1. Sorunun Çözümü

Bir üçgende kenarortay, köşe noktasından karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Bu tanım gereği kenarortay, karşı kenarı iki eş parçaya böler: eğer ABC üçgeninde M noktası BC kenarının orta noktası ise, \( |BM| = |MC| \) olur.

Adım 1: Soruda “köşeden kenarın orta noktasına” vurgusu olduğuna dikkat edilir.
Adım 2: Tanımı hatırlayarak seçenekler taranır.
Adım 3: Tanıma uyan C şıkkı seçilir.

Şık Analizi:

• A) Açıortay: Açıortay bir açıyı iki eş açıya böler ancak kenarı eşit parçalara bölme zorunluluğu yoktur; dolayısıyla sorudaki şartı sağlamaz.
• B) Yükseklik: Yükseklik, köşeden karşı kenara inen ve ona dik olan doğru parçasıdır. Orta noktaya gitme şartı bulunmaz, bu yüzden verilen ifadeyi karşılamaz.
• C) Kenarortay: Köşeden kenarın tam orta noktasına giden doğru parçasıdır; tanım tam olarak soruyla eşleşir. Ayrıca kenarortay üçgenin alanını da iki eşit parçaya böler.
• D) Dikme: “Dikme” genel bir terimdir; bir doğruya dik olan herhangi bir doğruyu ifade eder. Midpoint şartı aranmadığından sorunun istediği kavram değildir.

Sonuç olarak, soruda tanımı verilen doğru parçası kenarortaydır. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

2. Sorunun Çözümü

Konu Özeti: KLM üçgeninde \([LN]\) doğrusu, \(\widehat{KLM}\) açısının açıortayı olarak belirtilmiştir. Açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir. Verilen ölçüye göre \(m(\widehat{KLM}) = 88^\circ\) olduğundan, açıortay bu açıyı tam ortadan iki eş parçaya ayırır.

Adım Adım Çözüm:

1. Tanımın Uygulanması: Açıortay, iç açı ölçüsünün yarısını oluşturur.
2. Matematiksel İfade: \(\displaystyle m(\widehat{KLN}) = \frac{m(\widehat{KLM})}{2}\).
3. Değer Yerine Koyma: \(\displaystyle m(\widehat{KLN}) = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ\).
4. Sonuç: Böylece \(\widehat{KLN}\) açısı 44° bulunur ve diğer parça \(\widehat{NLM}\) de eşit ölçüde 44° olur.

Şık Analizi:

• A) \(43^\circ\): Bir derece eksik bölme hatası yapılmıştır; açının tam yarısı 44° olmalıdır.
• B) \(44^\circ\): Açıortay tanımı ve hesaplamaya uygun, doğru şık.
• C) \(45^\circ\): Sağ açı (90°) ile karıştırma veya yanlış yuvarlama sonucu seçilebilir; ancak verilen açı 88°’dir.
• D) \(46^\circ\): Yanlış bir büyütme hatasıdır; açı ortalanırken toplama değil bölme işlemi yapılır.

Öğrenciler için İpucu: Açıortay problemlerinde her zaman verilen açıyı ikiye bölmeyi unutmayın. Eğer sonuç tam sayı çıkmıyorsa da kesri \(\displaystyle \tfrac{88^\circ}{2}\) formülüyle ifade edin.

Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.

3. Sorunun Çözümü

Değerli öğrenciler, bir üçgende herhangi bir kenara indirilen dik doğru parçasına o kenarın yüksekliği denir. Bu soruda ADC üçgeninde DC kenarına ait yükseklik isteniyor. Yükseklik, karşıt köşeden kenar doğrusu üzerine indirilen ve o kenara dik olan doğru parçasıdır.

1. Yükseklik Tanımı: Bir kenara indirilen dik doğru parçası, o kenarın yüksekliğidir.
2. Görsel İncelemesi: Görselde görüldüğü üzere B noktası, DC kenarı üzerinde işaretlenmiştir. A noktasından bu doğruya inen dikme AB’dir.
3. Diklik İfadesi: Matematiksel olarak \( AB \perp DC \) olduğundan [AB] yüksekliği temsil eder.

Şık Analizi:

• A) [AB]: Doğru şık. Çünkü A noktasından DC doğrusu üzerine indirilen dik doğru parçası AB’dir.
• B) [AD]: Yanlış. AD, üçgenin bir kenarıdır ancak DC doğrusu üzerinde değildir ve DC’ye dik değildir.
• C) [AC]: Yanlış. AC de üçgenin bir kenarı olup DC’ye diklik şartını sağlamaz.
• D) [BC]: Yanlış. BC, DC’nin bir parçası olabilir fakat yükseklik A noktasından inen dik parça değil, sadece kenar segmentidir.

Öğretmen Notu: Yükseklik sorularında her zaman karşıt köşeden ilgili kenara indirilen dikme segmentini bulun. Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.

4. Sorunun Çözümü

PRS üçgeninde PR = 14 cm ve RS = 19 cm olarak verildiğinde, üçüncü kenar olan SP‘nin alabileceği değerleri belirlemek için üçgen eşitsizliği kurallarını kullanırız. Üçgen eşitsizliği, herhangi bir kenarın uzunluğunun, diğer iki kenarın uzunluklarının mutlak farkı ile toplamı arasında olması gerektiğini belirtir.

Şimdi verilen değerleri adım adım yerine koyarak aralığı hesaplayalım:

1. Fark koşulu: \(\displaystyle |14 – 19| = 5 < SP\).
2. Toplam koşulu: \(SP < 14 + 19 = 33\).

Böylece SP için elde ettiğimiz aralık 5 < SP < 33 şeklindedir. Yani SP, 5 cm’den büyük ve 33 cm’den küçük olmalıdır.

Not olarak, SP = 5 cm veya SP = 33 cm değerleri eşitsizliğin sınır noktalarıdır; bu durumda kenar uzunluğu olarak kabul edilmez. Bu sınır değerler sadece üçgenin var olması için referans oluşturur.

Şık Analizi:

• A) \(5 \,\text{cm}\): Yanlış. Çünkü SP > 5 olmalıdır; 5, eşitsizliğin sınırında olup dahil değildir.
• B) \(4 \,\text{cm}\): Yanlış. 4 < 5 olduğu için üçgen oluşturulamaz.
• C) \(32 \,\text{cm}\): Doğru. 5 < 32 < 33 koşullarını sağlar.
• D) \(33 \,\text{cm}\): Yanlış. SP < 33 olmalıdır; 33 eşit değildir.

Öğretmen Notu: Üçgen sorularında kenar uzunluklarını kontrol ederken her zaman üçgen eşitsizliğini uygulayın. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

5. Sorunun Çözümü

Merhaba arkadaşlar! LKM üçgeninde kenar uzunlukları şunlar:

• KL = \(a\)
• LM = 14 cm
• KM = 9 cm

Üçgen oluşturabilmek için her kenar, diğer iki kenarın farkından büyük ve toplamından küçük olmalı. Yani:

\(\displaystyle |14 – 9| < a < 14 + 9\)

1. \(\displaystyle |14 – 9| = 5\), bu yüzden a sayısı 5’ten büyük olmalı: \(5 < a\)
2. \(14 + 9 = 23\), bu yüzden a sayısı 23’den küçük olmalı: \(a < 23\)

Böylece aralık olarak 5 < a < 23 bulduk. Doğal sayılar dediğimiz pozitif tam sayılar arasında:

\(6, 7, 8, \dots, 22\)

Bu sayılardan en küçüğü 6, en büyüğü 22’dir. Bu ikisinin toplamı:

\(6 + 22 = 28\)

Sonuç: En küçük ve en büyük doğal sayıların toplamı 28 olur. Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.

6. Sorunun Çözümü

Bir üçgende açı ile karşı kenarın uzunluğu doğru orantılıdır: daha büyük açı, daha uzun kenar; daha küçük açı, daha kısa kenar.

Verilenlere göre \(\displaystyle \angle A = 115^\circ\), \(\displaystyle \angle B = 35^\circ\), \(\displaystyle \angle C = 30^\circ\). Açılar sıralandığında \(\displaystyle 115^\circ > 35^\circ > 30^\circ\) sonucu çıkar.

Açı – kenar eşleştirmesi:

• BC kenarı: \(\angle A\)’nın (115°) karşısı → en uzun
• AC kenarı: \(\angle B\)’nin (35°) karşısı → orta
• AB kenarı: \(\angle C\)’nin (30°) karşısı → en kısa

Böylece kenar uzunlukları BC > AC > AB şeklinde sıralanır ve en kısa kenar AB olur.

Şık Analizi:

• A) En uzun kenar AC: Yanlış. AC, 35° açının karşısında orta uzunlukta kenardır.
• B) En uzun kenar AB: Yanlış. AB en kısa kenardır.
• C) En kısa kenar AC: Yanlış. En küçük açı 30° olduğundan AC değil AB kısadır.
• D) En kısa kenar AB: Doğru. AB, en küçük açı (30°) karşısındaki kenar olduğu için en kısadır.

Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

7. Sorunun Çözümü

Öncelikle, PRS üçgeninde verilen \(m(\widehat{PST}) = 115^\circ\) ifadesi, S noktasından ST doğrusu boyunca ölçülen dış açıya işaret eder. Üçgenin iç açılarını kullanabilmek için bu dış açıyı, iç açıya çeviririz: \(m(\widehat{RSP}) = 180^\circ – m(\widehat{PST})\) formülünü uygulayarak \(\displaystyle m(\widehat{RSP}) = 180^\circ – 115^\circ = 65^\circ\) olarak buluruz.

1. Eşit Kenar Koşulu: Soruda \(|PR| = |PS|\) olduğu belirtilmiş. Bu durumda açı-kenar ilişkisine göre eşit kenarların karşısındaki açılar da eşit olmalıdır. Yani \(\displaystyle m(\widehat{PRS}) = m(\widehat{RSP}) = 65^\circ\).
2. Üçüncü Açı: Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre \(\displaystyle m(\widehat{P}) = 180^\circ – (65^\circ + 65^\circ) = 50^\circ\).
3. Açı–Kenar İlişkisi: Bir üçgende daha büyük açı, daha uzun kenar ile; daha küçük açı, daha kısa kenar ile eşleşir.

Buradan açı büyüklüklerine göre kenarlar şöyle sıralanır: \(\angle P = 50^\circ < \angle R = 65^\circ = \angle S\). Dolayısıyla karşılık gelen kenarlar:

• \(RS\) ⟷ \(50^\circ\) ⇒ en kısa
• \(PS\) ⟷ \(65^\circ\) ⇒ uzun
• \(PR\) ⟷ \(65^\circ\) ⇒ uzun

Böylece |PR| = |PS| > |RS| ilişkisi elde edilir.

Şık Analizi:

• A) Hepsi eşit: Yanlış. RS, diğer ikisinden kısadır.
• B) PR < PS = RS: Yanlış. PR = PS ve her ikisi de RS’den büyüktür.
• C) PR > PS > RS: Yanlış. PR = PS eşit uzunluktadır.
• D) PR = PS > RS: Doğru.

Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Üçgende bir açının ölçüsü ile karşısındaki kenarın uzunluğu doğru orantılıdır: daha büyük açı, daha uzun kenar; daha küçük açı, daha kısa kenar. Verilen ölçüler:

• \(\displaystyle \angle A = 25^\circ\)
• \(\displaystyle \angle B = 135^\circ\)
• \(\displaystyle \angle C = 20^\circ\)

Bu açıları büyüklüklerine göre sıralarsak: \(\displaystyle 135^\circ > 25^\circ > 20^\circ\). Dolayısıyla karşılık gelen kenarlar:

• AC ⟷ \(\angle B = 135^\circ\) ⇒ en uzun
• BC ⟷ \(\angle A = 25^\circ\) ⇒ orta uzunluk
• AB ⟷ \(\angle C = 20^\circ\) ⇒ en kısa

Sonuç: \(\;|AC| > |BC| > |AB|\).

Şık Analizi:

• A) \( |AC| < |BC| < |AB| \): Ters sıralama, yanlış.
• B) \( |AC| > |BC| > |AB| \): Doğru; açı‐kenar ilişkisine uygundur.
• C) \( |AB| > |BC| > |AC| \): AB en kısa, yanlış önermedir.
• D) \( |BC| > |AC| > |AB| \): BC orta, AC en uzun olduğu için bu sıra hatalıdır.

Öğretmen Notu: Açı–kenar ilişkisini her zaman göz önünde bulundurarak, açılar sırasına göre kenarları karşılaştırmak çözümü kolaylaştırır.

Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bir üçgeni yalnızca üç kenar uzunluğu bilinecek şekilde çizmek istediğimizde, önce bir kenarı cetvelle çizip sonra diğer iki kenarın uzunluklarını pergel ile ölçerek ortak kesişim noktasını buluruz. Böylece üçüncü köşe belirlenir ve üçgen tamamlanır.

1. İlk kenarı çizme: Cetvel ile örneğin AB kenarını, verilen uzunlukta çizelim.
2. Pergel ayarı: Pergelin bir bacağı A noktasına, diğer bacağı verilen AC uzunluğuna ayarlanır ve yay çizilir.
3. Diğer yayı çizme: Pergelin bacakları B noktasına ve verilen BC uzunluğuna ayarlanarak ikinci yay çizilir.
4. Köşe tespiti: İki yay, üst üste gelerek C noktasını oluşturur. Bu noktayı birleştirerek üçgeni tamamlarız.

Şık Analizi:

• A) Pergel: Doğru. Cetvel ile birlikte kenar uzunluklarını yay şeklinde oluşturup köşe tespit etmek için yeterlidir.
• B) Gönye: Yanlış. Gönye, dik açı oluşturmak içindir; kenar uzunluğu ölçmez veya yay çizmez.
• C) İletki: Yanlış. İletki, paralel veya dik çizgi çizmek için kullanılır; yay yapamaz.
• D) Hesap makinesi: Yanlış. Hesap makinesi sadece sayısal işlemler için yardımcıdır, çizim aracısı değildir.

Öğretmen Notu: Üçgen çiziminde cetvel ve pergel çiftini kullanmak en temel yöntemdir. Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.

10. Sorunun Çözümü

Bir üçgeni kesin biçimde çizmek için en az üç bağımsız bilgiye ihtiyaç vardır. Bu bilgiler kenar uzunlukları veya açı ölçüleri olabilir. Soruda iki iç açının ölçüsü zaten verildiğinde, geriye kalan tek bilgi türü bir kenar uzunluğudur. Böylece üçgenin ölçeği ve şekli netleşir; verilen açılar doğrultusunda o kenar uzunluğu üzerinden yayı çizerek diğer iki köşe noktasını tespit edebiliriz.

1. İki açı zaten biliniyor: \(\angle A\) ve \(\angle B\) ölçüleri örneğin \(\alpha\) ve \(\beta\) olsun. İç açıların toplamı 180° olduğundan üçüncü açı \(\gamma = 180^\circ – (\alpha + \beta)\) şeklinde bulunur.
2. AAA bilgisi yetersizdir: Eğer sadece üç açınız olursa, benzerlikten bütün üçgenler aynı şekle sahiptir ancak ölçek (boyut) bilinmez.
3. ASA (Açı–Kenar–Açı) durumu: İki açı ve bunlar arasındaki veya herhangi bir kenar ölçüsü bilindiğinde üçgen çizilir. Soruda bu kenarın ölçüsü bir kenar uzunluğu ifadesiyle karşılanır.
4. Diğer seçeneklerin yetersizliği:
   • Alan: Alan değeri tek başına şekil veya açı açısını vermediğinden üçgenin çizimine yetmez.
   • Üçüncü açı: Üç açıyı bilmek AAA durumu oluşturur, ancak benzer üçgenler ölçeklendirilerek farklı büyüklükte olabilir.
   • Çevre uzunluğu: Çevre toplamı, kenar uzunluklarının dağılımını ve açıları netleştirmez.

Şık Analizi:

• A) Alanı: Yanlış. Sadece şeklin büyüklüğünü verir, açılarla ilişki kurmaz.
• B) Üçüncü açı ölçüsü: Yanlış. AAA bilgisi benzerliği sağlar, özgün ölçek vermez.
• C) Çevre uzunluğu: Yanlış. Toplam kenar uzunluğu ölçüsü paylaşılır, ancak tek tek kenar veya açı bilgisi eksik kalır.
• D) Bir kenar uzunluğu: Doğru. İki açının yanında kullanılan kenar ölçüsü, üçgenin hem şekli hem de ölçeği için yeterlidir.

Öğretmen Notu: Üçgen çiziminde ASA (Açı–Kenar–Açı) durumunun, yalnızca açılar veya yalnızca kenarlar durumundan daha güçlü bilgi verdiğini unutmayın. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

11. Sorunun Çözümü

Bu soruda KLM dik üçgeninde KL ⟂ LM olduğuna göre, hipotenüs olan KM kenarını bulmak için Pythagoras teoremini kullanırız. Teorem, dik üçgende iki dik kenarın kareleri toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler:

\(\displaystyle KM^2 = KL^2 + LM^2\)

1. Verilenleri yazalım:
   KL = 9 cm, LM = 12 cm.
2. Pythagoras formülü:
   \(\displaystyle KM^2 = 9^2 + 12^2\).
3. Hesaplama:
   \(9^2 = 81\), \(12^2 = 144\) olduğundan \(\displaystyle KM^2 = 81 + 144 = 225\).
4. Hipotenüsün uzunluğunu bulma:
   \(\displaystyle KM = \sqrt{225} = 15\) cm.

Şık Analizi:

• A) 13: Yanlış. 5-12-13 üçgeniyle karıştırma hatası; verilen dik kenarlar 9 ve 12’dir.
• B) 14: Yanlış. 9² + 12² toplamı 225, karekökü 15 olarak bulunur.
• C) 15: Doğru. Hesaplamalar sonucu hipotenüs 15 cm çıkar.
• D) 16: Yanlış. Bu değer Pythagoras’dan elde edilmez.

Öğretmen Notu: Dik üçgen problemlerinde her zaman Pythagoras teoremine başvurun; dik kenarları doğru kullanarak hipotenüsü kolayca elde edebilirsiniz. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

12. Sorunun Çözümü

PRS üçgeninde \(\angle P = 90^\circ\) olduğuna göre, kenar uzunlukları arasında Pythagoras teoremi uygulanır. Dik açıya komşu olan kenarlara dik kenar, karşısındaki kenara ise hipotenüs denir. Burada PR = 12 cm ve PS = x dik kenarlar, RS = 20 cm ise hipotenüstür.

1. Pythagoras Teoremi:
   \(\displaystyle (\text{hipotenüs})^2 = (\text{bir dik kenar})^2 + (\text{diğer dik kenar})^2\).
2. Değerleri yerine koyalım:
   \(\displaystyle 20^2 = 12^2 + x^2\).
3. Hesaplama yapalım:
   \(20^2 = 400,\quad 12^2 = 144\) olduğundan
   \(\displaystyle 400 = 144 + x^2\) ⇒ \(\displaystyle x^2 = 400 – 144 = 256\).
4. Karekök alalım:
   \(\displaystyle x = \sqrt{256} = 16\) cm.

Şık Analizi:

• A) 13: Yanlış. 5-12-13 üçgeni ile karıştırılmıştır; hipotenüs 20 cm olduğunda 13 cm dik kenar sağlamaz.
• B) 14: Yanlış. \(14^2=196\), \(12^2+14^2=340\neq400\).
• C) 15: Yanlış. \(15^2=225\), \(144+225=369\neq400\).
• D) 16: Doğru. Hesaplamalara göre \(x^2=256\) ve \(\sqrt{256}=16\) cm bulunur.

Öğretmen Notu: Dik üçgenlerde hipotenüsün karesi, dik kenar kareleri toplamına eşittir. Bu adımları takip ederek her zaman doğru hipotenüs veya dik kenarı bulabilirsiniz. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

13. Sorunun Çözümü

Bu soruda iki aşamalı Pythagoras uygulaması gereklidir. İlk olarak, KLM üçgeninde L dik açı olarak verilmiş ve KL = 4 cm, LM = 3 cm olduğundan, hipotenüs KM uzunluğu hesaplanır. Ardından, oluşan KM uzunluğu ile MN = 12 cm kullanılarak KMN dik üçgeni içerisinde KN hesaplanır.

1. KLM üçgeninde hipotenüs bulundu:
   Pythagoras teoremine göre \(\displaystyle KM = \sqrt{KL^2 + LM^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\) cm.
2. KMN üçgeninde yeni Pythagoras uygulaması:
   Bu kez dik kenarlar KM = 5 cm ve MN = 12 cm olmak üzere \(\displaystyle KN = \sqrt{KM^2 + MN^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\) cm.
3. Sonuç olarak KN uzunluğu 13 cm bulunur.

Şık Analizi:

• A) 13: Doğru. Hesaplamalar sonucu KN = 13 cm çıkar.
• B) 15: Yanlış. Bu değer 9-12 hipotenüs üçgeniyle karıştırılabilir.
• C) 17: Yanlış. 5 ve 12 dik kenarları 13 hipotenüs verir.
• D) 19: Yanlış. Üçgen eşitsizliği veya Pythagoras sonucu sağlamaz.

Öğretmen Notu: Pythagoras teoreminde ilk adımda elde edilen hipotenüs değeri, sonraki üçgende dik kenar olarak kullanılabilir. Adımları dikkatle takip ederek doğru sonuca ulaşabilirsiniz.

14. Sorunun Çözümü

PRS üçgeninde PH doğrusu, RS kenarına dik olarak inen yüksekliktir. Böylece iki dik üçgen oluşur: PRH ve PHS. Verilenler:

• \(PR = 13\) cm
• \(RH = 5\) cm
• \(HS = 12\) cm

Çözüm için adımlar:

1. PH uzunluğunu bulma:
   PRH dik üçgeninde Pythagoras teoremine göre \(\displaystyle PR^2 = PH^2 + RH^2\). Yerine koyarsak: \(\displaystyle 13^2 = PH^2 + 5^2\) ⇒ \(\displaystyle 169 = PH^2 + 25\) ⇒ \(\displaystyle PH^2 = 144\) ⇒ \(\displaystyle PH = 12\) cm.
2. PS uzunluğunu hesaplama:
   PHS dik üçgeninde yine Pythagoras teoremi uygulanır: \(\displaystyle PS^2 = PH^2 + HS^2\). Değerleri yazarsak: \(\displaystyle PS^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288\). Buradan \(\displaystyle PS = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\) cm.

Şık Analizi:

• A) 18: Yanlış. Hiçbir hesaplama 18 cm sonucunu vermez.
• B) \(12\sqrt{2}\): Doğru. Hesaplamalar PS = \(12\sqrt{2}\) cm olduğunu gösterir.
• C) \(3\sqrt{12}\): Yanlış. \(3\sqrt{12} = 6\sqrt{3}\) biçiminde farklı bir değerdir ve 12√2’ye eşit değildir.
• D) \(\sqrt{12}\): Yanlış. Bu ifade yalnızca yaklaşık 3.46 cm’dir, PS çok daha büyüktür.

Öğretmen Notu: Yükseklikten oluşan dik üçgenlerde iki aşamalı Pythagoras kullanarak önce PH, sonra PS uzunluğunu bulmak çok pratik bir yöntemdir. Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.

15. Sorunun Çözümü

Verilen ABC üçgeninde \(\angle B = 90^\circ\) olup, BD yüksekliği hipotenüse inmiştir. Nokta D, AC üzerinde yer alır ve verilen değerler:

• \(AD = 2\) cm (hipotenüsün bir parçası)
• \(BD = 4\) cm (yükseklik)
• \(AC = 10\) cm (hipotenüs)

Amacımız BC kenarını bulmak. Bunu iki aşamalı Pythagoras ve projeksiyon ilişkileriyle yapabiliriz.

1. DC uzunluğunu hesapla:
   Hipotenüsün tamamı \(AC = 10\) olduğuna göre \(\displaystyle DC = AC – AD = 10 – 2 = 8\) cm.
2. ABD üçgeninde AB uzunluğunu bul:
   \(\displaystyle AB^2 = AD^2 + BD^2\) \(\Rightarrow AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm.
3. BDC üçgeninde BC uzunluğunu bul:
   \(\displaystyle BC^2 = BD^2 + DC^2\) \(\Rightarrow BC = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) cm.

Şık Analizi:

• A) \(5\sqrt{3}\): Yanlış. Yaklaşık 8.66 cm olup hesaplamayla uymaz.
• B) \(3\sqrt{5}\): Yanlış. Yaklaşık 6.71 cm’dir.
• C) \(4\sqrt{3}\): Yanlış. Yaklaşık 6.93 cm’dir.
• D) \(4\sqrt{5}\): Doğru. Hesaplamalara göre \(BC = 4\sqrt{5}\) cm bulunur.

Öğretmen Notu: Dik üçgende hipotenüse inen yükseklik, iki küçük dik üçgen oluşturur ve her birinde Pythagoras teoremi ayrı ayrı uygulanabilir. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.