Bir endüstriyel tasarım mühendisi, portatif bir kamp masasının taşıyıcı iskeletini yukarıdaki gibi modelliyor. Bu tasarıma göre masa yüzeyi \( [AB] \), zemine \( [DC] \) tamamen paralel konumdadır. Masanın ağırlık merkezini dengelemek amacıyla \( [AD] \) destek ayağının uzunluğu, \( [DC] \) zemin profilinin uzunluğuna eşit olarak üretilmiştir.
Destek ayağının zeminle yaptığı açı \( m(\widehat{ADC}) = 48^\circ \) olduğuna göre, masa yüzeyi ile \( [AC] \) çapraz desteği arasında kalan \( x \) açısı kaç derecedir?
- \( 48 \)
- \( 54 \)
- \( 66 \)
- \( 132 \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Geometri sorularında verilen uzunluk eşitliklerini kullanarak ikizkenar üçgenleri tespit etmek ve paralellik durumunda iç ters açı (Z kuralı) özelliğini uygulamak temel stratejimizdir.
1. Adım: Soruda verilen \( |AD| = |DC| \) bilgisi, \( ADC \) üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu gösterir. İkizkenar üçgende taban açılarının toplamı \( 180^\circ – m(\widehat{ADC}) \) işleminden bulunur:
\( 180^\circ – 48^\circ = 132^\circ \). Taban açıları eşit olduğundan \( m(\widehat{ACD}) = 132^\circ \div 2 = 66^\circ \) olarak bulunur.
Sonuç: \( [AB] \parallel [DC] \) olduğu için iç ters açılar (Z kuralı) gereği \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ACD}) \) olur. Buradan \( x = 66^\circ \) sonucuna ulaşılır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir teknoloji tasarım dersinde Ali, yenilenebilir enerji kaynaklarına dikkat çekmek için dik yamuk biçiminde bir güneş paneli maketi tasarlamaktadır.
Bu maketin birbirine paralel olan alt ve üst kenarlarının uzunlukları sırasıyla \( 30 \) cm ve \( 10 \) cm’dir. Panelin dik olan yüksekliği ise \( 14 \) cm olarak ölçülmüştür.
Buna göre, Ali’nin tasarladığı güneş paneli maketinin ön yüzünün alanı kaç santimetrekaredir?
- \( 210 \)
- \( 280 \)
- \( 560 \)
- \( 54 \)
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Dik yamuğun alanını bulmak için paralel olan alt ve üst taban uzunluklarını toplayıp, bu değeri yükseklikle çarpmalı ve ardından formül gereği ikiye bölmelisin. Formül: \( \text{Alan} = \frac{(a+c) \cdot h}{2} \)
1. Adım: Alt ve üst taban uzunluklarını toplayalım:
\( 30 + 10 = 40 \) cm
Sonuç: Tabanlar toplamını yükseklik ile çarpıp ikiye böldüğümüzde; $$ \frac{40 \cdot 14}{2} = \frac{560}{2} = 280 $$ Güneş paneli maketinin ön yüzünün alanı \( 280 \text{ cm}^2 \)’dir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir tasarımcı, elindeki esnek metal teli bükerek kenar uzunluğu \( 16 \text{ cm} \) olan düzgün beşgen şeklinde bir ayna çerçevesi oluşturuyor. Daha sonra fikrini değiştiriyor ve aynı telin tamamını kullanarak kare şeklinde yeni bir çerçeve yapıyor.
Buna göre, tasarımcının oluşturduğu kare çerçevenin iç bölgesinin alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir?
- \( 80 \)
- \( 256 \)
- \( 400 \)
- \( 576 \)
3. Sorunun Çözümü
Strateji: Tel bükülerek başka bir şekil elde edildiğinde çevre uzunluğu sabit kalır. Önce telin toplam uzunluğunu (beşgenin çevresini) bulmalı, ardından bu uzunluğu karenin çevresi olarak kabul edip alanı hesaplamalıyız.
1. Adım: Telin toplam uzunluğu, düzgün beşgenin çevresine eşittir: $$ 5 \cdot 16 = 80 \text{ cm} $$ (Bu uzunluk aynı zamanda oluşturulacak karenin çevresidir.)
2. Adım: Çevresi \( 80 \text{ cm} \) olan karenin bir kenar uzunluğunu bulalım: $$ \frac{80}{4} = 20 \text{ cm} $$
Sonuç: Karenin alanı, bir kenarının karesidir: $$ 20 \cdot 20 = 400 \text{ cm}^2 $$
Doğru cevap C seçeneğidir.
Tarımsal AR-GE çalışmaları yapan bir mühendis, akıllı sera havalandırma kapakları için yandan görünümü \( PRST \) paralelkenarı şeklinde olan bir mekanizma tasarlıyor. Bu mekanizmanın rüzgâra karşı direncini artırmak için karşılıklı çapraz köşeleri birleştiren \( [PS] \) ve \( [RT] \) çelik gergi tellerini kullanıyor. Bu teller, mekanizmanın tam merkezindeki \( O \) noktasında kesişmektedir.
Mekanizmanın teknik çizimini inceleyen asistan, sistemin dengesi hakkında aşağıdaki matematiksel notları alıyor:
- \( |PO| = |OS| \)
- \( m(\widehat{TPR}) = m(\widehat{TSR}) \)
- \( |PS| = |RT| \)
Buna göre asistanın aldığı notlardan hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur?
- Yalnız I
- I ve II
- II ve III
- I, II ve III
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralelkenarda köşegenlerin birbirini ortalaması ve karşılıklı açıların eşliği temel prensiptir. Köşegen uzunluklarının eşitliği ise sadece özel dikdörtgen/kare durumlarında geçerlidir.
1. Adım: Bir paralelkenarda köşegenler kesiştikleri noktada birbirini ortalar; bu nedenle \( O \) noktası \( [PS] \) köşegeninin orta noktasıdır ve \( |PO| = |OS| \) eşitliği her zaman doğrudur. Ayrıca paralelkenarın karşılıklı iç açıları birbirine eşittir, dolayısıyla \( m(\widehat{TPR}) = m(\widehat{TSR}) \) ifadesi de kesinlikle doğrudur. Ancak genel bir paralelkenarda \( [PS] \) ve \( [RT] \) köşegen uzunlukları birbirine eşit olmak zorunda değildir.
Sonuç: I ve II numaralı ifadeler kesinlikle doğru olduğundan cevap B seçeneğidir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir endüstriyel tasarımcı, tablet bilgisayarlar için katlanabilir ve açısı ayarlanabilir ergonomik bir masaüstü standı tasarlamaktadır. Standın taşıyıcı mekanizması, alt ve üst profilleri birbirine tamamen paralel olan bir yamuk modeli oluşturmaktadır.
Tablet ekranının ideal görüş açısını sağlaması için mekanizmanın kilit noktalarındaki iç açılar cebirsel olarak şekildeki gibi \( 5x, 7x \) ve \( 4y, 5y \) şeklinde modellendirilmiştir.
Buna göre, tasarımın matematiksel olarak dengede kalmasını sağlayan \( x \) ve \( y \) değerlerinin toplamı (\( x + y \)) kaçtır?
- \( 25 \)
- \( 30 \)
- \( 35 \)
- \( 45 \)
Çözümü
Strateji: Alt ve üst tabanları paralel olan dörtgenlerde (yamuk), birbirine paralel doğrular arasında kalan ve ardışık olan iki iç açının toplamı her zaman \( 180^\circ \) (“U” Kuralı / Karşı Durumlu Açılar) değerine eşittir.
1. Adım: Mekanizmanın sol tarafındaki açılar paralel profiller arasında kaldığı için bütünlerdir. Bu denklemi kuralım: $$ 5x + 7x = 180^\circ $$ $$ 12x = 180^\circ \implies x = 15^\circ $$
2. Adım: Aynı kural sağ taraf için de geçerlidir. Sağ taraftaki açıların denklemini kuralım: $$ 4y + 5y = 180^\circ $$ $$ 9y = 180^\circ \implies y = 20^\circ $$
Sonuç: Bizden istenen \( x + y \) toplamıdır: $$ 15 + 20 = 35 $$
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir mimar, çocuk parkı için tasarladığı ahşap tırmanma platformunun yandan görünümünü \( ABCD \) yamuğu şeklinde modellemiştir. Bu modelde platformun sağlamlığını artırmak için yerleştirilen \( ABCE \) bölümü bir paralelkenardır ve \( D, E, C \) noktaları doğrusaldır.
Model üzerinde yapılan açı ölçümlerine göre \( m(\widehat{ADE}) = 48^\circ \) ve \( m(\widehat{DAE}) = 56^\circ \) olarak belirlenmiştir.
Buna göre, tasarımın sağ alt köşesinde \( x \) ile gösterilen \( \widehat{BCE} \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
- \( 66 \)
- \( 76 \)
- \( 86 \)
- \( 104 \)
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Geometri sorularında bilinmeyene ulaşmak için verileri birbiriyle ilişkilendirerek ilerlemelisin. Önce üçgenin iç açılar toplamını kullanarak eksik açıyı bulmalı, ardından paralelkenarın kenarları arasındaki paralellikten doğan “yöndeş açı” kuralını kullanarak \( x \) açısına geçiş yapmalısın.
1. Adım: İlk olarak \( ADE \) üçgenine odaklanalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)’dir. Verilen açıları toplayıp \( 180^\circ \)’den çıkararak \( \widehat{AED} \) açısını bulalım:
$$ 48^\circ + 56^\circ = 104^\circ $$ $$ 180^\circ – 104^\circ = 76^\circ $$ Yani, \( m(\widehat{AED}) = 76^\circ \)’dir.
2. Adım: Soruda \( ABCE \)’nin bir paralelkenar olduğu belirtilmiştir. Paralelkenarın karşılıklı kenarları paraleldir, yani \( [AE] \parallel [BC] \) olur. \( DC \) doğrusu bu birbirine paralel iki doğruyu kesen bir çizgidir.
3. Adım: Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu yöndeş açılar birbirine eşittir. Aynı yöne bakan \( \widehat{AED} \) açısı ile \( \widehat{BCE} \) (\( x \)) açısı yöndeştir. Bu nedenle: $$ x = 76^\circ $$
Sonuç: Tasarımın sağ alt köşesindeki \( x \) açısı \( 76^\circ \)’dir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir marangoz, şekildeki gibi alt ve üst tabanları birbirine paralel olan \( (KL \parallel NM) \) yamuk biçiminde ahşap bir raf desteği tasarlamıştır. Bu destekteki \( [NP] \) doğru parçası, \( \widehat{KNM} \)’nın açıortayıdır.
Görseldeki açı ölçülerine göre, \( x \) ile gösterilen \( \widehat{NPM} \)’nın ölçüsü kaç derecedir?
- \( 70 \)
- \( 75 \)
- \( 80 \)
- \( 85 \)
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel doğrular arasındaki “U Kuralı”nı (karşı durumlu açılar) ve üçgenin iç açılar toplamının \( 180^\circ \) olması kuralını kullanarak \( x \) açısına ulaşacağız.
1. Adım: Yamukta \( [KL] \parallel [NM] \) olduğu için \( K \) ve \( N \) köşelerindeki iç açıların toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır: $$ m(\widehat{KNM}) = 180^\circ – 130^\circ = 50^\circ $$
2. Adım: \( [NP] \) doğru parçası açıortay olduğu için \( 50^\circ \)’lik \( N \) açısını iki eşit parçaya böler: $$ m(\widehat{KNP}) = m(\widehat{PNM}) = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ $$
3. Adım: \( NPM \) üçgeninde iç açılar toplamı \( 180^\circ \) kuralını uygulayalım. Bu üçgenin açıları \( 25^\circ \), \( 75^\circ \) ve \( x \)’dir: $$ 25^\circ + 75^\circ + x = 180^\circ $$ $$ 100^\circ + x = 180^\circ $$ $$ x = 80^\circ $$
Sonuç: Hesaplanan \( x \) açısı \( 80^\circ \) olarak bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Yenilenebilir enerji mühendisi olan Zeynep, güneş panellerinin güneşi takip etmesini sağlayan eşkenar dörtgen şeklindeki \( ABCD \) bir hidrolik yönlendirme mekanizması tasarlıyor. Mekanizmanın rüzgâra karşı direncini artırmak için \( A \) ve \( C \) köşeleri arasına gergin bir çelik halat (köşegen) bağlıyor.
Sistemin açı ölçüm sensörlerinden alınan verilere göre halatın ve kenarların oluşturduğu açı değerleri görsel üzerinde cebirsel olarak ifade edilmiştir.
Buna göre, mekanizmanın \( C \) köşesindeki iç açısının tamamının (\( s(\widehat{BCD}) \)) ölçüsü kaç derecedir?
- \( 20^\circ \)
- \( 50^\circ \)
- \( 80^\circ \)
- \( 100^\circ \)
Çözümü
Strateji: Eşkenar dörtgende tüm kenarlar eştir ve köşegenler iç açıyı iki eş parçaya böler (açıortaydır). Ayrıca komşu iki açının toplamı \( 180^\circ \)’dir.
1. Adım: Şekil bir eşkenar dörtgen olduğundan \( |AB| = |BC| \)’dir. Bu durumda \( \triangle ABC \) bir ikizkenar üçgendir. Taban açıları eşit olacağından \( s(\widehat{BAC}) = s(\widehat{BCA}) = 2x+10^\circ \) olur.
2. Adım: \( \triangle ABC \)’nin iç açılar toplamından denklemi kuralım:
\( (2x+10) + (2x+10) + (3x+20) = 180 \)
\( 7x + 40 = 180 \implies 7x = 140 \implies x = 20 \) bulunur.
3. Adım: \( B \) köşesindeki açının ölçüsü:
\( s(\widehat{ABC}) = 3 \cdot 20 + 20 = 80^\circ \)’dir.
4. Adım: Eşkenar dörtgende komşu açıların toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\( s(\widehat{BCD}) = 180^\circ – 80^\circ = 100^\circ \) olarak hesaplanır.
Sonuç: Mekanizmanın C köşesindeki tam açı \( 100^\circ \)’dir.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir reklam tabelacısı, elindeki esnek LED neon şeridin tamamını kullanarak bir kenar uzunluğu \( 14 \text{ cm} \) olan düzgün altıgen biçiminde bir ışıklı logo tasarlıyor. Aynı uzunluktaki başka bir LED şeridin tamamını kullanarak bu kez kare biçiminde yeni bir logo çerçevesi oluşturuyor.
Buna göre, tabelacının oluşturduğu kare biçimindeki çerçevenin iç bölgesinin alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir?
- \( 84 \)
- \( 196 \)
- \( 441 \)
- \( 576 \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: İki farklı şekil aynı uzunluktaki malzemeden yapıldığı için çevre uzunlukları birbirine eşittir. Önce altıgenin çevresini (toplam şerit uzunluğunu) bulmalı, ardından bu uzunluğu karenin bir kenarını bulmak için kullanmalısın.
1. Adım: Düzgün altıgenin \( 6 \) adet eş kenarı vardır. Toplam şerit uzunluğu: $$ 6 \cdot 14 = 84 \text{ cm} $$
2. Adım: Aynı uzunluktaki (\( 84 \text{ cm} \)) şeritle bir kare oluşturulduğuna göre, karenin bir kenar uzunluğunu bulalım: $$ \frac{84}{4} = 21 \text{ cm} $$
Sonuç: Karenin iç bölgesinin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir: $$ 21 \cdot 21 = 441 \text{ cm}^2 $$
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir belediye, şehir parkı için paralelkenar biçiminde bir yeşil alan tasarlamıştır. Bu alan, planda \( ABCD \) paralelkenarı ile modellenmiştir.
Tasarımda \( [BD] \) köşegeni boyunca bir yürüyüş yolu planlanmış ve \( ABD \) üçgensel bölgesinin bir kısmı gül bahçesi olarak ayrılmıştır. Planda \( E \) noktası, \( [AD] \) kenarının orta noktasıdır (\( |AE| = |ED| \)). Kırmızı ile boyalı \( ABE \) üçgensel bölgesi gül bahçesi yapılacaktır.
\( ABCD \) paralelkenarının toplam alanı \( 192 \text{ cm}^2 \) olduğuna göre, gül bahçesi için ayrılan alan kaç \( \text{cm}^2 \)’dir?
- \( 96 \)
- \( 48 \)
- \( 64 \)
- \( 32 \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralelkenarda köşegenin toplam alanı iki eş parçaya böldüğünü ve bir üçgende tabanı iki eş parçaya bölen doğru parçasının (kenarortay), alanı da iki eş parçaya böldüğünü kullanmalıyız.
1. Adım: İlk olarak \( [BD] \) köşegeninin oluşturduğu \( ABD \) üçgeninin alanını bulalım. Köşegen, paralelkenarın alanını iki eş parçaya ayırır: $$ 192 \div 2 = 96 \text{ cm}^2 $$
2. Adım: Elde ettiğimiz \( 96 \text{ cm}^2 \)’lik \( ABD \) üçgeninde, \( [BE] \) doğru parçası tabanı iki eşit parçaya (\( |AE| = |ED| \)) bölmüştür. Yükseklikleri aynı olan üçgenlerde tabanlar eşitse alanlar da eşittir. Bu nedenle: $$ 96 \div 2 = 48 \text{ cm}^2 $$
Sonuç: Gül bahçesi için ayrılan alan \( 48 \text{ cm}^2 \)’dir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir tasarımcı, \( PQRS \) dikdörtgeni biçimindeki renkli bir kartonun sağ üst köşesinden \( TQR \) dik üçgeni şeklindeki kısmı kesip atıyor. Geriye görselde boyalı olarak gösterilen \( PTRS \) yamuğu biçiminde bir parça kalıyor.
Görsel üzerinde verilen ölçülere göre, tasarımcının elinde kalan boyalı parçanın alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir?
- \( 120 \)
- \( 144 \)
- \( 168 \)
- \( 216 \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Kalan şekil bir dik yamuktur. Bu soruda doğrudan dik yamuğun alan formülünü kullanarak sonuca gideceğiz. Yamuğun alanı, alt ve üst tabanların toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımıdır.
1. Adım: Şekildeki verileri belirleyelim. Üst taban \( |PT| = 10 \text{ cm} \), alt taban \( |SR| = 18 \text{ cm} \)’dir. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit olduğundan, yamuğun yüksekliği \( |PS| = |QR| = 12 \text{ cm} \) olur.
2. Adım: Yamuk alanı formülünü uygulayalım: $$ \text{Alan} = \frac{(18 + 10)}{2} \cdot 12 $$
Sonuç: İşlemi tamamlayalım: $$ \text{Alan} = \frac{28}{2} \cdot 12 = 14 \cdot 12 = 168 \text{ cm}^2 $$
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir peyzaj mimarı, paralelkenar şeklindeki \( PQRS \) bir botanik bahçesinin planını çizmiştir. Bu plan üzerinde, endemik bitkiler için ayrılan üçgensel bir bölge (\( TNR \)) yeşile boyanarak gösterilmiştir.
Planda verilen geometrik özelliklere göre; \( |QT| = |TR| \) ve \( |SM| = |MN| = |NR| \) olarak belirlenmiştir. Endemik bitkiler için ayrılan yeşil bölgenin alanı \( 18\text{ m}^2 \)’dir.
Buna göre, \( PQRS \) botanik bahçesinin toplam alanı kaç metrekaredir?
- \( 108 \)
- \( 144 \)
- \( 180 \)
- \( 216 \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır. Paralelkenarın köşegeni ise alanı iki eş parçaya böler.
1. Adım: \( Q \) ve \( N \) noktalarını birleştirdiğimizi varsayalım. \( \triangle QNR \) içerisinde \( T \) noktası \( [QR] \) kenarının orta noktasıdır. Bu durumda \( \text{Alan}(\triangle TNR) = \text{Alan}(\triangle TNQ) = 18\text{ m}^2 \) olur. Buradan \( \text{Alan}(\triangle QNR) = 18 + 18 = 36\text{ m}^2 \) bulunur.
2. Adım: \( [QS] \) köşegenini çizdiğimizde oluşan \( \triangle QSR \) üçgeninde, \( [SR] \) tabanı üç eş parçaya ayrılmıştır (\( |SM| = |MN| = |NR| \)). \( \triangle QNR \), bu üç eş parçadan birinin üzerine kuruludur.
3. Adım: Tabanlar eşit ve yükseklik ortak olduğundan; \( \text{Alan}(\triangle QSR) = 3 \cdot \text{Alan}(\triangle QNR) = 3 \cdot 36 = 108\text{ m}^2 \) hesaplanır.
4. Adım: Paralelkenarın toplam alanı, köşegenin ayırdığı üçgenin alanının iki katıdır: \( \text{Alan}(PQRS) = 2 \cdot 108 = 216\text{ m}^2 \)’dir.
Sonuç: Botanik bahçesinin toplam alanı \( 216\text{ m}^2 \)’dir.
Doğru cevap D seçeneğidir.