Mimar Selim Bey, bir projesinde \( ABCD \) dikdörtgeni şeklindeki bir cam panelin köşegenlerini çelik halatlar ile desteklemiştir. Köşegenlerin kesim noktası \( E \) noktasıdır. Panelde kullanılan parçaların uzunlukları \( |AE| = (3x – 5) \) cm ve \( |EB| = (x + 15) \) cm olarak ölçülmüştür.
Buna göre, bu cam panelin köşegenlerinden birinin toplam uzunluğu (\( |AC| \)) kaç santimetredir?
- \( 50 \)
- \( 25 \)
- \( 40 \)
- \( 10 \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Dikdörtgende köşegen uzunlukları birbirine eşittir ve köşegenler birbirini ortalar. Bu nedenle merkezden köşelere giden tüm parçaların uzunlukları eşittir.
1. Adım: Dikdörtgenin özelliğinden dolayı \( |AE| = |EB| \) olmalıdır. Denklemi kuralım:
\( 3x – 5 = x + 15 \)
2. Adım: Denklemi çözersek:
\( 3x – x = 15 + 5 \)
\( 2x = 20 \)
\( x = 10 \)
3. Adım: Bir parçanın uzunluğunu bulalım:
\( |AE| = 3 \cdot 10 – 5 = 25 \) cm.
Köşegenin tamamı bu parçanın iki katıdır:
\( |AC| = 2 \cdot 25 = 50 \) cm.
Sonuç: Panel köşegeninin toplam uzunluğu \( 50 \) cm olarak bulunur.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Bir teknoloji firması, ürettiği otonom droneların iniş hassasiyetini test etmek için dikdörtgen biçiminde bir kalibrasyon platformu tasarlamıştır. Sistemin testi için, dikdörtgenin köşegenleri boyunca uzanan ve \(E\) noktasında kesişen iki adet doğrusal lazer ışını (\([AC]\) ve \([BD]\)) yansıtılmaktadır.
Yazılım paneline düşen verilere göre; \(E\) noktası ile \(A\) köşesi arasındaki lazer ışınının uzunluğu \(3x + 15\) cm, \(B\) ve \(D\) köşeleri arasındaki toplam lazer ışınının uzunluğu ise \(8x – 10\) cm olarak ölçülmüştür.
Buna göre, dronun hedefi tam ortalayabilmesi için yansıtılan iki lazer ışınının toplam uzunluğu (\(|AC| + |BD|\)) kaç santimetredir?
- \(60\)
- \(150\)
- \(225\)
- \(300\)
Çözümü
Strateji: Dikdörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir (\(|AC| = |BD|\)) ve köşegenler birbirini ortalar. Bu durumda bir köşegenin yarısı olan \(|AE|\) uzunluğunun 2 katı, diğer köşegenin tam uzunluğuna eşit olmalıdır.
1. Adım: Köşegen özelliklerinden yola çıkarak \(2 \cdot |AE| = |BD|\) denklemini kuralım:
$$2 \cdot (3x + 15) = 8x – 10$$
$$6x + 30 = 8x – 10$$
$$30 + 10 = 8x – 6x$$
$$40 = 2x \implies x = 20$$
Sonuç: Bir lazer ışınının (\(|BD|\)) uzunluğunu hesaplayıp toplamı bulalım:
$$|BD| = 8 \cdot 20 – 10 = 160 – 10 = 150 \text{ cm}$$
Dikdörtgende \(|AC| = |BD|\) olduğundan, toplam uzunluk:
$$|AC| + |BD| = 150 + 150 = 300 \text{ cm}$$
Doğru cevap D seçeneğidir.
Akıllı bir seranın havalandırma ve ışıklandırma sistemi için tasarlanmış üç parçalı hareketli bir modül yukarıda modellenmiştir.
Bu modül; dikdörtgen biçimindeki \(ABFG\) sabit cam panelinden, paralelkenar biçimindeki \(FGDE\) hareketli güneş panelinden ve eşkenar dörtgen biçimindeki \(BCGD\) rüzgar kırıcı panelinden oluşmaktadır. Sensör paneline düşen verilere göre, paralelkenar panelin ardışık iki iç açısının ölçüleri görsel üzerinde \( (4x + 10)^\circ \) ve \( (2x – 10)^\circ \) olarak verilmiştir (\(G\) köşesindeki açı, paralelkenarın geniş açısıdır).
Sistemin dayanıklılığını artırmak için, eşkenar dörtgen panelin içine \(C\) ve \(G\) köşelerini birleştiren kırmızı renkli doğrusal bir alüminyum destek çıtası yerleştirilmiştir.
Buna göre, yerleştirilen bu alüminyum destek çıtasının \(BC\) kenarı ile oluşturduğu \(\widehat{BCG}\) açısı kaç derecedir?
- \( 50 \)
- \( 65 \)
- \( 70 \)
- \( 140 \)
Çözümü
Strateji: Paralelkenarın ardışık açılarının toplamının \( 180^\circ \) olması kuralından yararlanarak \( x \)’i bulmalı, ardından \( G \) köşesindeki tam açıyı kullanarak eşkenar dörtgenin iç açısına ulaşmalıyız.
1. Adım: Paralelkenarda ardışık iki iç açının toplamı \( 180^\circ \)’dir: $$ (4x + 10) + (2x – 10) = 180 $$ $$ 6x = 180 \implies x = 30 $$ Buradan \( G \) köşesindeki geniş açı: $$ s(\widehat{FGD}) = 4 \cdot 30 + 10 = 130^\circ $$ olarak bulunur.
2. Adım: \( G \) noktası etrafındaki açıları inceleyelim. \( ABFG \) dikdörtgen olduğundan \( s(\widehat{BGF}) = 90^\circ \)’dir. Tam açıdan eşkenar dörtgenin açısını bulalım: $$ s(\widehat{BGD}) = 360^\circ – (90^\circ + 130^\circ) = 140^\circ $$ Eşkenar dörtgende karşılıklı açılar eşittir, yani \( s(\widehat{BCD}) = 140^\circ \)’dir.
Sonuç: Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır. Bu nedenle kırmızı destek çıtasının oluşturduğu açı: $$ s(\widehat{BCG}) = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ $$ bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir teknoloji tasarım atölyesinde, bir robotun düzgün altıgen şeklindeki bir pistin iç köşelerinden dönerek ilerlemesi planlanmaktadır. Robotun her bir köşedeki dönüş açısını belirleyen iç açının cebirsel ifadesi \( (4x + 20)^\circ \) olarak tanımlanmıştır.
Buna göre, bu düzgün altıgen pistin bir dış açısının ölçüsü ile \( x \) değerinin toplamı kaç derecedir?
- \( 25 \)
- \( 60 \)
- \( 85 \)
- \( 120 \)
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Düzgün çokgenlerde bir dış açıyı bulmak, tüm dış açıların toplamı her zaman \( 360^\circ \) olduğu için en hızlı yoldur.
1. Adım: Düzgün altıgenin bir dış açısını hesaplayalım:
\( 360 \div 6 = 60^\circ \). (Dış Açı)
2. Adım: Bir iç açı ile bir dış açının toplamı \( 180^\circ \) olduğu için;
İç Açı: \( 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ \).
Verilen ifadeyi bu değere eşitleyelim: \( 4x + 20 = 120 \)
3. Adım: Denklemi çözelim:
\( 4x = 100 \implies x = 25 \).
4. Adım: Soru bizden dış açının ölçüsü (\( 60 \)) ile \( x \) değerinin (\( 25 \)) toplamını istemektedir:
\( 60 + 25 = 85 \).
Sonuç: Toplam değer \( 85 \) derecedir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir teknoloji firması, zorlu arazi koşullarında kullanılmak üzere yeni nesil bir endüstriyel tablet tasarlamıştır. Tabletin dikdörtgen biçimindeki dış yüzeyinin kenar uzunlukları, santimetre cinsinden bir \( x \) değişkenine bağlı olarak görsel üzerinde modellenmiştir.
Bu tabletin çevresine darbe emici özel bir titanyum koruma bandı çekilecektir. Tasarım departmanının raporuna göre, tabletin etrafını tam bir tur sarmak için kullanılan titanyum bandın toplam uzunluğu \( 70 \) santimetredir.
Buna göre, tasarlanan bu tabletin ön yüzey alanı kaç santimetrekaredir?
- \( 143 \)
- \( 286 \)
- \( 572 \)
- \( 1161 \)
Çözümü
Strateji: Dikdörtgenin çevre uzunluğu, kısa ve uzun kenar toplamının \( 2 \) katıdır. Önce çevre formülü ile \( x \) değerini bulmalı, ardından kenar uzunluklarını hesaplayıp alan formülüne (\( \text{Kısa Kenar} \cdot \text{Uzun Kenar} \)) geçmeliyiz.
1. Adım: Verilen cebirsel ifadelerle çevre denklemini kuralım: $$ \text{Çevre} = 2 \cdot ((2x + 1) + (3x + 4)) $$ $$ 70 = 2 \cdot (5x + 5) $$ $$ 70 = 10x + 10 \implies 60 = 10x \implies x = 6 $$
2. Adım: Bulduğumuz \( x = 6 \) değerini kenar uzunluklarında yerine yazalım: $$ \text{Kısa Kenar} = 2 \cdot 6 + 1 = 13 \text{ cm} $$ $$ \text{Uzun Kenar} = 3 \cdot 6 + 4 = 22 \text{ cm} $$
Sonuç: Tabletin ön yüzey alanı bu iki kenarın çarpımıdır: $$ \text{Alan} = 13 \cdot 22 = 286 \text{ cm}^2 $$
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir akıllı ev sistemleri firması, duvara monte edilecek bir kontrol paneli tasarlamıştır. Bu panelin dış çerçevesi ikizkenar yamuk biçimindedir ve görseldeki ölçülere sahiptir.
Panelin tam ortasında eşkenar dörtgen biçiminde dokunmatik bir LED ekran bulunmaktadır. Panel yüzeyinde LED ekranın dışında kalan Mat Bölge’nin alanı \( 260 \text{ cm}^2 \) olarak hesaplanmıştır.
LED ekranın dikey köşegen uzunluğu \( 10 \text{ cm} \) olduğuna göre, yatay köşegeninin uzunluğu \( (x) \) kaç santimetredir?
- \( 4 \)
- \( 8 \)
- \( 34 \)
- \( 68 \)
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Panelin toplam alanından (yamuk alanı) mat bölgenin alanını çıkararak LED ekranın (eşkenar dörtgen) alanına ulaşmalıyız. Ardından eşkenar dörtgenin alan formülünü kullanarak verilmeyen köşegeni hesaplayabiliriz.
1. Adım: İkizkenar yamuk şeklindeki panelin toplam alanını hesaplayalım: $$ \text{Yamuk Alanı} = \frac{(30 + 20)}{2} \cdot 12 = 25 \cdot 12 = 300 \text{ cm}^2 $$
2. Adım: LED ekranın alanını bulmak için toplam alandan mat bölge alanını çıkaralım: $$ \text{LED Ekran Alanı} = 300 – 260 = 40 \text{ cm}^2 $$
3. Adım: Eşkenar dörtgenin alan formülü \( \frac{e \cdot f}{2} \) olduğuna göre: $$ \frac{10 \cdot x}{2} = 40 \implies 5x = 40 \implies x = 8 \text{ cm} $$
Sonuç: Dokunmatik LED ekranın yatay köşegen uzunluğu \( 8 \text{ cm} \) olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir belediyenin peyzaj mimarı, üst tabanı \( 12 \) metre ve alt tabanı \( 20 \) metre olan dik yamuk şeklindeki bir bölgeye rulo çim döşeyecektir. Bu bölgenin yüksekliği (dik kenarı) ise \( 10 \) metredir.
Rulo çimin metrekare (\( \text{m}^2 \)) fiyatı \( 40 \) TL’dir.
Buna göre, bu bahçenin tamamını çimlendirmek için gereken bütçe kaç TL’dir?
- \( 3200 \)
- \( 6400 \)
- \( 8000 \)
- \( 12800 \)
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Yamuğun alanını hesaplamak için alt ve üst taban toplamını yükseklikle çarpıp ikiye böleriz. Ardından toplam alanı birim fiyat ile çarparak bütçeyi buluruz.
1. Adım: Yamuğun alan formülünü uygulayalım:
\( \text{Alan} = \frac{(a+c) \cdot h}{2} \)
2. Adım: Değerleri yerine koyalım:
\( \text{Alan} = \frac{(12 + 20) \cdot 10}{2} = \frac{32 \cdot 10}{2} = 160 \text{ m}^2 \)
3. Adım: Toplam maliyeti hesaplayalım:
\( 160 \cdot 40 = 6400 \text{ TL} \)
Sonuç: Bahçenin çimlendirilmesi için \( 6400 \) TL bütçe gereklidir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir savunma sanayi fabrikasında, yüksek hassasiyetli bir CNC lazer kesim makinesi kullanılarak düzgün çokgen biçiminde özel bir mekanik dişli üretilecektir. Üretim paneline girilen yukarıdaki teknik çizimde, dişlinin bir köşesine ait iç açı ile dış açının ölçüleri cebirsel olarak modellenmiştir.
Lazer kesici, bu düzgün çokgenin her bir kenarını tam olarak \( 30 \) saniyede kesebilecek şekilde programlanmıştır.
Buna göre, CNC makinesinin bu dişlinin çevresini tam bir tur dönerek kesimi tamamlaması toplam kaç dakika sürer?
- \( 5 \)
- \( 6 \)
- \( 12 \)
- \( 24 \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir düzgün çokgenin aynı köşesine ait iç açı ile dış açının toplamı her zaman \( 180^\circ \)’dir. Bu bilgiyi kullanarak önce \( x \) değerini, ardından dış açıyı ve kenar sayısını bulacağız.
1. Adım: İç ve dış açı toplamından denklemi kuralım: $$ (11x + 55) + (3x – 15) = 180 $$ $$ 14x + 40 = 180 \implies 14x = 140 \implies x = 10 $$
2. Adım: Dış açıyı hesaplayalım: $$ \text{Dış Açı} = 3 \cdot 10 – 15 = 15^\circ $$ Kenar sayısını (\( n \)) bulalım: $$ n = \frac{360^\circ}{15^\circ} = 24 \text{ kenarlı} $$
Sonuç: Toplam kesim süresi saniye cinsinden: $$ 24 \cdot 30 = 720 \text{ saniye} $$ Dakikaya çevirdiğimizde: $$ \frac{720}{60} = 12 \text{ dakika bulunur.} $$
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir kargo firması, drone teslimatları için dikdörtgen biçiminde, alanı \( 1800 \text{ cm}^2 \) olan bir iniş platformu tasarlamıştır. Bu platformun kenar uzunlukları cm cinsinden birer tam sayıdır ve platform kare biçiminde değildir.
Dikkat çekmesi için platformun içine, köşeleri dikdörtgenin kenarlarının tam orta noktalarına gelecek şekilde eşkenar dörtgen biçiminde bir hedef alanı boyanacaktır. Drone kamerasının hedefi daha rahat tanıması için bu eşkenar dörtgenin köşegenleri boyunca beyaz renkli fosforlu iki şerit çizilmiştir.
Buna göre, çizilen bu iki fosforlu şeridin (köşegenlerin) uzunlukları arasındaki fark en az kaç santimetredir?
- \( 5 \)
- \( 7 \)
- \( 14 \)
- \( 22 \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir dikdörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları, o dikdörtgenin kenar uzunluklarına eşittir. Farkın en az olması için alanı \( 1800 \) olan dikdörtgenin kenarlarını birbirine en yakın seçmeliyiz.
1. Adım: Dikdörtgenin kenarlarına \( a \) ve \( b \) diyelim. \( a \cdot b = 1800 \). Köşegenler de \( e = a \) ve \( f = b \) olacaktır. Farkın (\( b – a \)) en az olması için sayıların birbirine en yakın olması gerekir.
2. Adım: \( 1800 \)’ün çarpanlarını inceleyelim: $$ 30 \cdot 60 = 1800 \implies 60 – 30 = 30 $$ $$ 36 \cdot 50 = 1800 \implies 50 – 36 = 14 $$ $$ 40 \cdot 45 = 1800 \implies 45 – 40 = 5 $$
Sonuçu: Platform kare olmadığı için (\( a \neq b \)), birbirine en yakın farklı tam sayı çarpanları \( 40 \) ve \( 45 \)’tir. Aradaki fark en az \( 45 – 40 = 5 \text{ cm} \) olur.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Bir okulun spor şenlikleri için eşkenar dörtgen şeklinde özel flamalar dikilecektir. Bu flamanın yatay köşegen uzunluğu \( 24 \text{ cm} \) olarak ölçülmüştür.
Flamanın her bir yüzeyini kaplamak için tam \( 480 \text{ cm}^2 \) kumaş kullanıldığı bilinmektedir.
Buna göre, bu flamanın diğer (dikey) köşegen uzunluğu kaç santimetredir?
- \( 20 \)
- \( 30 \)
- \( 36 \)
- \( 40 \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Eşkenar dörtgenin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir. Bu kuralı kullanarak bilinmeyen köşegen uzunluğunu denklem yardımıyla hesaplayabiliriz.
1. Adım: Alan formülünü yazalım ve bilinenleri yerine koyalım:
$$ \text{Alan} = \frac{e \cdot f}{2} \implies 480 = \frac{e \cdot 24}{2} $$
2. Adım: İşlemi sadeleştirelim. \( 24 \) ile \( 2 \) sadeleştiğinde \( 12 \) kalır:
\( 480 = e \cdot 12 \)
3. Adım: Bilinmeyen köşegeni (\( e \)) bulmak için alanı \( 12 \)’ye bölelim:
\( e = 480 \div 12 = 40 \text{ cm} \)
Sonuç: Flamanın dikey köşegen uzunluğu \( 40 \text{ cm} \) olarak hesaplanır.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir belediye, dikdörtgen biçimindeki \( ABCD \) kapalı fuar merkezini, \( E \) ve \( F \) noktalarından geçen doğrusal bir paravanla iki farklı yamuksal bölgeye ayırmıştır. Soldaki alan Teknoloji Fuarı, sağdaki alan ise Kitap Fuarı olarak tahsis edilmiştir.
Fuar merkezinin üst kenar uzunluğu \( |AB| = 36 \text{ m} \) olup, Kitap Fuarı için ayrılan \( EBCF \) bölgesinin alanı \( 125 \text{ m}^2 \)’dir.
Buna göre, Teknoloji Fuarı için ayrılan \( AEFD \) bölgesinin alanı kaç metrekaredir?
- \( 175 \)
- \( 235 \)
- \( 325 \)
- \( 360 \)
Çözümü
Strateji: Dikdörtgenin karşılıklı kenarlarının eşitliğini (\( |AB| = |DC| \)) kullanarak bilinmeyenleri bulmalı, ardından yamuk alan formülü ile yüksekliğe ulaşmalısın.
1. Adım: Üst kenardan \( x \) değerini hesaplayalım: $$ (3x – 3) + (x + 7) = 36 \implies 4x + 4 = 36 \implies 4x = 32 \implies x = 8 $$ Buradan \( |AE| = 21 \text{ m} \) ve \( |EB| = 15 \text{ m} \) bulunur.
2. Adım: Alt kenardan \( y \) değerini hesaplayalım: $$ (4y – 2) + (y + 3) = 36 \implies 5y + 1 = 36 \implies 5y = 35 \implies y = 7 $$ Buradan \( |DF| = 26 \text{ m} \) ve \( |FC| = 10 \text{ m} \) bulunur.
3. Adım: Kitap Fuarı (\( EBCF \)) alanından yüksekliği (\( h \)) bulalım: $$ \frac{15 + 10}{2} \cdot h = 125 \implies 12,5 \cdot h = 125 \implies h = 10 \text{ m} $$
Sonuç: Teknoloji Fuarı (\( AEFD \)) alanı: $$ \text{Alan} = \frac{21 + 26}{2} \cdot 10 = \frac{47}{2} \cdot 10 = 47 \cdot 5 = 235 \text{ m}^2 $$
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir harita mühendisi, tarımsal bir araziyi dijital ortama aktarırken arazinin sınırlarını eşkenar dörtgen biçiminde modelliyor. \( KLMN \) eşkenar dörtgeni şeklindeki bu modelde, araziyi sulamak için \( K \) köşesinden \( M \) köşesine doğrusal bir su borusu hattı (köşegen) planlanmıştır.
Yapılan ölçümlerde su borusu hattının \( KL \) sınırı ile yaptığı açı \( s(\widehat{LKM}) = (3x + 12)^\circ \) ve arazinin \( L \) köşesindeki geniş açısı \( s(\widehat{KLM}) = (6x + 60)^\circ \) olarak sisteme girilmiştir.
Buna göre, arazinin \( K \) köşesindeki dar açısının ölçüsü \( s(\widehat{LKN}) \) kaç derecedir?
- \( 36^\circ \)
- \( 48^\circ \)
- \( 72^\circ \)
- \( 108^\circ \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır. Bu durumda \( s(\widehat{LKN}) = 2 \cdot s(\widehat{LKM}) \) olur. Ayrıca ardışık açıların toplamı \( 180^\circ \)’dir.
1. Adım: \( KM \) köşegeni açıortay olduğu için \( K \) açısının tamamı: \( s(\widehat{LKN}) = 2 \cdot (3x + 12) = 6x + 24 \) olur. Ardışık olan \( K \) ve \( L \) açılarının toplamı \( 180^\circ \) kuralından: $$ (6x + 24) + (6x + 60) = 180 $$ $$ 12x + 84 = 180 \implies 12x = 96 \implies x = 8 $$ olarak bulunur.
Sonuç: Bizden istenen \( s(\widehat{LKN}) \) açısı: \( 6 \cdot 8 + 24 = 48 + 24 = 72^\circ \) derecedir.
Doğru cevap C seçeneğidir.