \rightarrow (-5) + (+5) = 0 $$ B Paneli sonucu: \( 0 \)
3. Adım: Sonucu bulmak için iki panelin sonucunu çarpıyoruz.
$$ (-14) \times 0 = 0 $$
Sonuç: Çarpma işleminde sıfır “yutan eleman” olduğu için sonuç 0’dır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir dijital güvenlik kasasının şifresi, ekranda beliren iki farklı sayısal değerin çarpılmasıyla oluşturulmaktadır.
Ekranda verilen tanımlara göre:
- Giriş 1: İki basamaklı en büyük negatif tam sayı,
- Giriş 2: İki basamaklı en küçük pozitif tek sayı
olarak sisteme girilmiştir.
Buna göre, kasayı açacak olan doğru şifre (çarpım sonucu) aşağıdakilerden hangisidir?
- \( -1089 \)
- \( -100 \)
- \( 110 \)
- \( -110 \)
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu soruda “en büyük/en küçük” kavramlarına dikkat etmelisin. Negatif sayılarda sayı doğrusunda sıfıra en yakın olan sayı en büyüktür. Pozitiflerde ise “tek/çift” şartını gözden kaçırmamalısın.
1. Adım: “İki basamaklı en büyük negatif tam sayı”yı bulalım.
İki basamaklı negatif sayılar \( -99 \) ile \( -10 \) arasındadır. Sayı doğrusunda sağa gidildikçe değer büyür.
Bu nedenle en büyük olanı \( -10 \)‘dur. (Öğrenciler genelde \( -99 \) ile karıştırır, dikkat!)
2. Adım: “İki basamaklı en küçük pozitif tek sayı”yı bulalım.
İki basamaklı en küçük pozitif sayı \( 10 \)’dur; ancak \( 10 \) çifttir.
Bu nedenle bir sonraki sayıyı alırız: \( 11 \).
Sonuç: Bu iki sayının çarpımını hesaplayalım:
\( (-10) \cdot (+11) = -110 \)
(Zıt işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.)
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir bilgisayar algoritması, sisteme girilen sayıya sırasıyla yukarıdaki işlemleri uygulamaktadır.
Algoritmanın sonuç ekranında 115 sayısı görüldüğüne göre, sisteme giriş yapan sayı aşağıdakilerden hangisidir?
Sisteme girilen sayı kaçtır?
- \( \displaystyle -25 \)
- \( \displaystyle -21 \)
- \( \displaystyle 21 \)
- \( \displaystyle 25 \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Sonucu bilinen bir işlem zincirinde başlangıçtaki sayıyı bulmak için “Ters İşlem” yöntemi uygulanır. İşlemler sondan başa doğru, işaretleri tersine çevrilerek yapılır.
1. Adım: Son işlemden geriye gidelim. Sonuç \( 115 \)’tir. Son adımda sayıya \( (-10) \) eklendiği belirtilmiştir.
Toplama işleminin tersi çıkarmadır. \( 115 \)’ten \( (-10) \) sayısını çıkarmalıyız:
$$ \displaystyle 115 – (-10) $$
Tam sayılarda çıkarma işlemi, çıkan sayının ters işaretlisi ile toplama demektir:
$$ \displaystyle 115 + (+10) = 125 $$
2. Adım: Bir önceki adımda sayı \( (-5) \) ile çarpılmıştır. Çarpma işleminin tersi bölmedir. Bulduğumuz \( 125 \) sayısını \( (-5) \)’e bölmeliyiz: $$ \displaystyle \frac{125}{-5} $$ Pozitif bir tam sayının negatif bir tam sayıya bölümü negatiftir: $$ \displaystyle 125 \div (-5) = -25 $$
Sonuç: Sisteme girilen başlangıç sayısı -25’tir.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Bir bilgisayar algoritması, sisteme girilen \( x \) ve \( y \) değerlerini yukarıdaki görselde ekran üzerinde yazan formüle göre işleyerek bir sonuç üretmektedir.
Sisteme \( x = -4 \) ve \( y = -6 \) değerleri giriliyor.
Buna göre, algoritmanın üreteceği sonuç aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 4 \)
- \( 0 \)
- \( -2 \)
- \( -4 \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Harfli ifadelerde (değişkenlerde) negatif sayıları yerine koyarken, sayıyı mutlaka parantez içinde yazmalısın. Bu, “eksi ile eksinin çarpışıp artı olması” gibi işaret hatalarını önler.
1. Adım: Formüldeki birinci parantezi hesaplayalım: \( [(-x) + y] \)
\( x \) yerine \( (-4) \), \( y \) yerine \( (-6) \) koyalım:
\( -(-4) + (-6) \)
\( (+4) + (-6) = -2 \)
2. Adım: Formüldeki ikinci parantezi hesaplayalım: \( [x – y] \)
\( (-4) – (-6) \)
Çıkarma işlemi toplamaya dönüşür ve ikinci sayının işareti değişir:
\( (-4) + (+6) = +2 \)
3. Adım: Bulunan sonuçları çarpalım (Formüldeki nokta çarpma işaretidir):
\( (-2) \cdot (+2) = -4 \)
Sonuç: Algoritma \( -4 \) sonucunu üretir.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Gıda güvenliği için özel olarak tasarlanmış bir endüstriyel dondurucu, içine konulan ürünleri şoklamak için çalıştırılıyor.
Makine çalıştırıldığında iç sıcaklığı \( +25^\circ \text{C} \)’dir. Makine, her saatin sonunda iç sıcaklığı \( 6^\circ \text{C} \) düşürmektedir.
Buna göre, dondurucunun hedeflenen \( -17^\circ \text{C} \) sıcaklığa ulaşması için kaç saat geçmesi gerekir?
- \( 6 \)
- \( 8 \)
- \( 9 \)
- \( 7 \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu soruda “toplam sıcaklık değişimini” bulmak için başlangıç sıcaklığı ile hedef sıcaklık arasındaki mesafeyi sayı doğrusu üzerinde düşünmelisin. Biri pozitif, diğeri negatif olduğu için bu iki değeri mutlak değerce toplamalıyız.
1. Adım: Öncelikle sıcaklığın toplamda kaç derece düşmesi gerektiğini bulalım.
Başlangıç (\( +25 \)) ile Hedef (\( -17 \)) arasındaki fark:
$$ (+25) – (-17) = 25 + 17 = 42^\circ \text{C} $$
Demek ki sıcaklık toplamda \( 42^\circ \text{C} \) azalmalıdır.
2. Adım: Makine her saat \( 6^\circ \text{C} \) soğutma yapıyor. Toplam değişimi saatlik değişime bölersek süreyi buluruz: $$ \frac{42}{6} = 7 \text{ saat} $$
Sonuç: Dondurucunun istenen sıcaklığa gelmesi için 7 saat çalışması gerekir.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Yukarıdaki işlem algoritmasında, bir sayı makinesine giren 5 sayısı önce \( a \) sayısı ile toplanıyor, ardından elde edilen sonuç \( -2 \) ile çarpılarak ekrana 22 sayısı yansıtılıyor.
Makinenin çalışma mantığı matematiksel olarak:
$$ (-2) \cdot (5 + a) = 22 $$şeklinde modellenmiştir.
Buna göre, makinenin ilk adımında eklenen \( a \) tam sayısı kaçtır?
- \( -6 \)
- \( -10 \)
- \( -16 \)
- \( -21 \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tür “makine” veya “algoritma” sorularında en pratik yöntem “Ters İşlem” yapmaktır. Sonuçtan başlayarak geriye doğru giderken, yapılan işlemlerin tam tersini (çarpma ise bölme, toplama ise çıkarma) uygularız.
1. Adım: Son işlem “Çarpı -2” olduğuna göre, sonucu tersine çevirmek için 22’yi -2’ye bölmeliyiz.
\( 22 : (-2) = -11 \)
(Pozitifin negatife bölümü negatiftir. Bu, turuncu kutudaki ara değerdir.)
2. Adım: İlk işlemde 5 ile \( a \) toplanarak -11 bulunmuş (\( 5 + a = -11 \)).
\( a \)’yı bulmak için toplamdan bilinen toplananı çıkarırız:
\( a = -11 – 5 \)
Sonuç: İki negatif sayıyı çıkarma işlemi kuralına göre birleştirelim:
\( a = -16 \)
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir kimya laboratuvarındaki deney tüpünün başlangıç sıcaklığı \( 20^{\circ}\text{C} \)’dir. Bu tüpe uygulanan işlemler şöyledir:
- Önce soğutucu açılarak 40 dakika boyunca soğutuluyor.
- Daha sonra ısıtıcı açılarak 20 dakika boyunca ısıtılıyor.
Soğutucu ve ısıtıcının değişim oranları yukarıdaki panelde verildiğine göre;
İşlemlerin sonunda deney tüpündeki maddenin sıcaklığı kaç derece santigrat (\( ^{\circ}\text{C} \)) olur?
- \( -12 \)
- \( -3 \)
- \( 3 \)
- \( 17 \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tür sorularda sıcaklık “düşüşü” negatif tam sayı, “artışı” pozitif tam sayı ile ifade edilir. Toplam değişim miktarını bulmak için önce işlemin kaç kez tekrarlandığını (periyot sayısını) bulmalısın.
1. Adım: Soğutma işleminin etkisini hesaplayalım.
Soğutucu her 5 dakikada \( -4^{\circ}\text{C} \) değiştiriyor.
Süre 40 dakika olduğuna göre, işlem \( 40 \div 5 = 8 \) kez tekrarlanır.
Toplam değişim:
$$ 8 \cdot (-4) = -32^{\circ}\text{C} $$
2. Adım: Isıtma işleminin etkisini hesaplayalım.
Isıtıcı her 4 dakikada \( +3^{\circ}\text{C} \) değiştiriyor.
Süre 20 dakika olduğuna göre, işlem \( 20 \div 4 = 5 \) kez tekrarlanır.
Toplam değişim:
$$ 5 \cdot (+3) = +15^{\circ}\text{C} $$
3. Adım: Son sıcaklığı bulmak için başlangıç sıcaklığına değişimleri ekleyelim.
Başlangıç: \( 20^{\circ}\text{C} \)
İşlem:
$$ 20 + (-32) + 15 $$
Önce pozitifleri toplayalım:
$$ 20 + 15 = 35 $$
Sonra negatifle işlem yapalım:
$$ 35 – 32 = 3 $$
Sonuç: Maddenin son sıcaklığı \( 3^{\circ}\text{C} \) olur.
Doğru cevap C seçeneğidir.