Teknoloji ve Tasarım dersinde Ali, ahşaptan beşgen şeklinde bir kuş evi ön yüzü tasarlıyor. Tasarımının köşe açılarını ölçtüğünde, dört açının ölçüsünün sırasıyla \( 90^\circ \), \( 105^\circ \), \( 115^\circ \) ve \( 120^\circ \) olduğunu not alıyor.
Buna göre, Ali’nin tasarımındaki beşinci açı ( ? ) kaç derecedir?
- \( 100^\circ \)
- \( 110^\circ \)
- \( 120^\circ \)
- \( 130^\circ \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir çokgenin iç açılarının toplamı kenar sayısına bağlıdır ve \( (n-2) \cdot 180^\circ \) formülüyle hesaplanır.
1. Adım: Şeklimiz bir beşgen olduğu için \( n = 5 \) kabul edilir. İç açılar toplamını bulalım: $$ (5 – 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ $$
2. Adım: Verilen dört açının toplamını hesaplayalım: $$ 90^\circ + 105^\circ + 115^\circ + 120^\circ = 430^\circ $$
Sonuç: Beşinci açı için toplamdan bilinenleri çıkarırız: $$ 540^\circ – 430^\circ = 110^\circ $$
Doğru cevap B seçeneğidir.
Aslı, tabletindeki tasarım uygulamasını kullanarak yukarıdaki \( ABCD \) dörtgenini çizmiştir. Yaptığı ölçümlerde üç iç açının değerini sırasıyla \( 65^\circ \), \( 125^\circ \) ve \( 85^\circ \) olarak belirlemiştir.
Buna göre Aslı’nın çizdiği dörtgende, ölçüsü verilmeyen \( x \) açısı kaç derecedir?
- \( 75^\circ \)
- \( 85^\circ \)
- \( 90^\circ \)
- \( 95^\circ \)
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Çokgenlerin iç açılar toplamını \( (n-2) \cdot 180^\circ \) formülüyle hesaplarız. Dörtgenler için bu toplam her zaman \( 360^\circ \)’dir.
1. Adım: Verilen üç iç açının toplamını bulalım: \( 65^\circ + 125^\circ + 85^\circ = 275^\circ \). Ardından bu toplamı \( 360^\circ \)’den çıkaralım: \( 360^\circ – 275^\circ = 85^\circ \).
Sonuç: Verilmeyen \( x \) açısının ölçüsü \( 85^\circ \) olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir robotik kodlama dersinde, tasarım robotu dönüşlerini dış açılara göre yapmaktadır. Robotun sistemi, sadece bir dış açısı derece cinsinden bir tam sayı olan düzgün çokgenleri hatasız çizecek şekilde programlanmıştır.
Öğrenciler, robotun çizmesi için aşağıdaki şekil komutlarını sisteme girmiştir:
\( I. \) Düzgün yedigen
\( II. \) Düzgün ondörtgen
\( III. \) Düzgün onsekizgen
Buna göre robot, sisteme girilen çokgenlerden hangilerini hatasız olarak ÇİZEMEZ?
- Yalnız \( I \)
- \( I \) ve \( II \)
- \( II \) ve \( III \)
- \( I \), \( II \) ve \( III \)
3. Sorunun Çözümü
Strateji: Düzgün bir çokgenin bir dış açısını bulmak için \( 360^{\circ} \)’yi kenar sayısına (\( n \)) bölmeliyiz. Robotun çizim yapabilmesi için sonucun bir tam sayı olması gerekir.
1. Adım: Verilen çokgenlerin dış açılarını tek tek kontrol edelim:
\( I. \) Düzgün yedigen (\( n = 7 \)): Dış açı = \( \frac{360^{\circ}}{7} \). \( 360 \) sayısı \( 7 \)’ye tam bölünmez. Bu nedenle robot bu şekli çizemez.
\( II. \) Düzgün ondörtgen (\( n = 14 \)): Dış açı = \( \frac{360^{\circ}}{14} = \frac{180^{\circ}}{7} \). Sonuç tam sayı değildir. Robot bu şekli çizemez.
\( III. \) Düzgün onsekizgen (\( n = 18 \ )): Dış açı = \( \frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ} \). Sonuç tam sayıdır. Robot bu şekli çizebilir.
Sonuç: Robot \( I \) ve \( II \) numaralı çokgenleri hatasız olarak çizemez.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir mimar, tasarladığı bir park için \( 10 \) kenarlı bir çokgen (ongen) şeklinde bir oyun alanı planlamaktadır. Bu alanın köşe açılarını hesaplayabilmek için öncelikle çokgenin iç açıları toplamını bulması gerekmektedir.
Buna göre, mimarın planladığı bu oyun alanının iç açıları toplamı kaç derecedir?
- \( 1260^\circ \)
- \( 1440^\circ \)
- \( 1620^\circ \)
- \( 1800^\circ \)
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Çokgenlerde iç açılar toplamını bulurken köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısından faydalanırız. \( n \) kenarlı bir çokgenin içinde her zaman \( (n – 2) \) tane üçgen oluşur ve her bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)’dir.
1. Adım: Soruda verilen oyun alanı \( 10 \) kenarlı bir çokgen olduğu için \( n = 10 \)’dur.
İşlem: $$ (n – 2) \cdot 180^\circ $$ $$ (10 – 2) \cdot 180^\circ $$ $$ 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ $$
Sonuç: \( 10 \) kenarlı çokgenin iç açıları toplamı \( 1440^\circ \) olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Matematik dersinde tahtaya 12 kenarlı bir çokgen çizen Elif Öğretmen, öğrencilerinden bu çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamını bulmalarını istemiştir.
Buna göre, öğrencilerin bulması gereken doğru sonuç kaç derecedir?
- \( 180^\circ \)
- \( 360^\circ \)
- \( 720^\circ \)
- \( 1800^\circ \)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Unutma, bir çokgenin kenar sayısı kaç olursa olsun, bütün dış bükey çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı daima sabittir. Soruyu okurken “iç açı” ile “dış açı” kavramlarını karıştırmamalısın.
1. Adım: Bütün dış bükey çokgenlerin (kenar sayısından bağımsız olarak) dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman \( 360^\circ \)’dir.
Sonuç: Soruda 12 kenarlı bir çokgenin dış açılar toplamı sorulduğu için herhangi bir formül uygulamaya gerek yoktur; cevap doğrudan kural gereği \( 360^\circ \) olur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Matematik öğretmeni tahtaya yukarıdaki \( ABCDEF \) altıgenini çizmiş ve bu çokgenle ilgili şu bilgileri vermiştir:
I. İç açılar toplamı \( 720^\circ \)’dir.
II. Dış açılar toplamı \( 360^\circ \)’dir.
III. Bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı \( 3 \)’tür.
Verilen bu ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
- Yalnız I
- I ve II
- II ve III
- I, II ve III
6. Sorunun Çözümü
Strateji: \( n \) kenarlı bir çokgende iç açılar toplamı \( (n-2) \cdot 180^\circ \), bir köşeden çizilen köşegen sayısı ise \( n-3 \) formülüyle hesaplanır.
1. Adım: Altıgenin 6 kenarı vardır (\( n=6 \)). İç açılar toplamı: \( (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \) olur. Dolayısıyla I. ifade doğrudur.
2. Adım: Tüm dış bükey çokgenlerin dış açılar toplamı, kenar sayısından bağımsız olarak daima \( 360^\circ \)’dir. Dolayısıyla II. ifade doğrudur.
3. Adım: Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı \( 6-3 = 3 \) olarak hesaplanır. Dolayısıyla III. ifade de doğrudur.
Sonuç: Verilen ifadelerin tamamı doğrudur.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Teknoloji ve tasarım dersinde Ali, otonom bir teslimat dronu için düzgün ongen şeklinde bir iniş platformu tasarlamaktadır. Kullanılan bilgisayar destekli çizim (CAD) programı, platformun köşe hizalamalarını yapmak için düzgün ongenin bir iç açısının ölçüsü ile bir dış açısının ölçüsü arasındaki farkı derece cinsinden talep etmektedir.
Buna göre Ali’nin çizim programına girmesi gereken değer kaçtır?
- \( 36 \)
- \( 72 \)
- \( 108 \)
- \( 144 \)
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Düzgün çokgenlerde dış açıyı bulmak en pratik başlangıçtır. Dış açı bulunduktan sonra, iç ve dış açının birbirini \( 180^{\circ} \)’ye tamamladığı bilgisini kullanarak sonuca gidilir.
1. Adım: Düzgün ongenin (\( n = 10 \)) bir dış açısını hesaplayalım:
Dış Açı = \( \frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ} \)’dir.
2. Adım: İç açıyı, dış açının bütünleri olarak bulalım:
İç Açı = \( 180^{\circ} – 36^{\circ} = 144^{\circ} \)’dir.
3. Adım: Programın talep ettiği fark değerini hesaplayalım:
İstenen Değer = \( 144^{\circ} – 36^{\circ} = 108^{\circ} \)’dir.
Sonuç: Ali’nin sisteme girmesi gereken fark değeri \( 108 \)’dir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir ahşap atölyesinde, üzeri lazerle işlenecek düzgün çokgen şeklinde bir bardak altlığı tasarlanmaktadır. Bu tasarımın bir iç açısının ölçüsü \( 144^\circ \) olarak belirlenmiştir.
Buna göre, atölyede tasarlanan bu düzgün çokgen şeklindeki bardak altlığı kaç kenarlıdır?
- \( 8 \)
- \( 9 \)
- \( 10 \)
- \( 12 \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Düzgün çokgenlerde kenar sayısını bulurken iç açı formülü yerine dış açıdan gitmek her zaman daha pratiktir. Bir iç açı ile dış açının toplamı daima \( 180^\circ \)’dir ve tüm çokgenlerin dış açıları toplamı sabittir: \( 360^\circ \).
1. Adım: Önce çokgenin bir dış açısını hesaplayalım. İç açı ile dış açı bütünler açılardır.
$$ 180^\circ – 144^\circ = 36^\circ \text{ (Bir dış açı)} $$
2. Adım: Dış açılar toplamı daima \( 360^\circ \) olduğu için, toplamı bir dış açıya bölerek kenar sayısını (\( n \)) bulalım.
$$ n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10 $$
Sonuç: Bardak altlığı \( 10 \) kenarlı bir düzgün çokgendir (düzgün ongen).
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir matematik panosu için hazırlanan yandaki görselde, bir düzgün beşgen ve bir kare birer kenarları çakışacak şekilde birleştirilmiştir.
Buna göre, şekilde \( x \) ile gösterilen açının ölçüsü kaç derecedir?
- \( 144^\circ \)
- \( 150^\circ \)
- \( 162^\circ \)
- \( 198^\circ \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Kesişen kenarların bulunduğu köşedeki açıların bir tam açı (\( 360^\circ \)) oluşturduğunu görmelisin. Düzgün çokgenlerin iç açılarını bularak sonuca ulaşabiliriz.
1. Adım: Çokgenlerin birer iç açısını hesaplayalım. Düzgün beşgenin bir iç açısı: $$ \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ $$ Karenin bir iç açısı ise \( 90^\circ \)’dir.
2. Adım: Ortak köşedeki iç açılar ve \( x \) açısı birleşerek bir tam açı (\( 360^\circ \)) oluşturmaktadır.
Sonuç: Bilinen iki açının toplamını tam açıdan çıkaralım: $$ 360^\circ – (108^\circ + 90^\circ) = 360^\circ – 198^\circ = 162^\circ $$
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir marangoz, şekildeki gibi \( KLMN \) yamuğu biçiminde ahşap bir raf tasarlamıştır. Bu yamukta \( [KL] \) ve \( [NM] \) kenarları birbirine paraleldir.
Marangoz, rafın alt köşelerindeki iç açıları ölçtüğünde \( s(\widehat{N}) = 70^\circ \) ve \( s(\widehat{M}) = 50^\circ \) olduğunu görmüştür.
Buna göre, rafın üst köşelerindeki açıların ölçüleri toplamı olan \( s(\widehat{K}) + s(\widehat{L}) \) kaç derecedir?
- \( 180^\circ \)
- \( 200^\circ \)
- \( 240^\circ \)
- \( 260^\circ \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Bütün dörtgenlerin iç açılar toplamı \( 360^\circ \)’dir. Çokgenlerin iç açılar toplamını \( (n-2) \cdot 180^\circ \) formülüyle de teyit edebiliriz.
1. Adım: Yamuğun verilen alt iki iç açısının ölçülerini toplayalım: \( 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ \).
2. Adım: Dörtgenin iç açılar toplamı \( 360^\circ \) olduğu için, üst köşelerdeki açıların toplamını bulmak amacıyla alt açıların toplamını \( 360^\circ \)’den çıkaralım: \( 360^\circ – 120^\circ = 240^\circ \).
Sonuç: \( K \) ve \( L \) açılarının ölçüleri toplamı \( 240^\circ \) olarak bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir endüstriyel tasarımcı, akıllı ev sistemleri için motorlu bir güneş kırıcı panjur tasarlamaktadır. Panjurun yan profili, mekanizmanın esnek hareket edebilmesi için \( PRST \) paralelkenarı şeklinde modellenmiştir.
Tasarımın kapalı konuma geçerken sıkışmaması için açıların mekanik kurallara uyması gerekmektedir. \( P \) köşesindeki dar açının ölçüsü \( 68^{\circ} \) olarak ayarlanmıştır.
Buna göre, mekanizmanın \( R \) köşesindeki \( x \) açısı kaç derece olmalıdır?
- \( 68^{\circ} \)
- \( 102^{\circ} \)
- \( 112^{\circ} \)
- \( 122^{\circ} \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralelkenarda aynı kenar üzerinde bulunan ardışık iki açının toplamı daima \( 180^{\circ} \)’dir (bütünler açılar). Bu kuralı kullanarak \( x \) açısını kolayca hesaplayabiliriz.
1. Adım: Geometrik özelliklere göre, bir paralelkenarda komşu (ardışık) açılar birbirini \( 180^{\circ} \)’ye tamamlar. Bu durumda \( m(\widehat{P}) + m(\widehat{R}) = 180^{\circ} \) eşitliği kurulur.
2. Adım: Verilen \( m(\widehat{P}) = 68^{\circ} \) değerini denklemde yerine koyalım:
\( 68^{\circ} + x = 180^{\circ} \)
3. Adım: \( x \) açısını yalnız bırakmak için çıkarma işlemini yapalım:
\( x = 180^{\circ} – 68^{\circ} = 112^{\circ} \)
Sonuç: Mekanizmanın sağlıklı çalışması için \( R \) köşesindeki \( x \) açısı \( 112^{\circ} \) olmalıdır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir tasarımcı, bilgisayar ekranında kare şeklindeki bir \( KLMN \) panosu çizmiştir. Panonun üzerinde \( [KM] \) köşegeni çizilmiş ve \( N \) köşesinden köşegen üzerindeki bir \( P \) noktasına \( [NP] \) doğru parçası çekilmiştir. Tasarım programında \( m(\widehat{NPM}) = 105^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, görselde \( x \) ile ifade edilen \( m(\widehat{KNP}) \) açısı kaç derecedir?
- \( 45^\circ \)
- \( 55^\circ \)
- \( 60^\circ \)
- \( 75^\circ \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Karede köşegenin her zaman \( 90^\circ \)’lik köşe açısını tam ortadan ikiye (\( 45^\circ – 45^\circ \)) böldüğünü hatırla. Bu bilgiyi üçgenin iç açıları toplamıyla birleştireceğiz.
1. Adım: \( KLMN \) bir kare ve \( [KM] \) köşegen olduğu için, köşegen açıyı iki eş parçaya böler. Bu nedenle \( M \) köşesindeki açı \( m(\widehat{NMK}) = 45^\circ \) olur.
2. Adım: \( NPM \) üçgenine odaklanalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)’dir. Soruda \( m(\widehat{NPM}) = 105^\circ \) olarak verilmiştir.
3. Adım: \( NPM \) üçgenindeki \( \widehat{PNM} \) açısını bulalım:
$$ 105^\circ + 45^\circ = 150^\circ $$ $$ 180^\circ – 150^\circ = 30^\circ $$ Yani \( m(\widehat{PNM}) = 30^\circ \)’dir.
4. Adım: Karenin \( N \) köşesindeki toplam açı \( 90^\circ \)’dir. Görselde \( x \) olarak gösterilen \( \widehat{KNP} \) açısını bulmak için \( 90^\circ \)’den komşu açıyı çıkarırız:
$$ x = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ $$
Sonuç: \( x \) ile gösterilen açı \( 60^\circ \) olarak bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.