Bir e-eğitim platformuna kayıt olan toplam öğrenci sayısı her ay sabit bir miktarda artarak bir sayı örüntüsü oluşturmaktadır. Bu platformun \( 3 \). aydaki toplam öğrenci sayısı \( 31 \), \( 8 \). aydaki toplam öğrenci sayısı ise \( 71 \)’dir.
Buna göre, bu eğitim platformunun \( 20 \). aydaki toplam öğrenci sayısı kaçtır?
- \( 116 \)
- \( 160 \)
- \( 167 \)
- \( 175 \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Örüntülerde ardışık olmayan iki terim verildiğinde, terimler arasındaki değer farkını adım sayısına bölerek sabit artış miktarını (kuralın katsayısını) bulmalısın. Sadece artış miktarını çarpan olarak kullanıp, başlangıç değerini (sabit terimi) eklemeyi sakın unutma!
1. Adım: Önce aylık artış miktarını bulalım: \( 71 – 31 = 40 \) öğrenci farkı, \( 8 – 3 = 5 \) aylık sürede gerçekleşmiştir. Buradan aylık artış \( 40 \div 5 = 8 \) bulunur. Genel kural \( 8 \cdot n + c \) şeklindedir. \( 3 \). ay için \( 8 \cdot 3 + c = 31 \) denkleminden \( c = 7 \) bulunur. Örüntü kuralı: \( 8 \cdot n + 7 \).
Sonuç: \( 20 \). ay için \( n = 20 \) değeri kuralda yerine yazıldığında; \( 8 \cdot 20 + 7 = 160 + 7 = 167 \) sonucuna ulaşılır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir teknoloji mağazasında satılan dikdörtgen biçimindeki akıllı telefonun ekran boyutları yukarıdaki modelde verilmiştir. Bu telefonun ekranının çevresine tam tur olacak şekilde bir koruyucu bant çekilecektir.
Buna göre, kullanılacak koruyucu bandın santimetre cinsinden uzunluğunu veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- ( (6x + 2) )
- ( (12x – 4) )
- ( (12x + 4) )
- ( (12x + 2) )
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Dikdörtgenin çevresini bulmak için kısa ve uzun kenarı toplayıp elde ettiğin cebirsel ifadeyi ( 2 ) ile çarpmalısın. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanırken parantez içindeki sabit terimi de çarpmayı unutma!
1. Adım: Önce ekranın kısa ve uzun kenarlarının toplamını bulalım: ( (4x – 1) + (2x + 3) = 6x + 2 ). Çevreyi bulmak için bu toplamı ( 2 ) ile dağılma özelliğini kullanarak çarpalım: ( 2 \cdot (6x + 2) )
Sonuç: Yapılan işlem sonucunda ( 12x + 4 ) ifadesine ulaşılır. Koruyucu bandın uzunluğu ( 12x + 4 ) cm olmalıdır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir altyapı projesinde, iki farklı fiber optik kablo uca uca eklenerek kesintisiz bir veri hattı oluşturulacaktır. Yukarıdaki krokide, kullanılacak olan bu iki kablonun metre cinsinden uzunlukları cebirsel ifade olarak verilmiştir. Kabloların eklenme noktasında herhangi bir uzunluk kaybı yaşanmamaktadır.
Buna göre, oluşturulan bu yeni fiber optik hattın toplam uzunluğunu metre cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- ( 6x – 11 )
- ( 6x + 5 )
- ( 11x )
- ( 2x – 11 )
3. Sorunun Çözümü
Strateji: Benzer terimleri kendi arasında gruplamalısın; unutma, bilinmeyenlerle bilinmeyenler, sabit sayılarla sabit sayılar toplanır ve işlem yaparken işaret kuralına (negatif/pozitif) son derece dikkat etmelisin!
1. Adım: İki kablonun uç uca eklenmesi, uzunluklarının toplanması demektir. Toplam uzunluğu veren ifade: ( (4x – 3) + (2x + 8) )
2. Adım: Benzer terimleri kendi aralarında işleme alırız. Bilinmeyen terimlerin toplamı: ( 4x + 2x = 6x ) elde edilir. Sabit terimlerin toplamı ise: ( -3 + 8 = +5 ) olur.
Sonuç: Elde edilen terimler birleştirildiğinde, hattın toplam uzunluğu ( 6x + 5 ) metre olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir lojistik firması, aynı doğrusal otoyol üzerinde bulunan A, B ve C şehirleri arasındaki teslimat rotasını planlamaktadır. A şehri ile B şehri arasındaki mesafe \( 7x – 4 \) kilometre, B şehri ile C şehri arasındaki mesafe ise \( 5x + 6 \) kilometredir.
Buna göre A şehrinden yola çıkan ve B şehrine uğradıktan sonra C şehrine ulaşan bir kargo aracının kilometre cinsinden katettiği toplam mesafeyi veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 12x – 10 \)
- \( 2x – 10 \)
- \( 12x – 2 \)
- \( 12x + 2 \)
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Cebirsel ifadelerde toplama işlemi yaparken benzer terimleri kendi aralarında (\( x \)’li terimler birbiriyle), sabit terimleri ise kendi aralarında işleme sokmalısın. Negatif ve pozitif tam sayıların toplamına ekstra dikkat et!
1. Adım: Toplam mesafeyi bulmak için A-B ve B-C arasındaki mesafeleri toplamalıyız: $$ (7x – 4) + (5x + 6) $$ Benzer terimleri grupladığımızda: $$ (7x + 5x) + (-4 + 6) $$
Sonuç: İşlemleri tamamladığımızda \( 12x + 2 \) sonucuna ulaşırız.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir endüstriyel drone, zemin seviyesinden (\( 0 \) noktası) havalanarak bir inşaat alanında test uçuşu yapmaktadır. Drone’un uçuş bilgisayarı (log ekranı), dikey eksendeki hareketlerini yukarıdaki gibi cebirsel ifadelerle kaydetmiştir. Yukarı yönlü hareketler (▲) pozitif, aşağı yönlü hareketler (▼) ise negatif tam sayı mantığıyla değerlendirilmektedir.
Buna göre, \( 6 \). log kaydı sonrasında drone’un yerden yüksekliğini metre cinsinden veren cebirsel ifadenin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 5x – 4y + 3z \)
- \( 5x + 4y – 3z \)
- \( 7x + 10y – 5z \)
- \( 5x + 4y + 3z \)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma yaparken benzer terimlerin katsayılarını kendi aralarında işleme sokmalısın. Yukarı yönlü (▲) hareketleri pozitif, aşağı yönlü (▼) hareketleri negatif olarak modellemek temel adımdır.
1. Adım: Tüm hareketleri işaretlerine göre yan yana yazalım: \( 6x – 3y + z – x + 7y – 4z \). Benzer terimleri grupladığımızda: \( (6x – x) + (-3y + 7y) + (z – 4z) \) işlemleri sonucunda \( 5x \), \( +4y \) ve \( -3z \) terimleri elde edilir.
Sonuçu: İfade birleştirildiğinde drone’un son yüksekliğinin \( 5x + 4y – 3z \) metre olduğu bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir kargo şirketinde gönderime hazırlanan iki farklı kolinin ağırlıkları, kilogram cinsinden cebirsel ifade olarak üzerlerindeki etiketlerde yazmaktadır. Kargo görevlisi bu iki koliyi toplam ağırlıklarını bulmak için aynı anda tartıya koymuştur.
Buna göre, tartının ekranında kilogram cinsinden yazan cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- ( 3x + 4y – 2 )
- ( 2x + 4y + 2 )
- ( 3x + 4y + 2 )
- ( 3x + 4y + 8 )
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Cebirsel ifadelerde toplama işlemi yaparken yalnızca “benzer terimleri” (aynı değişkene sahip olanları) kendi arasında toplayabilirsin. Farklı değişkenlerin ( x ) ve ( y ) birbiriyle toplayamayacağını ve sabit terimlerdeki negatif işaretlere ( -3 ) ile ( +5 ) dikkat etmen gerektiğini unutma!
1. Adım: İki kolinin ağırlığını ifade eden cebirsel ifadeleri yan yana yazıp benzer terimleri gruplayalım: ( (x + 2x) + 4y + (-3 + 5) )
2. Adım: Gruplanan benzer terimlerin katsayılarını ve sabit terimleri toplayarak işlemi sonuçlandıralım: ( 3x + 4y + 2 )
Sonuç: Tartının ekranında yazması gereken toplam ağırlık ( 3x + 4y + 2 ) kilogramdır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir yenilenebilir enerji projesi kapsamında, düz bir zemine dikdörtgen şeklinde bir güneş paneli yerleştirilecektir. Yukarıdaki planda panelin kısa kenar uzunluğu \( 5 \) metre, uzun kenar uzunluğu ise \( 2x + 7 \) metre olarak modellenmiştir. Kurulum maliyeti, panelin metrekare cinsinden yüzey alanı üzerinden hesaplanacaktır.
Buna göre, bu güneş panelinin yüzey alanını metrekare cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 10x + 7 \)
- \( 4x + 24 \)
- \( 2x + 12 \)
- \( 10x + 35 \)
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Unutma! Bir doğal sayı ile bir cebirsel ifadeyi çarparken, dışarıdaki çarpanı parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpmalısın (dağılma özelliği). Sadece ilk terimle çarpmak veya terimleri doğrudan toplamak sınavlarda en çok yapılan hatadır!
1. Adım: Dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. İfadeyi \( 5 \cdot (2x + 7) \) şeklinde kurarız. \( 5 \) çarpanını parantez içine dağıttığımızda; \( 5 \cdot 2x = 10x \) ve \( 5 \cdot 7 = 35 \) elde edilir.
Sonuç: Çarpım sonuçlarını kendi işaretleriyle birleştirdiğimizde, panelin alanı \( 10x + 35 \) metrekare olarak bulunur.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir peyzaj mimarı, kare şeklindeki bir hobi bahçesinin etrafına tek sıra tel çekecektir. Planlamaya göre, bahçenin bir kenar uzunluğu \( (2x – 6) \) metredir.
Buna göre mimarın bahçenin etrafı için kullanması gereken telin metre cinsinden toplam uzunluğunu veren cebirsel ifade aşağıdakidir?
- \( 8x – 6 \)
- \( 8x + 24 \)
- \( 2x – 2 \)
- \( 8x – 24 \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir doğal sayıyı parantez içindeki bir cebirsel ifadeyle çarparken, dışarıdaki sayıyı parantez içindeki her bir terimle tek tek çarpmalısın (Dağılma Özelliği). Çarpmayı sadece ilk terimle yapıp bırakmak veya eksi işaretini unutmak en sık düşülen tuzaklardır!
1. Adım: Kare bahçenin 4 eşit kenarı olduğundan, çevre uzunluğu için bir kenar uzunluğunu \( 4 \) ile çarparız: \( 4 \cdot (2x – 6) \). Dağılma özelliğini uyguladığımızda; \( (4 \cdot 2x) – (4 \cdot 6) \) işlemini yaparız.
Sonuç: Yapılan çarpma işlemleri sonucunda \( 8x – 24 \) ifadesine ulaşılır. Bahçenin etrafı için toplam \( 8x – 24 \) metre tel gereklidir.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir e-ticaret sitesinden \( 4 \) adet “Oyuncu Başlangıç Paketi” siparişi veren bir e-spor kulübünün sistemine yansıyan paket fiyatları yukarıdaki görselde modellenmiştir. Bir paketin içinde fiyatı \( x \) TL olan bir oyuncu faresi ve fiyatı \( 12 \) TL olan bir temizleme spreyi bulunmaktadır.
Buna göre, e-spor kulübünün bu sipariş için ödeyeceği toplam tutarı TL cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 4x + 12 \)
- \( x + 48 \)
- \( x + 16 \)
- \( 4x + 48 \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir doğal sayı ile bir cebirsel ifadeyi çarparken, doğal sayıyı parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpmayı (dağılma özelliği) uygulamalısın.
1. Adım: Bir paketin fiyatı fare ve spreyin toplamıdır: \( x + 12 \) TL. Kulüp bu paketten \( 4 \) adet aldığı için işlemimiz \( 4 \cdot (x + 12) \) olacaktır.
2. Adım: Dağılma özelliğini uygulayarak \( 4 \) çarpanını parantez içine dağıtalım: \( 4 \cdot x + 4 \cdot 12 \) işlemini yaparız. Buradan \( 4x \) ve \( 48 \) değerlerini elde ederiz.
Sonuç: Toplam ödeme tutarı \( 4x + 48 \) TL olarak hesaplanır.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir öğrencinin akıllı ulaşım kartında başlangıçta \( 32 \) TL bakiye bulunmaktadır. Bu öğrenci, yukarıda ücret tarifesi verilen otobüse \( x \) defa biniş yapmıştır.
Buna göre, öğrencinin kartında kalan bakiyeyi TL cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 32 – 5x \)
- \( 32x – 5 \)
- \( 27x \)
- \( 5x – 32 \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir problemi cebirsel olarak modellerken daima başlangıç değerinden harcanan (veya eksilen) toplam miktarı çıkarmalısın. Sabit bir sayıdan (\( 32 \)) değişkenli bir terimi (\( 5x \)) doğrudan çıkararak tek bir sayı elde edemeyeceğini unutma!
1. Adım: Önce harcanan toplam tutarı bulalım. Her biniş \( 5 \) TL ise, \( x \) defa biniş için toplam \( 5 \cdot x = 5x \) TL harcama yapılır.
2. Adım: Kalan bakiyeyi bulmak için başlangıçtaki tutardan harcanan tutarı çıkarmalıyız. Bu durumda ifade \( 32 – 5x \) şeklinde yazılır.
Sonuç: Kalan bakiye \( 32 – 5x \) TL’dir.
Doğru cevap A seçeneğidir.
TEKNOFEST yarışmasına hazırlanan bir okulun robotik takımı, tasarlayacakları drone için internet üzerinden yedek parça siparişi vermiştir. Siparişe ait ürün, adet ve birim fiyat bilgileri yukarıdaki tabloda cebirsel olarak modellenmiştir.
Buna göre, bu teknoloji takımının sipariş için ödeyeceği toplam tutarı TL cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 10x + 3 \)
- \( 10x + 14 \)
- \( 10x + 26 \)
- \( 7x + 3 \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Toplam tutarı bulurken adet sayısını (doğal sayı), birim fiyatla (cebirsel ifade) çarpmalısın. Çarpma işlemini yaparken dağılma özelliğini kullanmalı ve negatif işaretlere dikkat etmelisin.
1. Adım: Pervane setleri için \( 4 \cdot (x + 5) = 4x + 20 \) TL, bataryalar için \( 3 \cdot (2x – 2) = 6x – 6 \) TL ödenir. Toplam tutarı bulmak için bu iki ifadeyi toplarız: \( (4x + 20) + (6x – 6) \).
Sonuç: Benzer terimler toplandığında (\( 4x + 6x = 10x \)) ve sabit sayılar işleme alındığında (\( 20 – 6 = 14 \)), toplam tutarın \( 10x + 14 \) TL olduğu bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir mobilya fabrikasında üretilen modüler TV ünitelerinin paketlerine, ‘Modül Sayısı’ ve ‘Bir Modülün Uzunluğu’ çarpılarak hesaplanan toplam uzunluk etiketleri yapıştırılmaktadır. Sistemin yazılımında oluşan bir hata nedeniyle, yukarıdaki görselde verilen etiketlerden birinde çarpma işleminin cebirsel ifadeye dağıtılmasında hata yapılmıştır.
Buna göre hangi modele ait etikette yazan toplam uzunluk ifadesi yanlıştır?
- K Modeli
- L Modeli
- M Modeli
- N Modeli
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Parantez dışındaki bir sayıyı içeri dağıtırken, bu sayıyı içerideki tüm terimlerle (sabit terimler dahil) tek tek çarpmalısın. Çarpanı sadece ilk \( x \)’li terimle çarpıp ikinci sayıyı aynen bırakmak, cebirsel işlemlerde yapılan en yaygın hatadır.
1. Adım: Tüm modellerdeki işlemleri kontrol edelim. K Modeli: \( 3 \cdot (2x + 4) = 6x + 12 \) (Doğru). M Modeli: \( 2 \cdot (5x + 7) = 10x + 14 \) (Doğru). N Modeli: \( 5 \cdot (x – 3) = 5x – 15 \) (Doğru).
2. Adım: L Modeli’ndeki işlemi incelediğimizde; \( 4 \cdot (3x – 2) \) işleminin sonucu \( (4 \cdot 3x) – (4 \cdot 2) = 12x – 8 \) olmalıdır. Ancak etikette \( 12x – 2 \) yazılarak 4 sayısı sabit terimle çarpılmamıştır.
Sonuç: Hatalı matematiksel ifade içeren etiket L Modeli’ne aittir.
Doğru cevap B seçeneğidir.