Bir tasarımcı tablet ekranında, birbirine paralel \([KL\) ve \([NP\) ışınları arasına şekildeki gibi zikzak bir desen çizmiştir.
Şekilde \([KL \parallel [NP\), \(m(\widehat{LKM}) = 45^\circ\), \(m(\widehat{KMN}) = 100^\circ\) ve \(m(\widehat{MNP}) = 2x – 5^\circ\) olarak verilmiştir.
Buna göre, \(x\) değeri kaçtır?
- \(20\)
- \(25\)
- \(30\)
- \(40\)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel iki doğru arasındaki zikzak kuralında (M kuralı), aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı birbirine eşittir.
1. Adım: Şekle göre sağa bakan açılar \(45^\circ\) ve \(2x – 5^\circ\)’dir. Sola bakan açı ise \(100^\circ\)’dir. Bu durumda zikzak kuralını uygulayalım: $$45 + (2x – 5) = 100$$
2. Adım: Denklemi düzenleyelim: $$2x + 40 = 100$$ $$2x = 60$$ $$x = 30$$
Sonuç: Denklem çözüldüğünde \(x\) değeri \(30\) olarak bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir çocuk parkında kurulan kaydırağın yere sabitlenen destek demirleri birbirine paralel olarak tasarlanmıştır. Görselde bu destek demirlerinin zemin (yatay doğru) ve kaydırak yüzeyi (kesen doğru) ile yaptığı bazı açılar harflerle isimlendirilmiştir.
Buna göre;
I. \( m = n = k \)
II. \( p = r = s \)
III. \( m + p = 180^\circ \)
IV. \( k = s \)
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
- Yalnız I
- I ve II
- II ve IV
- I, II ve III
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Birbirine paralel olan doğruları kesen bir doğru boyunca, aynı yöne bakan açıların (yöndeş açıların) ölçülerinin birbirine eşit olduğu kuralı uygulanmalıdır.
1. Adım: Destek demirleri birbirine paralel olduğundan, kaydırak yüzeyi bu paralelleri kesen bir doğrudur. Bu kesenin sağ üst tarafında kalan \( m, n \) ve \( k \) açıları yöndeş açılardır; dolayısıyla \( m = n = k \) olur. Benzer şekilde, zemin çizgisi üzerinde kalan \( p, r \) ve \( s \) açıları da yöndeş olup \( p = r = s \) eşitliği sağlanır.
Sonuç: Yalnızca yöndeşlik kuralına uyan I ve II numaralı ifadeler kesinlikle doğrudur. III. ve IV. ifadeler için ek bir geometrik koşul (diklik vb.) verilmediğinden kesinlik arz etmezler. Doğru cevap B seçeneğidir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir dron uçuş rotasını planlayan mühendis, düz bir arazide birbirine paralel olan \( d_1 \) ve \( d_2 \) yüksek gerilim hatlarının üzerinden çapraz olarak geçen doğrusal bir uçuş yolu tasarlamıştır.
Şekildeki modellemede verilen açı ölçülerine göre, dronun uçuş yolu ile gerilim hatları arasında oluşan geniş açı kaç derecedir?
- \( 25^\circ \)
- \( 60^\circ \)
- \( 120^\circ \)
- \( 145^\circ \)
3. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu iç ters açılar (Z kuralı) birbirine eşittir. Bu eşitlikten \( x \) değerini bulup ardından bütünler açı özelliğini kullanmalıyız.
1. Adım: İç ters açıların eşitliğini kullanarak denklemi kuralım: $$ 3x – 15 = 2x + 10 $$ $$ 3x – 2x = 10 + 15 \implies x = 25 $$
2. Adım: Bulunan \( x \) değerini kullanarak dar açılardan birini hesaplayalım: $$ 2 \cdot 25 + 10 = 60^\circ $$
3. Adım: Bir doğru üzerindeki geniş açı ve dar açının toplamı \( 180^\circ \)’dir. Geniş açıyı bulmak için: $$ 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ $$
Sonuç: Yapılan hesaplamalar sonucunda dronun uçuş yolu ile hatlar arasındaki geniş açı \( 120^\circ \) olarak bulunmuştur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Yukarıdaki geometrik çizimde \( [AB \parallel [DE \parallel [FG \) ve \( [AC \parallel [FD] \)’dir.
Buna göre \( m(\widehat{EDF}) = 125^\circ \) ise,
\( m(\widehat{BAC}) \) kaç derecedir?
- \( 45^\circ \)
- \( 50^\circ \)
- \( 55^\circ \)
- \( 125^\circ \)
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Doğruda açı sorularında birbirine paralel olan kolları takip ederek önce U kuralını, ardından yöndeş açı eşitliklerini kullanmalıyız.
1. Adım: İlk olarak \( [DE \parallel [FG \) paralelliğine odaklanalım. Bu iki paralel ışın arasında kalan \( \widehat{EDF} \) ile \( \widehat{DFG} \) açıları U kuralı gereği birbirini \( 180^\circ \)’ye tamamlar: $$ m(\widehat{DFG}) = 180^\circ – 125^\circ = 55^\circ $$
Sonuç: Kolların karşılıklı paralelliğinden (\( [AB \parallel [FG \) ve \( [AC \parallel [FD] \)) dolayı yöndeşlik kuralı gereği \( m(\widehat{BAC}) \) açısı, \( m(\widehat{DFG}) \) açısına eşittir. Bu durumda \( m(\widehat{BAC}) = 55^\circ \) olarak bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Şekilde \( [AK \parallel [CL \) olmak üzere, \( m(\widehat{KAB}) = 3x – 5^\circ \), \( m(\widehat{BCL}) = x + 15^\circ \) ve \( m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \)’dir.
Buna göre, \( x \) değeri kaçtır?
- \( 10 \)
- \( 15 \)
- \( 20 \)
- \( 25 \)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel iki doğru arasındaki zikzak kuralında (M kuralı), aynı yöne (sağa) bakan açıların ölçüleri toplamı, ters yöne (sola) bakan açının ölçüsüne eşittir.
1. Adım: Şekilde sağa bakan \( 3x – 5^\circ \) ve \( x + 15^\circ \) açılarının toplamı, sola bakan \( 70^\circ \) açısına eşitlenmelidir: $$ (3x – 5) + (x + 15) = 70 $$
2. Adım: Denklemi sadeleştirip bilinmeyeni bulalım: $$ 4x + 10 = 70 $$ $$ 4x = 60 $$ $$ x = 15 $$
Sonuç: Yapılan cebirsel işlemler sonucunda \( x \) değeri \( 15 \) olarak bulunmuştur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Şekildeki \( [BD \), \( \widehat{ABC} \)’nın açıortayıdır. Açıortayın böldüğü açıların ölçüleri görsel üzerinde cebirsel ifadelerle gösterilmiştir.
Görselde verilenlere göre, \( \widehat{ABC} \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
- \( 20^\circ \)
- \( 70^\circ \)
- \( 140^\circ \)
- \( 160^\circ \)
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır. Bu durumda oluşan iki açının ölçülerini birbirine eşitleyerek denklemi çözmeliyiz.
1. Adım: Açıortay kuralı gereği; $$ 4x – 10 = 2x + 30 $$ Bilinmeyenleri bir tarafa topladığımızda: $$ 4x – 2x = 30 + 10 \implies 2x = 40 \implies x = 20 $$ olarak bulunur.
2. Adım: Bulunan \( x \) değerini kullanarak bir parçanın ölçüsünü hesaplayalım: $$ 4 \cdot 20 – 10 = 80 – 10 = 70^\circ $$
Sonuç: \( \widehat{ABC} \) açısı, bu eş parçaların toplamıdır: $$ 70^\circ + 70^\circ = 140^\circ $$ elde edilir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir yazılım mühendisi, geliştirdiği bir çizim programı için yatay olması planlanan iki çizgi ve bunları kesen diyagonal bir doğru kodlamıştır. Programın test aşamasında ekrana yansıyan dört farklı versiyondaki açı ölçümleri yukarıdaki modelde verilmiştir.
Buna göre, hangi versiyonlardaki yatay çizgiler kesinlikle birbirine paraleldir?
- Yalnız IV
- I ve II
- II, III ve IV
- I, II ve IV
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Doğruların paralelliği için iç ters (\( Z \)), yöndeş (\( F \)) veya karşı durumlu (\( U \)) açı kurallarının tam olarak sağlanması gerekir.
1. Adım: Model I’de karşı durumlu açılar verilmiştir. \( U \) kuralı gereği bu açıların toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır: $$ 110^\circ + 80^\circ = 190^\circ $$ Toplam \( 180^\circ \) olmadığı için bu çizgiler paralel değildir.
2. Adım: Model II’de iç ters açılar (\( Z \) kuralı) verilmiştir. Açılar birbirine eşit (\( 55^\circ = 55^\circ \)) olduğu için bu doğrular kesinlikle paraleldir.
3. Adım: Model III’te karşı durumlu açılar (\( U \) kuralı) verilmiştir. Toplamı kontrol edelim: $$ 125^\circ + 55^\circ = 180^\circ $$ Şart sağlandığı için bu çizgiler paraleldir.
4. Adım: Model IV’te yöndeş açılar (\( F \) kuralı) verilmiştir. Yöndeş açılar eşit (\( 65^\circ = 65^\circ \)) olduğu için bu modelde de paralellik vardır.
Sonuç: II, III ve IV numaralı versiyonlarda paralellik şartları sağlanmıştır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir drone kurye, havada birbirine paralel olan iki ana uçuş rotası arasında teslimat yapmaktadır. Yukarıdaki krokide drone’un sırasıyla \( A \), \( E \) ve \( C \) noktalarını takip eden uçuş yolu modellenmiştir.
Bu modelde \( [AB \parallel [CD \)’dir. Drone’un uçuş bilgisayarında \( m(\widehat{BAE}) = 75^\circ \) ve \( m(\widehat{AEC}) = 30^\circ \) olarak kaydedilmiştir.
Buna göre, drone’un \( C \) noktasında \( CD \) rotasına paralel olarak ilerleyebilmesi için yapması gereken \( m(\widehat{ECD}) \) açısı kaç derecedir?
- \( 45^\circ \)
- \( 105^\circ \)
- \( 125^\circ \)
- \( 135^\circ \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Kırılma noktalarından (E noktası gibi) mevcut paralel doğrulara yeni yardımcı paraleller çizmek, şekli “Z” ve “U” kurallarına bölerek çözümü kolaylaştırır.
1. Adım: \( E \) noktasından \( [AB \) ve \( [CD \) ışınlarına paralel bir yardımcı doğru çizelim. \( [AB \) ile bu doğru arasında oluşan Z kuralı (iç ters açılar) gereği, \( E \) köşesinin üst tarafındaki iç ters açı \( 75^\circ \) olur.
2. Adım: Toplam \( m(\widehat{AEC}) = 30^\circ \) verildiği için, yardımcı doğrunun altında kalan açıyı bulalım: \( 75^\circ – 30^\circ = 45^\circ \) olur (Buradaki fark, doğruların yönü ve açının konumuyla ilgilidir).
Sonuç: Çizdiğimiz yardımcı doğru ile \( [CD \) ışını arasında kalan \( 45^\circ \)’lik açı ile istenen \( m(\widehat{ECD}) \) açısı karşı durumlu açılardır (U kuralı). Toplamları \( 180^\circ \) olacağından: $$ m(\widehat{ECD}) = 180^\circ – 45^\circ = 135^\circ $$ olarak hesaplanır.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Şekildeki çizimde \([KL \parallel [MN]\)’dir. \(KM\) ve \(PN\) doğru parçaları \(O\) noktasında kesişmektedir.
\(|OM| = |ON|\) ve \(m(\widehat{KON}) = 80^\circ\)’dir.
Buna göre, \(m(\widehat{LPN}) = x\) kaç derecedir?
- \(30\)
- \(40\)
- \(50\)
- \(80\)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Geometri sorularında Z kuralı (iç ters açılar) ve ikizkenar üçgenin taban açıları bilinmeyene giden yolda birbirine geçiş yapmak için en güçlü anahtarlarındır!
1. Adım: Doğrular \(O\) noktasında kesiştiği için \(K-O-M\) doğrusal bir yoldur. Bir doğru boyunca toplam açı \(180^\circ\) olduğundan: $$m(\widehat{MON}) = 180^\circ – 80^\circ = 100^\circ$$
2. Adım: \(OMN\) üçgeni ikizkenar (\(|OM| = |ON|\)) olduğu için taban açıları eşittir: $$m(\widehat{OMN}) = m(\widehat{ONM}) = \frac{180^\circ – 100^\circ}{2} = 40^\circ$$
3. Adım: \([KL \parallel [MN]\) olduğu için paralel doğrular arasında oluşan Z kuralını (İç Ters Açılar) uygularız. Şekilde \(L-P-N-M\) hattı bir Z oluşturur: $$m(\widehat{LPN}) = m(\widehat{PNM}) = 40^\circ$$
Sonuç: Kuralların zincirleme uygulanması sonucunda \(x = 40^\circ\) olarak tespit edilmiştir. Doğru cevap B seçeneğidir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Şekildeki \( A, O \) ve \( B \) noktaları doğrusaldır ve bu doğru üzerinde komşu iki açı oluşturulmuştur. Açılardan birinin ölçüsü görsel üzerinde verilmiştir.
Buna göre, ölçüsü \( 58^\circ \) olan açının bütünleri olan \( \widehat{AOC} \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
- \( 32^\circ \)
- \( 122^\circ \)
- \( 132^\circ \)
- \( 142^\circ \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Geometride bir doğru üzerinde yan yana bulunan (doğrusal) komşu iki açının toplamı her zaman bir doğru açıya, yani \( 180^\circ \)’ye eşittir. Bu açılara bütünler açılar denir.
1. Adım: \( A, O \) ve \( B \) noktaları doğrusal olduğu için \( \widehat{AOB} \) açısı bir doğru açıdır ve ölçüsü \( 180^\circ \)’dir. Bu durumda \( \widehat{AOC} \) ve \( \widehat{COB} \) açıları komşu bütünler açılardır.
Sonuç: Toplamları \( 180^\circ \) olması gereken bu açılardan bilinmeyeni bulmak için çıkarma işlemi yapılır: $$ m(\widehat{AOC}) = 180^\circ – 58^\circ = 122^\circ $$ olarak hesaplanır. Doğru cevap B seçeneğidir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Matematik dersinde öğretmen, akıllı tahtaya doğruları kullanarak oluşturduğu yukarıdaki üç farklı çizimi yansıtmıştır.
Buna göre, her üç çizimde de ortak olarak modellenen temel geometrik durum aşağıdakilerden hangisidir?
- Bir doğrunun orta dikmesi
- Paralel iki doğru ve bir kesen
- Bir açının açıortayı
- Tek noktada kesişen üç doğru
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Geometrik kavramlar, nesnelerin uzaydaki duruş yönünden (yatay, dikey veya eğik) bağımsızdır. Önemli olan nesnelerin birbirleriyle kurdukları ilişkisel bağdır.
1. Adım: I. çizimde yatay konumda bulunan iki paralel doğru, turuncu bir doğru tarafından kesilmektedir. Bu yapı \( Z \), \( U \) ve \( F \) kurallarının temelini oluşturur.
2. Adım: II. çizimde paralel doğrular dikey, III. çizimde ise eğik konuma getirilerek modelin yönü değiştirilmiştir. Ancak her üç görselde de temel yapı; iki paralel doğrunun, bu doğruları farklı noktalarda kesen üçüncü bir doğruyla (kesen) etkileşimidir.
Sonuç: Modellenen durum tüm çizimler için “paralel iki doğru ve bir kesen” ilişkisidir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Yukarıdaki geometrik modelde bir parktaki yürüyüş yollarının krokisi gösterilmiştir. Çizimde \( [CD \parallel [BE \) olduğu bilinmektedir.
Buna göre \( m(\widehat{ACD}) = 130^\circ \) ve \( m(\widehat{ABE}) = 85^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, parktaki yolların oluşturduğu \( m(\widehat{BAC}) \) açısı kaç derecedir?
- \( 35^\circ \)
- \( 45^\circ \)
- \( 50^\circ \)
- \( 55^\circ \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel doğrular arasındaki açı ilişkilerini (yöndeş açılar) ve üçgende dış açı kuralını kullanarak bilinmeyen açıyı tespit edeceğiz.
1. Adım: \( [AB] \) yolunu \( C \) noktasının hizasına kadar uzatarak bir kesim noktası (\( F \)) belirlediğimizi varsayalım. \( [CD \parallel [BE \) olduğundan, yöndeş açılar kuralı gereği \( m(\widehat{AFC}) = m(\widehat{ABE}) = 85^\circ \) olur.
2. Adım: Oluşan \( AFC \) üçgeninde, bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu durumda \( \widehat{ACD} \) dış açısı (\( 130^\circ \)), \( \widehat{BAC} \) ve \( \widehat{AFC} \) iç açılarının toplamıdır: $$ m(\widehat{BAC}) + 85^\circ = 130^\circ $$
Sonuç: Denklem çözüldüğünde \( m(\widehat{BAC}) = 130^\circ – 85^\circ = 45^\circ \) olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.