Bir marangoz, birbirine paralel iki ahşap blok arasına, görseldeki gibi Z harfini andıran bir destek demiri yerleştirmiştir.
\([AK \parallel [CL\) olmak üzere, destek demirinin köşelerinde oluşan açılar; \(m(\widehat{ABC}) = 85^\circ\) ve \(m(\widehat{BCL}) = 145^\circ\) olarak ölçülmüştür. Ayrıca A köşesindeki açı cebirsel olarak \(m(\widehat{KAB}) = 2x – 10^\circ\) şeklinde ifade edilmiştir.
Buna göre, \(x\) değeri kaçtır?
- \(25\)
- \(30\)
- \(65\)
- \(70\)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Geometride zikzak veya kırık çizgi sorularında, kırılma noktasından (B noktası) diğer paralel doğrulara yeni bir paralel çizgi çekerek karmaşık açıyı U ve Z kurallarına dönüştürebilirsin.
1. Adım: B noktasından geçecek şekilde, \([AK\) ve \([CL\) ışınlarına tam paralel yatay bir doğru çizelim. Bu yardımcı doğru, \(85^\circ\)’lik B açısını alt ve üst olmak üzere iki parçaya ayırır.
2. Adım: Alt parça için C köşesine bakalım. B noktasından çizilen paralel ile C köşesindeki açı arasında U kuralı oluşur: \(180^\circ – 145^\circ = 35^\circ\). Bu, B açısının alt kısmıdır.
3. Adım: B açısının tamamı \(85^\circ\) olduğundan, üst parça: \(85^\circ – 35^\circ = 50^\circ\) olarak bulunur.
4. Adım: A köşesi ile B’nin üst parçası arasında Z kuralı (İç Ters Açılar) vardır. Bu durumda: \(2x – 10 = 50\) denklemi kurulur.
Sonuç: Denklemi çözersek; \(2x = 60\) ve buradan \(x = 30\) bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Yukarıdaki görselde gösterilen \( m \) ve \( n \) açıları, doğrusal bir zemin üzerindeki komşu iki bütünler açıdır. Açıların ölçüleri arasında \( \frac{m}{4} = \frac{n}{5} \) ilişkisi bulunmaktadır.
Buna göre, küçük açının ölçüsü kaç derecedir?
- \( 40^\circ \)
- \( 50^\circ \)
- \( 80^\circ \)
- \( 100^\circ \)
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Doğrusal bir zemin üzerindeki komşu iki açının toplamının (bütünler açı) her zaman \( 180^\circ \) olduğunu hatırla ve verilen oranı \( k \) sabitiyle denkleme dönüştür.
1. Adım: \( m \) ve \( n \) açıları bütünler olduğu için \( m + n = 180^\circ \) olur. Verilen \( \frac{m}{4} = \frac{n}{5} = k \) eşitliğinden \( m = 4k \) ve \( n = 5k \) değerlerini elde ederiz. Bu değerleri toplam denkleminde yerine koyduğumuzda: $$ 4k + 5k = 180^\circ \implies 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ $$ olarak bulunur.
Sonuç: Küçük olan açı \( m = 4k \) olduğundan; \( 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ \) sonucu elde edilir. Doğru cevap C seçeneğidir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Aşağıdaki geometrik çizimde birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında oluşan açılar verilmiştir.
\( d_1 \parallel d_2 \) olduğuna göre, \( x \) ile gösterilen açı kaç derecedir?
- \( 60^\circ \)
- \( 65^\circ \)
- \( 70^\circ \)
- \( 80^\circ \)
3. Sorunun Çözümü
Strateji: Zikzak (M kuralı) sorularında temel prensip; aynı yöne bakan açıların toplamının, zıt yöne bakan açıların toplamına eşit olmasıdır.
1. Adım: Şekilde sağa bakan açılar \( 35^\circ \) ve \( 85^\circ \)’dir. Sola bakan açılar ise \( 50^\circ \) ve \( x \)’tir. Kuralı uygulayalım: $$ 35^\circ + 85^\circ = 50^\circ + x $$ $$ 120^\circ = 50^\circ + x $$
Sonuç: Denklem çözüldüğünde \( x = 120^\circ – 50^\circ = 70^\circ \) olarak bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir tarım arazisinde birbirine paralel uzanan iki sulama kanalı ve bu kanalları birleştiren bir tahliye borusunun havadan görünümü yukarıda modellenmiştir.
Şekilde \( [BA \parallel [CD \), \( m(\widehat{ABC}) = y \), \( m(\widehat{BCE}) = 3x \) ve \( m(\widehat{ECD}) = x \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, \( y – x = 30^\circ \) olduğuna göre \( y \) açısı kaç derecedir?
- \( 40 \)
- \( 60 \)
- \( 75 \)
- \( 105 \)
Çözümü
Strateji: Paralel iki doğru arasında kalan ve birbirine bakan karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \)’dir (U kuralı). Bu kuralı ve verilen fark denklemini kullanarak \( y \) değerini bulacağız.
1. Adım: \( [BA \parallel [CD \) olduğu için \( y \) açısı ile \( \widehat{BCD} \) açısının toplamı \( 180^\circ \)’dir. \( \widehat{BCD} \) açısı \( 3x + x = 4x \) olduğundan, birinci denklemimiz: $$ y + 4x = 180^\circ $$ Soruda verilen ikinci denklem ise \( y – x = 30^\circ \) şeklindedir. Buradan \( y = x + 30^\circ \) yazıp ilk denklemde yerine koyarsak: $$ (x + 30^\circ) + 4x = 180^\circ \implies 5x = 150^\circ \implies x = 30^\circ $$
Sonuç: \( x = 30^\circ \) değerini \( y = x + 30^\circ \) eşitliğinde yerine yazdığımızda \( y = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \) sonucuna ulaşırız.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir doğalgaz tesisat ustası, duvara birbirine paralel ve eş eğimli borular döşemiştir. Görseldeki krokide boruların yatay kısımları ile eğik kısımları kendi içlerinde birbirine paraleldir.
\([BA \parallel [CD] \parallel [EF\) ve \([BC] \parallel [DE]\)’dir. Usta, kırılma noktalarındaki açıları \(m(\widehat{ABC}) = 3x + 40^\circ\) ve \(m(\widehat{DEF}) = 5x – 20^\circ\) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, C noktasındaki boruların oluşturduğu \(\widehat{BCD}\) açısının ölçüsü kaç derecedir?
- \(100^\circ\)
- \(110^\circ\)
- \(130^\circ\)
- \(140^\circ\)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel doğrular arasında peş peşe gelen merdiven veya zikzak şekillerinde, doğrular aynı yöne doğru ilerliyorsa aralarındaki açılar U veya Z kuralı ile birbirine taşınabilir. Bu tür eş açılı sistemlerde geniş açıların hepsi birbirine eşittir!
1. Adım: Boru hattındaki yatay parçaların (\([BA\), \([CD]\), \([EF\)) ve eğik parçaların (\([BC]\), \([DE]\)) birbirine paralel olduğu verilmiştir. Bu durum, yöndeşlik ve iç terslik kurallarını geçerli kılar.
2. Adım: Şekil üzerindeki geniş açılar (\(\widehat{ABC}\), \(\widehat{BCD}\), \(\widehat{CDE}\) ve \(\widehat{DEF}\)) paralellikten dolayı birbirine eştir. Yani: \(3x + 40 = 5x – 20\)
3. Adım: Denklemi çözelim: \(40 + 20 = 5x – 3x\) ise \(60 = 2x\) ve buradan \(x = 30\) bulunur.
4. Adım: \(\widehat{BCD}\) açısı \(\widehat{ABC}\) açısına eşit olduğundan; \(m(\widehat{BCD}) = 3 \cdot 30 + 40 = 130^\circ\) hesaplanır.
Sonuç: Geometrik yöndeşlik ve cebirsel denklem çözümü ile \(\widehat{BCD}\) açısı \(130^\circ\) olarak tespit edilmiştir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Yukarıdaki çizimde birbirine paralel olan \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları bir kesen ile kesilmiştir. Bu kesişim sonucunda oluşan iç ters açıların ölçüleri görsel üzerinde \( 4x – 12^\circ \) ve \( 2x + 36^\circ \) cebirsel ifadeleriyle verilmiştir.
Buna göre, bu açılardan birinin ölçüsü kaç derecedir?
- \( 24^\circ \)
- \( 48^\circ \)
- \( 84^\circ \)
- \( 96^\circ \)
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu “Z kuralı” (iç ters açılar) uyarınca, bu açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir.
1. Adım: İç ters açıların eşitliği kuralına dayanarak denklemimizi kuralım: $$ 4x – 12 = 2x + 36 $$ Bilinenleri ve bilinmeyenleri ayırdığımızda: $$ 4x – 2x = 36 + 12 \implies 2x = 48 \implies x = 24 $$ olarak bulunur.
Sonuç: Bizden açının ölçüsü istendiği için \( x \) değerini herhangi bir açıda yerine koyalım: $$ 4 \cdot 24 – 12 = 96 – 12 = 84^\circ $$ elde edilir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Yukarıdaki geometrik çizimde birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında çizilmiş doğru parçaları verilmiştir. \( d_1 \) doğrusu üzerindeki bir noktada oluşan üç açının ölçüleri sırasıyla \( x \), \( x \) ve \( 50^\circ \)’dir.
\( d_1 \parallel d_2 \) olduğuna göre, \( y \) ile gösterilen açı kaç derecedir?
- \( 120^\circ \)
- \( 130^\circ \)
- \( 140^\circ \)
- \( 150^\circ \)
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu soruda “Doğru Açı” prensibi ile “Zikzak (M) Kuralı”nı birleştirerek sonuca ulaşacağız. Önce bütünler açıdan faydalanarak değişkenimizi bulmalıyız.
1. Adım: \( d_1 \) doğrusu üzerindeki noktada oluşan üç açının toplamı bir doğru açı (\( 180^\circ \)) eder: $$ x + x + 50^\circ = 180^\circ $$ $$ 2x = 130^\circ \implies x = 65^\circ $$
2. Adım: Zikzak kuralına göre, sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıların toplamına eşittir. Şekilde sola bakan tek açı \( y \), sağa bakan açılar ise iki adet \( x \) açısıdır: $$ y = x + x $$ $$ y = 65^\circ + 65^\circ = 130^\circ $$
Sonuç: Geometrik kurallar uygulandığında \( y \) açısı \( 130^\circ \) olarak hesaplanır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir şehir planlamasında, birbiriyle paralel olan \( d_1 \), \( d_2 \) ve \( d_3 \) caddeleri ile bu caddeleri birbirine bağlayan ara sokakların kuşbakışı krokisi yukarıda modellenmiştir.
Kroki üzerinde verilen açı değerlerine göre \( d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \) olduğu bilinmektedir.
Buna göre krokide belirtilen \( b \) açısı kaç derecedir?
- \( 60 \)
- \( 70 \)
- \( 80 \)
- \( 90 \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Krokideki paralel caddeler arasında oluşan “U” (karşı durumlu açılar) ve “Z” (iç ters açılar) kurallarını sırayla uygulayarak bilinmeyenleri bulacağız.
1. Adım: \( d_1 \) ve \( d_2 \) caddeleri arasındaki “U kuralı” gereği karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \)’dir: $$ 140^\circ + 2a = 180^\circ \implies 2a = 40^\circ \implies a = 20^\circ $$
2. Adım: \( d_2 \) caddesi üzerindeki \( 3a + 10^\circ \) açısının değerini hesaplayalım: $$ 3(20^\circ) + 10^\circ = 60^\circ + 10^\circ = 70^\circ $$
Sonuç: \( d_2 \) ve \( d_3 \) caddeleri arasındaki “Z kuralı” (iç ters açılar) gereği \( b \) açısı ile \( 3a + 10^\circ \) açısı birbirine eşittir. Bu durumda \( b = 70^\circ \) bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir şehir plancısı, birbirine paralel uzanan iki cadde arasına görseldeki gibi üçgen şeklinde bir park alanı tasarlamıştır. Planda caddeleri temsil eden \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları birbirine paraleldir (\(d_1 \parallel d_2\)).
Plandaki ölçümlere göre, \(d_1\) doğrusu ile parkın \(AC\) kenarı arasında kalan açı \(55^\circ\) olarak verilmiştir. Ayrıca parkın iç açılarından \(m(\widehat{BAC})\) ile \(m(\widehat{ACB})\)’nin birbirine eşit olduğu belirtilmiştir.
Buna göre park alanının B köşesindeki açısı, yani \(m(\widehat{ABC})\) kaç derecedir?
- \(55^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(70^\circ\)
- \(125^\circ\)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel doğrular arasına çizilmiş üçgen veya zikzak şekillerinde daima ilk araman gereken şey Z kuralıdır (İç Ters Açılar). Z kuralını yakalayarak dışarıdaki bir açıyı kolayca üçgenin içine taşıyabilirsin!
1. Adım: \(d_1 \parallel d_2\) olduğu için \(A\) köşesinin sağ tarafındaki \(55^\circ\)’lik açı ile üçgenin \(C\) köşesindeki iç açısı arasında bir “Z” harfi oluşur. İç ters açılar birbirine eşit olduğundan \(m(\widehat{ACB}) = 55^\circ\) olur.
2. Adım: Soruda \(m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ACB})\) bilgisi verilmiştir. Bu durumda \(A\) köşesinin iç açısı da \(55^\circ\)’dir.
3. Adım: Üçgenin iç açılar toplamı \(180^\circ\)’dir. Bildiğimiz iki açıyı toplayalım: \(55^\circ + 55^\circ = 110^\circ\).
Sonuç: İstenen B açısı: \(180^\circ – 110^\circ = 70^\circ\) olarak bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Yukarıdaki şekilde \( k \) ve \( l \) doğruları birbirine paraleldir. Bu doğrular arasında zikzak oluşturan kesişen iki doğru parçası bulunmaktadır.
Şekilde verilen açı ölçülerine göre \( x \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
- \( 6^\circ \)
- \( 78^\circ \)
- \( 102^\circ \)
- \( 138^\circ \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel iki doğru arasında kırık çizgiler gördüğünde “M Kuralı”nı (aynı yöne bakan açıların toplamı, zıt yöne bakan açıya eşittir) uygula.
1. Adım: \( k \parallel l \) paralelliği olduğu için sağa bakan dar açıların toplamı, sola bakan \( x \) açısına eşit olmalıdır. Sağa bakan açılar \( 42^\circ \) ve \( 36^\circ \)’dir.
Sonuç: M kuralı gereği; $$ x = 42^\circ + 36^\circ \implies x = 78^\circ $$ olarak hesaplanır. Doğru cevap B seçeneğidir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Yukarıdaki şekilde \( [BE \parallel [CD \)’dir.
\( m(\widehat{BCD}) = 145^\circ \) ve \( m(\widehat{ABC}) = 110^\circ \)’dir.
Verilen bilgilere göre, soru işareti ile gösterilen \( m(\widehat{ABE}) \) kaç derecedir?
- \( 95^\circ \)
- \( 105^\circ \)
- \( 115^\circ \)
- \( 125^\circ \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Geometri sorularında kırılma noktalarından (B köşesi gibi) geçen yardımcı paralel doğrular çizmek, karmaşık açı ilişkilerini basit U veya Z kurallarına dönüştürür.
1. Adım: B noktasından sağa doğru \( [CD \)’ye paralel bir ışın çizelim. Bu durumda \( C \) ve \( B \) köşeleri arasında bir U kuralı (karşı durumlu açılar) oluşur. Yardımcı ışın ile \( [BC] \) arasındaki alt açıyı bulalım: $$ 180^\circ – 145^\circ = 35^\circ $$
2. Adım: \( m(\widehat{ABC}) = 110^\circ \) olarak verilmiştir. Çizdiğimiz yardımcı paralel ışının üstünde kalan kısmını bulalım: $$ 110^\circ – 35^\circ = 75^\circ $$
3. Adım: B noktasındaki \( [BE \) ışını ile sağa doğru uzattığımız yardımcı paralel zıt yönlüdür ve bir doğru oluşturur. Soru işareti ile gösterilen \( \widehat{ABE} \) açısı, bu doğru açıyı tamamlayan kısımdır: $$ 180^\circ – 75^\circ = 105^\circ $$
Sonuç: Doğru açı ve paralel kenar özellikleri kullanıldığında sonuç \( 105^\circ \) bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir doğa parkında bulunan “Kuzey Yolu” ve “Güney Yolu” birbirine paralel iki doğrusal yürüyüş parkurudur. Bu iki parkuru birbirine bağlayan zikzak biçimindeki taşlı yolun oluşturduğu açılar yukarıdaki krokide cebirsel olarak modellenmiştir.
Bağlantı yolunun kırılma noktasındaki açı ölçüsü \( 110^\circ \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
- \( 16 \)
- \( 20 \)
- \( 24 \)
- \( 38 \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Paralel iki doğru arasında kalan zikzaklı yapılarda, sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıların toplamına eşittir (M Kuralı). Krokideki yönleri belirleyip denklemi kurmalıyız.
1. Adım: Şekildeki verilere göre sola bakan açılar \( 3x + 5^\circ \) ve \( 2x – 15^\circ \)’dir. Sağa bakan açı ise \( 110^\circ \)’dir. M kuralı denklemini kuralım: $$ (3x + 5^\circ) + (2x – 15^\circ) = 110^\circ $$
2. Adım: Denklemdeki benzer terimleri (değişkenler ve sabit sayılar) kendi aralarında toplayalım: $$ 5x – 10^\circ = 110^\circ $$
3. Adım: Sabit terimi karşıya atarak \( x \) değerini yalnız bırakalım: $$ 5x = 120^\circ \implies x = \frac{120}{5} = 24 $$
Sonuç: Yapılan hesaplamalar sonucunda \( x \) değeri \( 24 \) olarak bulunmuştur.
Doğru cevap C seçeneğidir.