1. Sorunun Çözümü

Dik üçgenlerde yüksekliklerin kesim noktası yani ortay noktası, her zaman 90°’lik köşede bulunur. Bunun nedeni, dik kenarlardan çizilen yüksekliklerin zaten köşeden geçtiği ve üçüncü yüksekliğin de bu iki doğruyu yine aynı köşede kesecek olmasıdır. Dolayısıyla kesim noktası ne üçgenin iç bölgesinde (dar üçgenlerdeki gibi) ne de dış bölgesinde (geniş üçgenlerdeki gibi) yer alır; tam olarak köşenin kendisidir.

Ön bilgi: Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik daima iç bölgeye düşer, fakat diğer iki yükseklik zaten köşeleri tanımlayan kenarlarla çakışır. Üç yükseklik birbirini sağ açı köşesinde kestiği için ortay noktası başka bir yerde olamaz.

Neden B şıkkı doğru?

• I. “Üçgenin dış bölgesindedir.” ifadesi yanlıştır; çünkü kesim noktası dışarı değil, doğrudan köşededir.
• II. “Üçgenin kenarı üzerindedir.” ifadesi de yanlıştır. Kenar ifadesi, köşeler arası açık doğru parçasını belirtir. Kesim noktası tam köşede olduğundan kenar üzerinde değil, kenarın bitiş noktasındadır.
• III. “Üçgenin köşesindedir.” ifadesi doğrudur; çünkü ortay noktası 90°’lik köşede yer alır.

Şık değerlendirmesi:
A) Sadece I bilgisini içerdiği için eksik; çünkü II de yanlıştır.
B) I ve II’nin yanlış, III’ün doğru olduğunu belirtir ve tam isabetlidir.
C) II – III derken doğru olan III’ü de “yanlış” saydığı için geçersizdir.
D) Üç bilginin de yanlış olduğunu varsaydığından en kapsamlı hata içerir.

Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.

2. Sorunun Çözümü

Bu soruda verilen kenarortay tanımından hareketle; AP, BR ve CS kenarortayları sırasıyla BC, AC ve AB kenarlarının orta noktalarına inen doğrulardır. Dolayısıyla:

• Nokta P → BC kenarının orta noktasıdır.
  PC = 3 cm ise, BC = 2 × PC = \(2 \times 3 = 6\) cm.
• Nokta R → AC kenarının orta noktasıdır.
  AR = 5 cm ise, AC = 2 × AR = \(2 \times 5 = 10\) cm.
• Nokta S → AB kenarının orta noktasıdır.
  AS = 4 cm ise, AB = 2 × AS = \(2 \times 4 = 8\) cm.

Böylece üçgenin çevresi: \(AB + BC + CA = 8 + 6 + 10 = 24\) cm bulunur.

Şıkların incelenmesi:

• A) 12 — Üç kenarın toplamı bu kadar olamaz; her bir kenar zaten 6’dan büyük veya eşittir.
• B) 18 — Yanlış; örneğin AC + BC = 16, AB + BC = 14 gibi kısmi toplamlar da 18’i vermez.
• C) 20 — Yanlış; kenar uzunlukları 8, 6 ve 10 toplamı 24’tür, 20’e ulaşmak için eksik veya fazladan bir hesap yapılmış demektir.
• D) 24 — Tüm kenar uzunluklarının doğru toplamıdır ve en uygun seçenektir.

Sonuç olarak doğru cevap “D” şıkkıdır.

3. Sorunun Çözümü

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki temel kural üçgen eşitsizliğidir. Bu kurala göre her bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük ve toplamından küçük olmalıdır. Matematiksel olarak:
\( |a – b| < c < a + b \), \( |b - c| < a < b + c \), \( |c - a| < b < c + a \).

Soruda kenar uzunlukları 12 cm, 7 cm ve \(x\) cm verildiğine göre pratikte sıklıkla kullanılan koşul:
\( |12 – 7| < x < 12 + 7 \)
ifadesine odaklanabiliriz. Burada \( |12 – 7| = 5 \) ve \( 12 + 7 = 19 \) elde edilir. Yani:
\( 5 < x < 19 \).

Şıklarda verilen değerleri bu aralığa göre değerlendirelim:

• A) \(x = 4\) — Yanlıştır, çünkü \(4 < 5\) ve iki kenarın farkından büyük olma koşulunu sağlamaz. 4 cm’lik bir kenar, diğer iki kenarın uçlarını kapatacak uzunlukta değildir.
• B) \(x = 5\) — Uygun değildir, çünkü eşitsizlikte \(x > 5\) olmalı; eşitlik durumunda noktalar düz bir doğru üzerinde toplanır, kapalı bir üçgen oluşmaz.
• C) \(x = 18\) — Doğrudur, çünkü \(5 < 18 < 19\) koşulunu eksiksiz karşılar. Üçgen eşitsizliklerinin tümü yerine gelir ve geçerli bir üçgen oluşturulur.
• D) \(x = 19\) — Yanlıştır, çünkü \(19\) değeri toplamdan küçük olma şartını ihlal eder. Eşitlik olması halinde kenarlar düzleşir, üçgen kapanmaz.

Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

4. Sorunun Çözümü

Bir üçgenin iki kenarı belli iken üçüncü kenarın alabileceği değerler, üçgen eşitsizliği kurallarına göre belirlenir. Eğer kenar uzunlukları a ve b ise üçüncü kenar x için:
\( |a – b| < x < a + b \)
eşitsizliği geçerlidir. Burada a = 8 cm ve b = 21 cm olduğuna göre:
\( |21 – 8| < x < 21 + 8 \) ⇒ \( 13 < x < 29 \)
Dikkat edelim ki x tam olarak 13 ve 29 değerlerini alamaz; bu sınırlar açıktır.

Üçgenin çevresi P ise:
\( P = 8 + 21 + x = 29 + x \)
olur. Bu durumda 13 < x < 29 aralığına karşılık gelen P aralığı:
\( 29 + 13 < P < 29 + 29 \) ⇒ \( 42 < P < 58 \).

Şıkların değerlendirilmesi:

• A) 58 — Olamaz, çünkü çevrenin 58 cm olması için \(x = 29\) alınmalı, oysa \(x < 29\) olmalı. Bu nedenle 58 kesinlikle geçersiz.
• B) 54 — Mümkün; örneğin \(x = 25\) seçilirse \(P = 29 + 25 = 54\) elde edilir ve \(13 < 25 < 29\) koşulunu sağlar.
• C) 49 — Geçerli; mesela \(x = 20\) için \(P = 29 + 20 = 49\) ve üçgen eşitsizliğini ihlal etmez.
• D) 43 — Uygulanabilir; \(x = 14\) seçilirse \(P = 29 + 14 = 43\) ve \(13 < 14 < 29\) olduğu için sorun yoktur.

Özetle sadece 58 cm değeri üçgen eşitsizliğini ihlal ettiği için “A” şıkkı doğru cevaptır.

5. Sorunun Çözümü

Öncelikle PTS eşkenar üçgen olduğuna göre tüm kenarları eşittir ve her iç açı \(60^\circ\)’dir. Ayrıca P, T ve R noktalarının doğrusal olması, R noktasının PT doğrusu üzerinde yer aldığını gösterir.

Not: Bu soruda PRS de bir üçgendir; P, R ve S noktalarından oluşur. PRS üçgeninde verilen açı \(m(\angle PRS)=55^\circ\) olduğundan, P–T–R doğrusal olduğunda bu açı, TRS üçgenindeki \(\angle TRS\) açısına eşittir.

• 1. Açı PTS = \(60^\circ\) (eşkenar üçgenin tüm açıları eşittir).
• 2. İç açı RTS (T noktasındaki açı), eşkenar üçgende iç açı olan \(60^\circ\)’ün dış açı tamamlayıcısıdır:
  \(\angle RTS = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\).
• 3. İç açı TRS = \(55^\circ\) (PRS üçgeninden gelen bilgi).
• 4. Üçüncü açı TSR şöyle bulunur:
  \(\angle TSR = 180^\circ – 120^\circ – 55^\circ = 5^\circ\).

Açı–kenar ilişkisi gereğince; büyük açıya karşılık gelen kenar daha uzundur. Buna göre:

• \(\angle TSR = 5^\circ\) → Karşısındaki TR en küçüktür.
• \(\angle TRS = 55^\circ\) → Karşısındaki TS ortanca uzunluktadır.
• \(\angle RTS = 120^\circ\) → Karşısındaki RS en uzundur.

Şıkların değerlendirilmesi:

• A) \(|TS| < |TR| < |RS|\) — TS’nin TR’den küçük olması yanlış.
• B) \(|TR| < |TS| < |RS|\) — Tüm koşulları doğru şekilde sağlar.
• C) \(|TR| < |RS| < |TS|\) — RS ve TS sıralaması ters.
• D) \(|RS| < |TS| < |TR|\) — RS en küçük gösterilmiş, doğru değil.

Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.

6. Sorunun Çözümü

Bir üçgende açı–kenar ilişkisi gereğince; daha uzun kenara karşılık gelen açı daha büyük, daha kısa kenara karşılık gelen açı daha küçüktür. Bu soruda KLM üçgeninin kenar uzunlukları:

• \( |KL| = 4 \) cm
• \( |LM| = 5 \) cm
• \( |KM| = 6 \) cm

Burada:
– KL kenarı, M açısının karşısındadır.
– LM kenarı, K açısının karşısındadır.
– KM kenarı, L açısının karşısındadır.

Uzunlukları küçükten büyüğe sıralarsak:

• \(4 \, \text{cm} = |KL|\) → Karşı açısı M en küçüktür.
• \(5 \, \text{cm} = |LM|\) → Karşı açısı K ortancadır.
• \(6 \, \text{cm} = |KM|\) → Karşı açısı L en büyüktür.

Dolayısıyla açıların ölçülerinin sıralaması:
\(\widehat{M} < \widehat{K} < \widehat{L}\)

Şıkların değerlendirilmesi:

• A) \(\widehat{K} < \widehat{M} < \widehat{L}\) — Yanlış, çünkü M en küçük, K ortanca olmalıdır.
• B) \(\widehat{K} < \widehat{L} < \widehat{M}\) — Yanlış, çünkü M en küçük ve L en büyük olmalıdır.
• C) \(\widehat{L} < \widehat{M} < \widehat{K}\) — Yanlış, çünkü L en büyük, M en küçük olmalıdır.
• D) \(\widehat{M} < \widehat{K} < \widehat{L}\) — Doğru; küçükten büyüğe en uygun sıralamadır.

Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

7. Sorunun Çözümü

Üçgen çiziminde yaygın konstrüksiyon kuralları SSS, SAS ve ASA’dır. Elimizde PR = 12 cm ve bu kenarın ucundaki ∠R = 75° açı var. Şimdi seçenekleri değerlendirelim:

• A) RS = 8 cm — Teoride SAS ile çizim yapılabilir: PR kenarını çizip, R noktasında 75°’lik açıyı işaretleyip, açının kolunda 8 cm alarak S noktasını bulmak mümkün. Ancak bu kolun yönünü işaretlemek için ek yardımcı çizim bilgilerine ihtiyaç duyulur; yalnız “RS = 8” verilince kolun hangi tarafı olduğu belirsiz kalır.
• B) ∠P = 55° — ASA için açı–kenar–açı kuralı söylenir: açı P, kenar PR, açı R. Fakat burada iki açı arasında kalan kenarın (ARASINDA) biliniyor olması gerekir; PR, P ve R arasındaki kenardır ama P–R açılarından biri eksik kalır.
• C) PS = 8 cm — Çember–ışın metodu ile kolayca çizilir:
  1. PR = 12 cm uzunluğunda doğru parçası çizilir.
  2. R noktasından, PR’ye göre 75°’lik açı ölçülüp bir ışın çıkarılır.
  3. P noktasından yarıçapı 8 cm olan bir çember çizilir.
  4. Çember ile ışının kesiştiği nokta S olarak işaretlenir.
  Bu adımla S noktası tek bir konumda belirlenir ve üçgen PRS eksiksiz çizilir.
• D) ∠S = 55° — Burada ASA için açı R, açı S ve aralarındaki kenar PR bilinmeli; ancak açı–kenar–açı konstrüksiyonu için verilen açıların sırası uygun değildir.

Görüldüğü gibi PS = 8 cm verildiğinde klasik çember–ışın konstrüksiyonu doğrudan ve net bir çizim sağlar. Diğerlerinde ne kol yönü ne de açı sıralaması belirsizlik çıkarmadan uygulanamaz.

Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Bir üçgenin çizilebilmesi için geçerli temel konstrüksiyon kuralları şunlardır:

• SSS (Üç Kenar) — Üç kenar uzunluğu verildiğinde.
• ASA/AAS (İki Açı + Bir Kenar) — İki açı ve bunlardan biri ile arasındaki ya da dışındaki kenar verildiğinde.
• AAA (Üç Açı) — Teorik olarak açıları verilen bir üçgen, istediğimiz ölçeğe göre çizilebilir.

• I. Durum (SSS): \( |KL| = 6\), \( |LM| = 8\), \( |MN| = 10\). Üçgen eşitsizlikleri: \(6+8>10\), \(8+10>6\), \(6+10>8\) sağlandığı için SSS ile çizilebilir.
• II. Durum (AAA): \( \widehat{K}=80^\circ\), \( \widehat{L}=40^\circ\), \( \widehat{M}=60^\circ\). Açıların toplamı \(80+40+60=180^\circ\). AAA verildiğinde şekil benzerliği sabittir; ölçek serbestçe seçilip çizim yapılabilir.
• III. Durum (ASA): \( \widehat{K}=90^\circ\), \( \widehat{L}=30^\circ\), \( |LI|=7\). İki açı ve bunların arasındaki veya dışındaki kenar verildiğinde ASA/AAS ile tekil üçgen oluşturulur.

Şıkların Değerlendirilmesi:

• A) I — Sadece SSS durumu var; II ve III göz ardı edilmiş, eksik.
• B) I – II — III (ASA) atlanmış, eksik veri.
• C) II – III — I (SSS) dikkate alınmamış, eksik.
• D) I – II – III — Tüm geçerli durumları içerir ve tam isabetlidir.

Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır, çünkü I, II ve III numaralı üçgen verileriyle çizim yapılabilir.

9. Sorunun Çözümü

Bu problemde nokta konumlarını kartezyen koordinat sistemi ile modelleyebiliriz. Okulu orijin kabul edip eksenleri şöyle tanımlayalım:

• Doğu pozitif x-eksen yönü
• Kuzey pozitif y-eksen yönü

• Demet’in evi → Okuldan 15 m doğuda ise koordinatları \((15, 0)\)’dır.
• Sedat’ın evi → Okuldan 20 m kuzeyinde ise koordinatları \((0, 20)\)’dir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü:
\( d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \)

Yukarıdaki koordinatları yerleştirirsek:
\( x_1 = 15,\ y_1 = 0,\ x_2 = 0,\ y_2 = 20 \)
\(\displaystyle d = \sqrt{(0 – 15)^2 + (20 – 0)^2} = \sqrt{(-15)^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\text{ m}\).

Şıkların değerlendirilmesi:

• A) 25 — Doğru, Pythagoras teoremine göre hesaplanan net sonuçtur.
• B) 30 — Yanlış; bu değer ancak örneğin \( \sqrt{18^2 + 24^2} \) gibi farklı bir dik üçgen için geçerli olur.
• C) 35 — Yanlış; bu mesafe \( \sqrt{21^2 + 28^2} \) gibi başka oranlarda ortaya çıkar, mevcut verilere uymaz.
• D) 40 — Yanlış; bu değer ise örneğin 24 ve 32 dik kenarlarından oluşan başka bir üçgen için geçerli olur, burada kullanılmaz.

Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır, çünkü iki ev arasındaki gerçek uzaklık 25 metredir.

10. Sorunun Çözümü

Öncelikle karelerin alanlarından kenar uzunluklarını bulalım:

• ABCD küçük karesi: Alan \(64\text{ cm}^2\) olduğuna göre kenar uzunluğu \(\sqrt{64}=8\) cm’dir.
• CEFG büyük karesi: Alan \(144\text{ cm}^2\) olduğuna göre kenar uzunluğu \(\sqrt{144}=12\) cm’dir.

Bir koordinat sistemi tanımlayarak noktaları yerleştirelim:

• B noktasını orijin \((0,0)\) alalım.
• C noktası küçük karenin sağ alt köşesi → \((8,0)\).
• D noktası küçük karenin sağ üst köşesi → \((8,8)\).
• A noktası küçük karenin sol üst köşesi → \((0,8)\).
• E noktası büyük karenin sol üst köşesi → \((8,12)\).
• F noktası büyük karenin sağ üst köşesi → \((8+12,12)=(20,12)\).
• G noktası büyük karenin sağ alt köşesi → \((20,0)\).

Aradığımız uzunluk FB ise:
\(\displaystyle FB = \sqrt{(x_F – x_B)^2 + (y_F – y_B)^2} = \sqrt{(20-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544} = 4\sqrt{34}\) cm.

Şıkların değerlendirilmesi:

• A) \(4\sqrt{38}\) — Yanlış; \(\sqrt{544}\ne4\sqrt{38}\).
• B) \(6\sqrt{34}\) — Yanlış; \(6\sqrt{34}\approx6\times5.83=35\) cm’e karşılık gelir, bizim hesaplamamız 4√34 ≈23.3 cm’dir.
• C) \(4\sqrt{34}\) — Doğru; tam sayısal ve cebirsel hesaplamalara uygundur.
• D) \(6\sqrt{38}\) — Yanlış; hem katsayı hem de içerik farklıdır.

Sonuç olarak doğru cevap “C” şıkkıdır.

11. Sorunun Çözümü

Sabri’nin merdiveni bir dik üçgen oluşturacak şekilde ağaca dayandığı kabul edilir. Merdiven uzunluğu hipotenüs, ağaca dayandığı noktanın yüksekliği bir dik kenar, yere temas ettiği noktanın ağaca uzaklığı ise diğer dik kenardır. Bu durumda Pythagoras teoremine başvurabiliriz:

• Hipotenüs (merdiven): \(3{,}5\) m
• Biri dik kenar (ağaç yüksekliği): \(2{,}8\) m
• Diğeri dik kenar (aranan uzaklık): \(x\) m

Pythagoras teoremi:
\( \text{hipotenüs}^2 = \text{dik}_1^2 + \text{dik}_2^2 \)
yerine yazarsak:
\( (3{,}5)^2 = (2{,}8)^2 + x^2 \)

Hesaplayalım:
\( (3{,}5)^2 = 12{,}25, \quad (2{,}8)^2 = 7{,}84\)
\( x^2 = 12{,}25 – 7{,}84 = 4{,}41\)
\( x = \sqrt{4{,}41} = 2{,}1\) m.

Şıkların değerlendirilmesi:

• A) 2,7 — Yanlış; gerçekte \(\sqrt{4{,}41}\approx2{,}1\) m’dir.
• B) 2,5 — Yanlış; \(2{,}5^2=6{,}25\neq4{,}41\).
• C) 2,4 — Yanlış; \(2{,}4^2=5{,}76\neq4{,}41\).
• D) 2,1 — Doğru; tam olarak \(\sqrt{4{,}41}\) sonucunu verir.

Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

12. Sorunun Çözümü

Şekildeki KLM üçgeni dik üçgendir ve L noktasında dik açı işareti vardır. Burada hipotenüs KM, dik kenarlar ise KL ve LM’dir.

1) Tick işaretleri gösteriyor ki KL = LN. Bu durumda koordinat düzleminde L(0,0), K(0,a), N(a,0) alabiliriz.

2) M noktasını M(m,0) olarak tanımlayalım. Verilen \(|KM| = 5\sqrt{5}\) ifadesi Pythagoras teoremiyle:
\(KM^2 = KL^2 + LM^2\)
\((5\sqrt5)^2 = a^2 + m^2\)
\(125 = a^2 + m^2\) …(1)

3) Tabanda LN = a olduğuna göre, MN yani aranan \(|NM|\) uzaklık \(m – a\) olacaktır.

4) Tick işaretleri ayrıca KL ve LN arasındaki \(90^\circ\)’lik açıyı ve bu kenarların eşit olduğunu gösterir. Böylece KLN üçgeni 45°–45°–90° özel üçgenidir ve KN = a\sqrt2 elde edilir.

5) Şimdi KNM üçgenine kosinüs teoremi uygulayalım:
\(KM^2 = KN^2 + NM^2 – 2\cdot KN\cdot NM \cos\angle KNM\). Burada \(\angle KNM = 180^\circ – 45^\circ = 135^\circ\), \(\cos135^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}\), \(KN = a\sqrt2\), \(NM = m – a\). Denklem:
\(\displaystyle125 = (a\sqrt2)^2 + (m – a)^2 – 2\,(a\sqrt2)(m – a)\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)\).

Açılım ve (1) numaralı denklemle birleştirildiğinde \((m – a)^2 = 15\) bulunur. Dolayısıyla \(NM = m – a = \sqrt{15}\) cm’dir.

Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.

13. Sorunun Çözümü

Verilen ABC üçgeninde AD, BC doğrusu üzerine indirilen yüksekliktir ve dik açı oluşturur. Böylece AD, hem ABD hem de ADC ikişer dik üçgen oluşturur. BD = 15 cm, DC = 6 cm, AC = 10 cm, AB = x ve AD = y olarak verildiğine göre Pythagoras teoremiyle adım adım çözümleyebiliriz.

• 1. ADC dik üçgeninde: AC hipotenüs, AD = y ve DC = 6 cm dik kenarlardır.
  \(AC^2 = AD^2 + DC^2\) ⇒ \(10^2 = y^2 + 6^2\) ⇒ \(100 = y^2 + 36\) ⇒ \(y^2 = 64\) ⇒ \(y = 8\) cm.
• 2. ABD dik üçgeninde: AB hipotenüs, AD = 8 cm ve BD = 15 cm dik kenarlardır.
  \(AB^2 = AD^2 + BD^2\) ⇒ \(x^2 = 8^2 + 15^2\) ⇒ \(x^2 = 64 + 225 = 289\) ⇒ \(x = 17\) cm.
• 3. Toplam uzunluk: x + y = 17 + 8 = 25.

Şıkların Kontrolü:

• A) 21 — Yanlış; AB ve AD hesaplarıyla uyumlu değil.
• B) 23 — Yanlış; örneğin y = 8, x = 17 ile toplam 23 olmaz.
• C) 25 — Doğru; hesaplanan değerlerin toplamıdır.
• D) 27 — Yanlış; fazla bir değeri temsil eder.

Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

14. Sorunun Çözümü

Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunun çarpımıdır. Soruda alanı \(32 \,\text{cm}^2\) ve kısa kenarı \(4 \,\text{cm}\) olarak verildiğine göre, uzun kenarı bulmak için:

• Uzun kenar:
  \(\displaystyle \text{Uzun kenar} = \frac{\text{Alan}}{\text{Kısa kenar}} = \frac{32}{4} = 8 \,\text{cm}.\)
• Köşegen uzunluğu:
  Dikdörtgenin köşegenini bulmak için Pythagoras teoremi uygulanır:
  \(\displaystyle d^2 = (\text{Kısa kenar})^2 + (\text{Uzun kenar})^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80.\)
  Böylece
  \(\displaystyle d = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\,\text{cm}.\)

Şıkların değerlendirilmesi:

• A) \(3\sqrt{5}\) — Yanlış; bu değer \(\sqrt{45}\approx6{,}7\) cm’ye karşılık gelir ve elde ettiğimiz \(\sqrt{80}\approx8{,}94\) cm ile örtüşmez.
• B) \(4\sqrt{5}\) — Doğru; Pythagoras sonucu olarak \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) cm bulunur.
• C) \(4\sqrt{3}\) — Yanlış; bu değer \(\sqrt{48}\approx6{,}93\) cm’dir ve dikdörtgenin köşegeniyle uyuşmaz.
• D) \(3\sqrt{3}\) — Yanlış; \(\sqrt{27}\approx5{,}20\) cm elde edilir, verilen ölçülerle uyumlu değildir.

Özetle, doğru cevap “B” şıkkıdır, çünkü köşegen uzunluğu Pythagoras teoremi ile net olarak \(4\sqrt{5}\) cm olarak bulunur.

15. Sorunun Çözümü

Soruda KL doğru parçasının uzunluğu 40 cm ve KM doğrusu, KL’ye dik olarak K noktasından çizildiği için dik üçgen oluşmaktadır. Bu üçgende:

• KL kenarı: 40 cm (bir dik kenar)
• KM kenarı: 30 cm (diğer dik kenar)

Üçgenin hipotenüsü LM kenarıdır ve Pythagoras teoremine göre:
\(KL^2 + KM^2 = LM^2\)
Yazarsak:
\(40^2 + 30^2 = LM^2\)
\(1600 + 900 = LM^2\)
\(LM^2 = 2500\) ⇒ \(LM = \sqrt{2500} = 50\) cm.

Şıkların değerlendirilmesi:

• A) 30 — Yanlış; 30 cm yalnızca dik kenarlardan KM uzunluğudur.
• B) 40 — Yanlış; 40 cm yalnızca taban kenarı KL uzunluğudur.
• C) 50 — Doğru; Pythagoras teoremi sonucu hipotenüs LM için 50 cm bulunur.
• D) 60 — Yanlış; bu değer, verilen dik üçgende hiçbir kenar uzunluğu ile uyuşmaz.

Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.