Bir reklam ajansı, iki farklı tabela tasarımı hazırlamıştır. \( \text{I} \) numaralı tabela bir yamuk, \( \text{II} \) numaralı tabela ise bir dikdörtgen şeklindedir. Tasarımcı, her iki tabelanın ön yüz alanlarının birbirine eşit olmasını planlamıştır.
Yamuk şeklindeki tabelanın üst taban uzunluğu \( 12 \text{ cm} \) ve yüksekliği \( 8 \text{ cm} \)’dir. Dikdörtgen tabelanın ise kenar uzunlukları \( 20 \text{ cm} \) ve \( 6 \text{ cm} \)’dir.
Buna göre, I numaralı tabelanın alt taban uzunluğu kaç cm olmalıdır?
- \( 15 \)
- \( 16 \)
- \( 17 \)
- \( 18 \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Alanları eşit olan iki geometrik şekilden birinin bilinmeyen kenarını bulmak için önce alanı tam olarak hesaplanabilen dikdörtgenden yola çıkılmalıdır.
1. Adım: Dikdörtgenin (II numaralı tabela) alanını hesaplayalım: \( \text{Alan} = 20 \cdot 6 = 120 \text{ cm}^2 \)’dir. Alanlar eşit olduğu için yamuğun (I numaralı tabela) alanı da \( 120 \text{ cm}^2 \) olmalıdır.
2. Adım: Yamuğun alan formülü \( \frac{(\text{Üst Taban} + \text{Alt Taban}) \cdot \text{Yükseklik}}{2} \) şeklindedir. Alt taban uzunluğuna \( x \) diyelim: $$ \frac{(12 + x) \cdot 8}{2} = 120 $$
3. Adım: Denklemi sadeleştirerek \( x \) değerini bulalım: \( (12 + x) \cdot 4 = 120 \) \( 12 + x = 30 \) \( x = 30 – 12 = 18 \text{ cm} \)
Sonuç: Yamuğun alt taban uzunluğu \( 18 \text{ cm} \) olarak bulunmuştur.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir belediye, kenar uzunlukları metre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgen biçiminde bir çocuk oyun alanı inşa edecektir. Bu alanın büyüklüğü \( 48 \text{ m}^2 \) olarak planlanmıştır.
Oyun alanının etrafına güvenlik amacıyla tek sıra tel çekilecektir. Tel maliyetini en aza indirmek için oyun alanının çevresinin en kısa olması hedeflenmektedir.
Buna göre, bu oyun alanının etrafına çekilecek telin uzunluğu en az kaç metredir?
- \( 14 \)
- \( 28 \)
- \( 32 \)
- \( 52 \)
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Alanı verilen bir dikdörtgenin çevresinin en küçük olması için kenar uzunluklarının (çarpanların) birbirine en yakın seçilmesi gerekir!
1. Adım: Alanı \( 48 \text{ m}^2 \) olan dikdörtgenin olası tam sayı kenar uzunluklarını (\( 48 \)’in çarpanlarını) bulalım:
\( 1 \cdot 48 \)
\( 2 \cdot 24 \)
\( 3 \cdot 16 \)
\( 4 \cdot 12 \)
\( 6 \cdot 8 \)
2. Adım: Çevrenin en az olması için birbirine en yakın iki çarpanı olan \( 6 \text{ m} \) ve \( 8 \text{ m} \)’yi kenar uzunlukları olarak seçmeliyiz.
Sonuç: Çevre formülü \( 2 \cdot (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar}) \) olduğundan;
Çevre = \( 2 \cdot (6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28 \text{ m} \) olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir peyzaj mimarı, yeni nesil bir yaşam kompleksi için altıgen şeklinde bir etkinlik alanı tasarlamıştır. Yukarıdaki krokide, bu alanın beş köşesindeki iç açıların ölçüleri verilmiştir. Alanın çevresine çekilecek olan güvenlik şeridinin, \( F \) köşesindeki doğrusal doğrultudan sapma açısı krokide \( x \) ile gösterilmiştir.
Buna göre, krokide gösterilen \( x \) açısı kaç derecedir?
- \( 40^\circ \)
- \( 50^\circ \)
- \( 60^\circ \)
- \( 70^\circ \)
3. Sorunun Çözümü
Strateji: \( n \) kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı \( (n-2) \cdot 180^\circ \) formülü ile bulunur. Ayrıca, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı daima \( 180^\circ \)’dir.
1. Adım: Altıgenin (\( n=6 \)) iç açılar toplamını hesaplayalım:
$$ (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ $$2. Adım: Verilen 5 açıyı toplayarak \( F \) köşesindeki iç açıyı bulalım:
$$ 115^\circ + 125^\circ + 105^\circ + 135^\circ + 110^\circ = 590^\circ $$ $$ 720^\circ – 590^\circ = 130^\circ $$3. Adım: \( F \) köşesindeki dış açıyı (\( x \)) bulmak için bütünler açı kuralını uygulayalım:
$$ x = 180^\circ – 130^\circ = 50^\circ $$Sonuç: Krokide gösterilen sapma açısı \( 50^\circ \) olarak hesaplanır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir çiftçi, elindeki \( 36 \text{ metre} \) uzunluğundaki telin tamamını kullanarak dikdörtgen şeklinde bir hobi bahçesi oluşturacaktır. Bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden birer tam sayıdır.
Çiftçi, bahçesinin ekilebilir alanının mümkün olduğunca geniş olmasını istemektedir.
Buna göre, bu hobi bahçesinin alanı en fazla kaç metrekare olabilir?
- \( 45 \)
- \( 72 \)
- \( 81 \)
- \( 90 \)
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Çevresi sabit olan bir dikdörtgenin alanının en büyük (maksimum) olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın, hatta mümkünse eşit (kare) seçilmesi gerekir.
1. Adım: Dikdörtgenin çevresi \( 2 \cdot (a + b) = 36 \) ise iki farklı kenarın toplamı \( a + b = 18 \text{ metre} \) olur.
2. Adım: Toplamları \( 18 \) olan tam sayı çiftlerini incelediğimizde; sayılar birbirine yaklaştıkça çarpımın (alanın) büyüdüğünü görürüz. Sayıları birbirine en yakın (eşit) seçelim.
3. Adım: \( a = 9 \) ve \( b = 9 \) seçilirse (kare durumu), Alan \( = 9 \cdot 9 = 81 \text{ m}^2 \) olarak hesaplanır.
Sonuç: Bahçenin alanı en fazla \( 81 \text{ m}^2 \) olur. Doğru cevap C seçeneğidir.
Yenilenebilir enerji uzmanı olan bir mühendis, düz bir çatıya dikdörtgen biçiminde bir güneş enerjisi paneli sistemi kuracaktır. Bu sistemin kaplayacağı alan \( 24 \text{ m}^2 \) olarak belirlenmiştir ve kenar uzunlukları metre cinsinden birer tam sayıdır.
Çatının fiziksel yapısı gereği, kurulacak panel sisteminin kısa kenarının \( 2 \text{ m} \)’den büyük olması zorunludur. Panelin etrafına yalıtım ve destek amacıyla alüminyum çerçeve monte edilecektir.
Verilen bu kısıtlamalara göre, panelin etrafına çekilecek alüminyum çerçevenin uzunluğu en fazla kaç metre olabilir?
- \( 20 \)
- \( 22 \)
- \( 28 \)
- \( 50 \)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Alanı sabit olan bir dikdörtgende kenar uzunlukları (çarpanlar) birbirine yaklaştıkça çevre küçülür, birbirinden uzaklaştıkça çevre büyür. Ancak buradaki asıl kısıtlama şartını (“Kısa kenar \( > 2 \text{ m} \)”) dikkate almalıyız.
1. Adım: Alanı \( 24 \text{ m}^2 \) olan dikdörtgenin olası tam sayı kenar uzunluklarını (\( 24 \)’ün çarpanlarını) yazalım ve kısıtlamaya göre eleyelim:
\( 1 \cdot 24 \) (Kısa kenar \( 1 \text{ m} \). Kurala uymaz.)
\( 2 \cdot 12 \) (Kısa kenar \( 2 \text{ m} \). \( 2 > 2 \) şartını sağlamaz.)
\( 3 \cdot 8 \) (Kısa kenar \( 3 \text{ m} \). Kurala uyar.)
\( 4 \cdot 6 \) (Kısa kenar \( 4 \text{ m} \). Kurala uyar.)
2. Adım: Kurala uyan seçenekler arasından çevrenin en fazla olmasını sağlayan, çarpanları birbirine en uzak olan \( 3 \cdot 8 \) çiftini seçmeliyiz.
Sonuç: Çevre = \( 2 \cdot (3 + 8) = 2 \cdot 11 = 22 \text{ m} \) olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir teknoloji festivaline katılan robotik takımı, dikdörtgen şeklindeki bir alüminyum levhayı kullanarak drone gövdesi tasarlayacaktır. Tasarım gereği, başlangıçta kenar uzunlukları \( 40 \text{ cm} \) ve \( 30 \text{ cm} \) olan bu levhanın dört köşesinden, bir kenar uzunluğu \( 5 \text{ cm} \) olan eş kare parçalar kesilerek çıkarılmaktadır.
Buna göre, köşelerden kareler kesildikten sonra elde edilen yeni levhanın dış çevre uzunluğu ilk duruma göre nasıl değişir?
- \( 20 \text{ cm azalır.} \)
- \( 40 \text{ cm azalır.} \)
- \( \text{Değişmez.} \)
- \( 20 \text{ cm artar.} \)
Çözümü
Strateji: Geometrik bir kural olarak, bir dikdörtgenin köşesinden dikdörtgen veya kare şeklinde bir parça çıkarıldığında, çevreden eksilen kenar uzunlukları kadar iç bölgede yeni kenarlar oluşur. Bu durum çevre uzunluğunun korunmasını sağlar.
1. Adım: Kesim yapılmadan önceki ilk levhanın çevre uzunluğunu hesaplayalım:
$$ \text{İlk Çevre} = 2 \cdot (40 + 30) = 2 \cdot 70 = 140 \text{ cm} $$2. Adım: Kesilen her bir köşe için değişimi analiz edelim. Bir köşeden \( 5 \text{ cm} \)’lik kare çıkarıldığında; dış sınırda \( 5 + 5 = 10 \text{ cm} \) uzunluk eksilirken, oluşan boşluğun iç kısmında yine dikey ve yatay doğrultuda \( 5 + 5 = 10 \text{ cm} \) uzunluk eklenir.
3. Adım: Matematiksel değişim dengesi:
$$ \text{Değişim} = -10 \text{ cm (eksilen)} + 10 \text{ cm (oluşan)} = 0 $$Dört köşe için de bu denge geçerli olduğundan toplam çevre uzunluğu sabit kalır.
Sonuç: Yeni levhanın çevre uzunluğu yine \( 140 \text{ cm} \) olur. Yani çevre uzunluğu değişmez.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir mimar, çocuk parkı için beşgen şeklinde bir kum havuzu tasarlamıştır. Bu havuzun dört iç açısının ölçüsü şekilde gösterildiği gibi sırasıyla \( 110^\circ \), \( 125^\circ \), \( 105^\circ \) ve \( 80^\circ \)’dir.
Buna göre, bu tasarımda verilmeyen E köşesindeki iç açının (\( x \)) ölçüsü kaç derecedir?
- \( 115^\circ \)
- \( 120^\circ \)
- \( 125^\circ \)
- \( 130^\circ \)
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Çokgenlerin iç açılar toplamı \( (n-2) \cdot 180^\circ \) formülü ile hesaplanır. Beşgenin toplam iç açısını bulup bilinen açıların toplamından çıkararak verilmeyen açıyı bulabiliriz.
1. Adım: Beşgenin (\( n=5 \)) iç açılar toplamını hesaplayalım: $$ (5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ $$
2. Adım: Şekil üzerinde verilen dört iç açının toplamını bulalım: \( 110^\circ + 125^\circ + 105^\circ + 80^\circ = 420^\circ \)
3. Adım: Verilmeyen \( x \) açısını bulmak için toplamdan bilinenleri çıkaralım: \( 540^\circ – 420^\circ = 120^\circ \)
Sonu: E köşesindeki açının ölçüsü \( 120^\circ \) olarak hesaplanmıştır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir iç mimar, tasarladığı düzgün altıgen biçimindeki \( ABCDEF \) bir duvar aynasının arkasına, yapıyı sağlamlaştırmak amacıyla \( A \) köşesinden \( C \) köşesine uzanan doğrusal bir destek çıtası yerleştirmiştir.
Yukarıdaki teknik çizimde \( x \) ile gösterilen açı, aynanın \( AF \) kenarı ile \( AC \) destek çıtası arasında kalan açıyı temsil etmektedir.
Buna göre, tasarımdaki \( x \) açısı kaç derecedir?
- \( 30^\circ \)
- \( 60^\circ \)
- \( 90^\circ \)
- \( 120^\circ \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Düzgün çokgenlerde ardışık iki kenarı birleştiren köşegenler her zaman ikizkenar üçgenler oluşturur. Önce altıgenin bir iç açısını bulup, ardından oluşan üçgenin taban açısını hesaplayarak bütünden çıkarmalıyız.
1. Adım: Düzgün altıgenin bir iç açısını hesaplayalım:
İç Açı = \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ \)
Yani \( \angle FAB = 120^\circ \) ve \( \angle B = 120^\circ \)’dir.
2. Adım: \( ABC \) üçgenini inceleyelim. Aynanın kenarları eşit olduğundan (\( AB = BC \)), bu bir ikizkenar üçgendir. Tepe açısı \( \angle B = 120^\circ \) ise taban açıları:
\( \angle BAC = \frac{180^\circ – 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \)
Sonuç: Bizden istenen \( x \) açısı (\( \angle FAC \)), \( A \) köşesindeki toplam iç açıdan (\( \angle FAB \)) bulduğumuz \( 30^\circ \)’lik taban açısının çıkarılmasıdır:
\( x = 120^\circ – 30^\circ = 90^\circ \) bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir mobilya tasarımcısı, üreteceği yeni nesil akıllı ayna için bilgisayarlı çizim (CAD) programında düzgün çokgen şeklinde bir çerçeve taslağı hazırlamaktadır. Tasarım programındaki ayarlara göre, çerçevenin taban kenarının uzantısı ile komşu kenarı arasındaki açı krokideki gibi \( 45^\circ \) olarak belirlenmiştir.
Buna göre, tasarımcının hazırladığı bu akıllı aynanın çerçevesi kaç kenarlıdır?
- \( 6 \)
- \( 8 \)
- \( 9 \)
- \( 10 \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Tüm dış bükey çokgenlerin dış açıları toplamı daima \( 360^\circ \)’dir. Düzgün çokgenlerde tüm dış açılar birbirine eşit olduğundan, toplam dış açıyı bir dış açıya bölerek kenar sayısını (\( n \)) bulabiliriz.
1. Adım: Görseldeki \( 45^\circ \)’lik açı, düzgün çokgenin bir kenarının uzantısı ile komşu kenarı arasında kaldığı için bu açının bir dış açı olduğunu tespit ederiz.
2. Adım: Kenar sayısını bulmak için kullanılan genel formülü hatırlayalım:
$$ n = \frac{360^\circ}{\text{Bir Dış Açı}} $$3. Adım: Verilen değeri formülde yerine koyarak işlemi tamamlayalım:
$$ n = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8 $$Sonuç: Tasarlanan ayna çerçevesi \( 8 \) kenarlıdır (Düzgün Sekizgen).
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir mimar, modern bir kütüphane binasının ön cephesini yamuk şeklinde tasarlamıştır. Bu cephenin üst taban uzunluğu \( 12 \text{ metre} \), alt taban uzunluğu ise \( 28 \text{ metre} \)’dir.
Binanın ısı yalıtımı için bu cephenin tamamı \( 200 \text{ metrekare} \) özel bir cam panel ile kaplanacaktır.
Buna göre, kütüphane binasının bu cephesindeki yüksekliği (\( h \)) kaç metredir?
- \( 8 \)
- \( 10 \)
- \( 12 \)
- \( 14 \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Yamuğun alanı verildiğinde bilinmeyen yüksekliği bulmak için alan formülünü (\( \text{Alan} = \frac{(\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}) \cdot h}{2} \)) kullanarak denklemi çözmeliyiz.
1. Adım: Verilen değerleri alan formülünde yerine yerleştirelim: $$ 200 = \frac{(28 + 12) \cdot h}{2} $$
2. Adım: Parantez içindeki taban toplamını hesaplayıp işlemi sadeleştirelim: \( 200 = \frac{40 \cdot h}{2} \) \( 200 = 20 \cdot h \)
3. Adım: Yüksekliği (\( h \)) bulmak için alanı katsayıya bölelim: \( h = 200 \div 20 = 10 \text{ metre} \)
Sonuç: Kütüphane cephesinin yüksekliği \( 10 \text{ metre} \) olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir teknoloji firması, test sahası olarak \( ABCD \) karesi biçiminde düz bir zemin hazırlamıştır. Sahanın \( B \) köşesinden \( D \) köşesine doğru uzanan doğrusal bir kılavuz çizgisi çekilmiştir.
Bu kılavuz çizgisi üzerindeki bir \( E \) noktasına sabit bir yönlendirici sensör yerleştirilmiş ve bu sensörden \( C \) köşesindeki robota doğrusal bir veri aktarım hattı (\( CE \)) kurulmuştur. Kılavuz çizgisi ile veri aktarım hattı arasında kalan geniş açı \( m(\widehat{BEC}) = 115^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, veri aktarım hattının sahanın \( CD \) kenarı ile yaptığı \( x \) açısı kaç derecedir?
- \( 60 \)
- \( 65 \)
- \( 70 \)
- \( 75 \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Karenin köşegeni aynı zamanda bir açıortaydır ve köşedeki \( 90^\circ \)’lik açıyı \( 45^\circ – 45^\circ \) olarak ikiye böler. Üçgenin iç açıları toplamından \( \widehat{BCE} \) açısını bulup, karenin dik köşesinden çıkarmalıyız.
1. Adım: \( BD \) doğrusu karenin köşegeni olduğu için \( \widehat{CBD} \) açısı (ve dolayısıyla \( \widehat{CBE} \)) kesinlikle \( 45^\circ \)’dir.
2. Adım: \( BCE \) üçgeninin iç açıları toplamını (\( 180^\circ \)) kullanalım:
\( m(\widehat{BCE}) = 180^\circ – (115^\circ + 45^\circ) = 180^\circ – 160^\circ = 20^\circ \)
Sonuç: Karenin \( C \) köşesinin tamamı \( 90^\circ \) olduğundan, \( x \) açısı şu şekilde bulunur:
\( x = 90^\circ – 20^\circ = 70^\circ \)
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir belediye, gençlik parkına inşa edilecek kaykay rampasının taşıyıcı profillerini tasarlamaktadır. Yandan görünümü \( ABCD \) yamuğu şeklinde olan bu rampada, esnemeyi önlemek için \( BE \) çelik destek profili yerleştirilmiştir. Tasarım özelliklerine göre \( ABED \) bölümü bir paralelkenar biçimindedir.
Krokide verilen açı ölçülerine göre, rampanın arka üst köşesinde oluşan \( x \) açısı kaç derecedir?
- \( 70^\circ \)
- \( 110^\circ \)
- \( 120^\circ \)
- \( 132^\circ \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu soruda üçgenin iç açıları toplamı, bütünler açılar ve paralelkenarın karşılıklı açılarının eşitliği kurallarını zincirleme olarak kullanacağız.
1. Adım: Sağ taraftaki \( BCE \) üçgenine odaklanalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)’dir. \( \angle BEC \) açısını bulalım:
$$ 48^\circ + 62^\circ = 110^\circ $$ $$ 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ \text{ (BEC açısı)} $$2. Adım: \( D, E, C \) noktaları doğrusal olduğu için \( \angle DEB \) ve \( \angle BEC \) bütünler açılardır:
$$ 180^\circ – 70^\circ = 110^\circ \text{ (DEB açısı)} $$3. Adım: \( ABED \) bir paralelkenardır. Paralelkenarın temel özelliği gereği karşılıklı açılar birbirine eşittir. Bu durumda \( A \) köşesindeki \( x \) açısı, çaprazındaki \( E \) köşesindeki \( \angle DEB \) açısına eşit olur.
$$ x = 110^\circ $$Sonuç: Rampanın arka üst köşesindeki açı \( 110^\circ \) olarak hesaplanmıştır.
Doğru cevap B seçeneğidir.