1. Adım: Haftalık boy ölçümleri sırasıyla \( 7, 11, 15, \dots \) şeklindedir. Terimler arasındaki farkı incelediğimizde: \( 11 – 7 = 4 \) ve \( 15 – 11 = 4 \text{ cm} \)’dir. Bu durum, her hafta boyun sabit olarak \( 4 \text{ cm} \) arttığını gösterir. Artış miktarı \( 4 \) olduğu için örüntü kuralının iskeleti \( 4n \) olmalıdır. 1. hafta (\( n=1 \)) için kuralı denediğimizde \( 4 \cdot 1 = 4 \) değerini elde ederiz. Ancak 1. hafta boy \( 7 \text{ cm} \)’dir. \( 4 \)’ü \( 7 \)’ye tamamlamak için ifadeye \( 3 \) eklemeliyiz: \( 4n + 3 \).

Sonuç: İfadeyi \( n=2 \) için test edersek \( 4 \cdot 2 + 3 = 11 \) (doğru). Bu durumda kural \( 4n + 3 \) olarak doğrulanır.

1. Adım: Örüntüdeki sayıların arasındaki artış miktarını bulalım.
\( 11 – 7 = 4 \) ve \( 15 – 11 = 4 \). Sabit artış miktarı \( 4 \)’tür. Bu nedenle cebirsel ifademiz \( 4n \) terimi ile başlamalıdır.

2. Adım: Kuralın doğruluğunu \( 1 \). adım için test edelim. \( n = 1 \) için kuralın bize \( 7 \) sonucunu vermesi gerekir.
\( 4 \cdot 1 = 4 \) eder. Sonucun \( 7 \) olması için bu değere \( 3 \) eklemeliyiz. Dolayısıyla örüntünün genel kuralı \( 4n + 3 \) olarak bulunur.

Sonuç: Artış miktarı katsayı olarak yazılıp ilk terime eşitlendiğinde genel kuralın \( 4n + 3 \) olduğu görülür.

1. Adım: Dizinin artış miktarını belirleyelim. Ardışık terimler arasındaki fark \( 10 – 6 = 4 \) ve \( 14 – 10 = 4 \) olduğundan, kuralımız \( 4n \) ile başlamalıdır.

2. Adım: Örüntünün cebirsel ifadesini (genel kuralını) bulalım. \( n = 1 \) için \( 4 \cdot 1 = 4 \) olur. İlk sıradaki panel sayısının \( 6 \) olması için bu değere \( 2 \) eklemeliyiz. Dolayısıyla kuralımız \( 4n + 2 \) olur.

3. Adım: Kuralda \( n \) yerine \( 21 \) yazarak 21. sıradaki panel sayısını hesaplayalım:
\( 4 \cdot 21 + 2 = 84 + 2 = 86 \)

Sonuç: 21. sıraya toplam \( 86 \) adet güneş paneli yerleştirilir. (Sadece \( 4n \) hesaplayanlar \( 84 \)’e, ilk terimi sabit sananlar \( 90 \)’a düşecektir.)

1. Adım: Şekil 2’deki yükseklikten Şekil 1’deki yüksekliği çıkararak, bir koninin diğerinin içine girdiğinde dışarıda bıraktığı yüksekliği (farkı) bulalım. Çıkarma işleminde ikinci ifadenin işaretlerinin değişeceğine dikkat etmeliyiz.

$$(8x + 1) – (6x + 2)$$ $$8x + 1 – 6x – 2 = 2x – 1$$

(Bu, iç içe geçen koninin dışarıda kalan kısmıdır.)

2. Adım: Şekil 1’de bir tam koni ve bir adet dışarıda kalan kısım vardır. Toplam yükseklikten, bulduğumuz bu dış kısmı çıkarırsak bir tam koninin yüksekliğine ulaşırız.

$$(6x + 2) – (2x – 1)$$ $$6x + 2 – 2x + 1 = 4x + 3 \text{ cm}$$

Sonuç: Bir trafik konisinin yüksekliğini veren cebirsel ifade \( 4x + 3 \) santimetredir.

1. Adım: Şekli incelediğimizde sol taraftaki 4 adet yatay panelin kısa kenarları üst üste gelerek, sağ taraftaki dikey panelin uzun kenarını oluşturmaktadır. Bu durumda bir panelin uzun kenarı \( 4 \cdot \text{Kısa Kenar} \) uzunluğundadır.

2. Adım: Büyük dikdörtgen ekranın boyutlarını “Kısa Kenar” (K) cinsinden ifade edelim.
Yükseklik = \( 4K \) (Sol taraftaki yatay panellerin dikey dizilimi)
Genişlik = \( 4K \) (Yatay panelin uzun kenarı) + \( 2K \) (İki dikey panelin kısa kenarları) = \( 6K \)’dır.

3. Adım: Büyük ekranın çevresi: \( 2 \cdot (\text{Yükseklik} + \text{Genişlik}) = 2 \cdot (4K + 6K) = 2 \cdot 10K = 20K \) olur.
Kısa kenar \( K = (2x – 3) \) olduğuna göre, bu değeri formülde yerine yazalım.

Sonuç: Çevre = \( 20 \cdot (2x – 3) = 40x – 60 \text{ cm} \) olarak bulunur.

1. Adım: Sistem \( 4 \) gün boyunca çalışacağı için toplam harcanan su miktarını bulmalıyız. Günlük harcama miktarını \( 4 \) ile çarpalım:
\( 4 \cdot (3x – 2) = 12x – 8 \) litre.

2. Adım: Kalan suyu bulmak için başlangıçtaki miktardan, harcanan toplam miktarı çıkaralım. Çıkarma işlemindeki eksi işaretini dağıtırken dikkat edelim:
\( (15x + 40) – (12x – 8) \)
\( 15x + 40 – 12x + 8 \)
\( (15x – 12x) + (40 + 8) = 3x + 48 \)

Sonuç: \( 4 \) günün sonunda depoda kalan su \( 3x + 48 \) litredir. Eksiyi paranteze tam dağıtmayan öğrencileri avlamak için hazırlanan \( 3x + 32 \) (B şıkkı) çeldiricisine dikkat edilmelidir.

1. Adım: B paketinin kütlesini bulalım. A paketinin kütlesini \( 2 \) ile çarpıp \( 4 \) çıkaracağız:
B = \( 2 \cdot (3x + 5) – 4 \)
B = \( (6x + 10) – 4 = 6x + 6 \) kg.

2. Adım: C paketinin kütlesini bulalım. B paketinin kütlesini \( 3 \) ile çarpacağız:
C = \( 3 \cdot (6x + 6) \)
C = \( 18x + 18 \) kg.

Sonuç: Şimdi üç paketin kütlelerini toplayalım:
\( (3x + 5) + (6x + 6) + (18x + 18) \)
Benzer terimleri kendi aralarında toplarsak: \( (3x + 6x + 18x) + (5 + 6 + 18) = 27x + 29 \) sonucuna ulaşırız.

1. Adım: Başlangıçta okunan sayfa sayısı sabittir ve günlere göre değişmez. Bu bizim sabit terimimizdir ve ifadeye \( +45 \) olarak eklenir.

2. Adım: Her gün düzenli okunan sayfa sayısı 15’tir. Geçen gün sayısına \( x \) dersek, sadece bu \( x \) gün boyunca okunan miktar \( 15 \cdot x \) yani \( 15x \) olur.

Sonuç: Toplam sayfa sayısı, günlük okunan miktar ile başlangıçtaki miktarın toplamı olan \( 15x + 45 \) cebirsel ifadesiyle gösterilir.

1. Adım: Şıkları \( x = -3 \) değeri için tek tek test edelim.
A Modülü: \( 2 \cdot (-3) + 10 = -6 + 10 = +4 \) (Eşitlik sağlandı, sorun yok.)
B Modülü: \( 5 – 3 \cdot (-3) = 5 + 9 = +14 \) (Eşitlik sağlandı. Çıkarma ve negatif sayının çarpımının pozitif yaptığına dikkat et.)

2. Adım: Kalan şıkları test edelim.
C Modülü: \( 4 \cdot (-3) – 2 = -12 – 2 = -14 \). Ancak eşitliğin sağ tarafı \( -10 \) olarak verilmiş. \( -14 \neq -10 \) olduğundan bu modül hatalıdır.
D Modülü: Sol taraf \( -3 + 7 = +4 \). Sağ taraf \( 2 \cdot (-3) + 10 = -6 + 10 = +4 \). \( +4 = +4 \) (Eşitlik sağlandı.)

Sonuç: Yapılan hesaplamalar sonucunda sadece C seçeneğindeki eşitlik yanlış sonuç verdiğinden güvenlik açığı bu modüldedir.

1. Adım: Soruda geçen süreyi temsil eden \( n \) değişkeni yerine \( 6 \) yazarak işlemi kuralım:
\( 4 \cdot 6 – 35 \)

2. Adım: İşlem önceliğine uyarak önce çarpma, ardından çıkarma işlemini yapalım:
\( 24 – 35 = -11 \)

Sonuç: \( 6 \). saatin sonunda sıcaklık \( -11 \) °C olur. Tam sayılarda çıkarma işleminin yönünü karıştırıp büyük sayıdan küçük sayıyı çıkararak pozitif sonuç bulan öğrencileri elemek için tasarlanmış \( 11 \) (B şıkkı) çeldiricisine düşmemeliyiz.

1. Adım: Ardışık terimler arasındaki fark \( 9 – 5 = 4 \) ve \( 13 – 9 = 4 \) olduğundan, genel kuralımız \( 4n \) ile başlamalıdır.

2. Adım: Kuralda \( n = 1 \) (1. dakika) yazdığımızda \( 4 \cdot 1 = 4 \) olur. Sisteme kaydedilen ilk yüksekliğin \( 5 \) metre olması için bu sonuca \( 1 \) eklemeliyiz. Dolayısıyla örüntünün genel kuralı \( 4n + 1 \)’dir.

Sonuç: 12. dakikadaki yüksekliği bulmak için kuralda \( n \) yerine \( 12 \) yazarız:
\( 4 \cdot 12 + 1 = 48 + 1 = 49 \) metre.

1. Adım: Sepetteki her bir ürün grubunun toplam fiyatını bulmak için, alınan adet ile ürünün cebirsel fiyatını çarpalım. Parantez içindeki her terime dağılma özelliğini uyguluyoruz:

USB Bellek: $$ 3 \cdot (2x – 3) = 6x – 9 $$

Şarj Kablosu: $$ 4 \cdot (x + 5) = 4x + 20 $$

Telefon Kılıfı: $$ 2 \cdot (3x + 1) = 6x + 2 $$

Ekran Koruyucu: $$ 5 \cdot 4x = 20x $$

2. Adım: Bulduğumuz bu dört cebirsel ifadeyi toplayarak toplam tutarı hesaplayalım. Benzer terimleri (x’li terimleri kendi arasında, sabit sayıları kendi arasında) gruplayalım:

$$ (6x – 9) + (4x + 20) + (6x + 2) + 20x $$ $$ (6x + 4x + 6x + 20x) + (-9 + 20 + 2) $$ $$ 36x + 13 $$

Sonuç: Ödenecek toplam tutarı veren cebirsel ifade \( 36x + 13 \) TL’dir.