1. Sorunun Çözümü

Adım 1: Verilen işlem \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \) ifadesidir. Burada, kareköklerin çarpımı için temel kural \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) şeklindedir. Bu kuralı kullanarak ifadeyi tek bir karekök içine alabiliriz.

Adım 2: İfadeyi yeniden düzenleyelim:
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 10} \).
Adım 3: Üç sayının çarpımını hesaplayalım:
\( 2 \cdot 5 \cdot 10 = 100 \).
Dolayısıyla, ifade \( \sqrt{100} \) haline gelir.

Adım 4: Son olarak, \( \sqrt{100} \) işlemini gerçekleştirdiğimizde sonuç \( 10 \) elde edilir. Bu, matematikte karekök tanımından dolayı, 100 sayısının tam kare olması nedeniyle geçerlidir.

Şıkların İncelenmesi:

• A Şıkkı: \( \displaystyle 2\sqrt{5} \) – Bu seçenek, \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}\) çarpımının sonucu gibi görünebilir ancak \( \sqrt{10} \) ifadesi hesaba katılmamıştır. Dolayısıyla eksik bir değerlendirme sonucu ortaya çıkmıştır.
• B Şıkkı: \( \displaystyle 5\sqrt{2} \) – Bu şıkta, sayıların yer değiştirmesi ve yanlış gruplanması söz konusudur. İfadeyi doğru şekilde birleştirdiğimizde elde edeceğimiz sonuç \( 10 \) olduğu için bu seçenek yanlış kalmaktadır.
• C Şıkkı: \( \displaystyle 10 \) – Yukarıdaki adımlarda gösterildiği gibi, \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{100} = 10 \) ifadesi doğru ve eksiksiz bir hesaplamadır. Bu yüzden doğru cevaptır.
• D Şıkkı: \( \displaystyle 10\sqrt{2} \) – Bu seçenek, işlemin karekök kısmını fazladan çoğaltarak yanlış bir sonuç üretmektedir. Kareköklü işlemin tamamlanmasında \( \sqrt{2} \) ifadesi gereksiz yere eklenmiştir.

Genel Değerlendirme: Bu soru, öğrencilerin temel karekök kurallarını ve sayıların çarpımını doğru şekilde uygulayıp uygulamadıklarını test etmek amacıyla hazırlanmıştır. \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) kuralı, bu tür sorularda oldukça yaygın kullanılır. Öğrencilerin matematiksel ifadeleri dikkatle okuyup, her adımı sırasıyla takip etmeleri gerekmektedir. Ayrıca, diğer şıklarda yer alan ifadelerin neden hatalı olduğunu da anlamak, konunun kavranmasında büyük önem taşımaktadır. Bu sayede, benzer sorularda hangi adımların izleneceği konusunda daha sağlam bir temel oluşturulmuş olur. Sorunun doğru cevabını bulmak için yapılan işlemler, hem işlem sırasının doğruluğunu hem de matematiksel mantığın uygulanmasını göstermektedir.

2. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen dört seçenek içerisindeki iki sayı çarpımının sonucunun diğer seçeneklerin çarpım sonuçlarından daha büyük olup olmadığını belirleyeceğiz. Her bir seçenek için işlemleri adım adım inceleyip, doğru sonucu bulacağız. Matematikte karekök ifadeleriyle yapılan çarpma işlemleri, \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \) kuralı ile kolayca hesaplanabilmektedir.

Adım 1: İlk olarak, her bir seçenekte verilen sayıların çarpımını hesaplayalım:

• A Şıkkı: İfadeler \( 3\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{2} \) olduğundan,
  \( 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 3 \times 2 = 6 \).
• B Şıkkı: İfadeler \( 2\sqrt{3} \) ve \( \sqrt{3} \) olduğundan,
  \( 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 2 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 2 \times 3 = 6 \).
• C Şıkkı: İfadeler \( 2\sqrt{6} \) ve \( 2\sqrt{6} \) olduğundan,
  \( 2\sqrt{6} \times 2\sqrt{6} = 4 \times (\sqrt{6} \times \sqrt{6}) = 4 \times 6 = 24 \).
• D Şıkkı: İfadeler \( \sqrt{5} \) ve \( 3\sqrt{5} \) olduğundan,
  \( \sqrt{5} \times 3\sqrt{5} = 3 \times (\sqrt{5} \times \sqrt{5}) = 3 \times 5 = 15 \).

Adım 2: Hesaplamalardan da görüldüğü üzere, A ve B şıkları için sonuç \( 6 \), D şıkkı için \( 15 \) ve C şıkkı için \( 24 \) elde edilmiştir. Dolayısıyla, diğer şıklara göre en yüksek sonuç C Şıkkı ile elde edilmektedir.

Şıkların Detaylı İncelemesi:

• A Şıkkı: \( 3\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{2} \) çarpımında, kareköklerin birbiriyle çarpılması sonucu sadece \( 2 \) elde edilip, 3 ile çarpıldığında 6 bulunur. Bu değer, diğer seçeneklerle kıyaslandığında daha küçüktür.
• B Şıkkı: \( 2\sqrt{3} \) ve \( \sqrt{3} \) ifadeleri de benzer şekilde işlem görür; \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} \) = 3 sonucu verir ve 2 ile çarpılarak yine 6 elde edilir.
• C Şıkkı: İki adet \( 2\sqrt{6} \) ifadesi çarpıldığında, sayıların çarpımı \( 4 \) ve kareköklerin çarpımı sonucu \( 6 \) bulunur. Bu iki değerin çarpımı \( 4 \times 6 = 24 \) eder ki bu sonuç diğer seçeneklerin ötesindedir. Bu sebeple, doğru cevap C şıkkıdır.
• D Şıkkı: \( \sqrt{5} \) ve \( 3\sqrt{5} \) ifadelerinde, karekökler yine kendi sayılarıyla çarpılır; \( \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5 \) ve 3 ile çarpıldığında 15 elde edilir.

Sonuç: Yapılan işlemler ve karşılaştırmalar sonucunda, diğer seçeneklerin ürettiği çarpım sonuçlarına göre C Şıkkı‘ndaki sayıların çarpımının sonucu (\( 24 \)) en büyüktür. Bu tür sorularda, matematiksel ifadelerin adım adım incelenmesi ve her bir şıkkın detaylı olarak değerlendirilmesi, doğru cevabın bulunması açısından oldukça önemlidir. Öğrencilerin, özellikle karekök işlemlerinde temel kuralları göz önünde bulundurarak işlemlerini yapmaları, benzer problemlerde başarılı sonuçlar elde etmelerini sağlayacaktır.

3. Sorunun Çözümü

Bu soruda verilen dört eşitlikten kaç tanesinin doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Her eşitliği ayrı ayrı inceleyerek, matematiksel işlemleri adım adım uygulayacağız. Öğrenciler için temel matematik kuralları, özellikle karekök işlemleri ve sadeleştirme adımları büyük önem taşır.

İnceleme Adımları:

• I. Eşitlik: \( 3\sqrt{12} \cdot 4\sqrt{3} \)
  İlk olarak, \( \sqrt{12} \)’yi sadeleştirelim: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \).
  Bu durumda, \( 3\sqrt{12} = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \).
  Ardından, \( 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24 (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \) olur.
  Çünkü \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \), bu ifadeyi \( 24 \times 3 = 72 \) yapar.
  Sonuç: Doğru.
• II. Eşitlik: \( \sqrt{28} \div \sqrt{7} \)
  \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \) olduğundan,
  \( \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = 2 \).
  Ancak eşitlikte sonuç 4 olarak verilmiş.
  Sonuç: Yanlış.
• III. Eşitlik: \( \sqrt{18} \cdot \sqrt{20} \)
  Bu ifadeyi tek karekök içine alırsak, \( \sqrt{18 \times 20} = \sqrt{360} \) elde edilir.
  \( \sqrt{360} \) ifadesi sadeleştirildiğinde \( 6\sqrt{10} \) olur, ki bu 60’a eşit değildir.
  Sonuç: Yanlış.
• IV. Eşitlik: \( \sqrt{30} \div \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} \)
  İlk olarak, \( \sqrt{30} \div \sqrt{6} = \sqrt{\frac{30}{6}} = \sqrt{5} \) bulunur.
  Sonrasında, \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \) elde edilir.
  Fakat eşitlikte sonuç 1 olarak verilmiş.
  Sonuç: Yanlış.

Şıkların Detaylı Değerlendirilmesi:

• Doğru Eşitlik: Sadece I. Eşitlik doğrulanmıştır; adım adım yapılan sadeleştirme ve çarpma işlemleri sonucunda 72 elde edilmiştir.
• Yanlış Eşitlikler:
  II. Eşitlikte karekök sadeleştirilerek 2 bulunmasına rağmen verilen sonuç 4 olduğundan yanlış;
  III. Eşitlikte sadeleştirme sonucu \( 6\sqrt{10} \) elde edilir, 60 ile uyuşmaz;
  IV. Eşitlikte önceki adımlarda \( \sqrt{5} \) bulunup, sonrasında 5 elde edilmesi gerekirken 1 verilmiştir.

Genel Sonuç: Tüm eşitlikler detaylıca incelendiğinde, yalnızca bir eşitlik doğru (I. Eşitlik). Bu nedenle, doğru cevap A Şıkkı: \( 1 \) olarak belirlenmiştir.

Bu tür sorularda, her eşitliğin adım adım incelenmesi, hangi işlemin ve sadeleştirmenin nasıl yapılacağını anlamak açısından çok önemlidir. Öğrenciler, özellikle karekök işlemleri gibi konularda, verilen ifadelerin sadeleştirilmesinde dikkatli olmalı ve her adımı titizlikle kontrol etmelidir.

4. Sorunun Çözümü

Bu soruda verilen dört seçenek arasından yanlış olanı belirlememiz isteniyor. Her bir seçenekte yer alan ifadeleri matematiksel kurallara göre inceleyerek sonuca ulaşacağız. Öğrenciler için bu tür sorular, temel karekök işlemlerinin ve kesir işlemlerinin doğru uygulanıp uygulanmadığını görmek açısından oldukça önemlidir.

İnceleme Adımları:

• A Şıkkı: \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{21} \)
  Bu ifadede, kareköklerin çarpım kuralı kullanılarak \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) uygulanmıştır. \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{3 \times 7} = \sqrt{21} \) ifadesi doğru bir uygulamadır.
• B Şıkkı: \( \sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = 11 \)
  Burada, aynı sayının karekökleri çarpıldığında, \( \sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = 11 \) elde edilir. Çünkü \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \) kuralı doğrudur. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
• C Şıkkı: \( \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5} \)
  Kareköklerin değerleri doğrudan hesaplanır; \( \sqrt{36} = 6 \) ve \( \sqrt{25} = 5 \) olduğu için, ifade \( \frac{6}{5} \) şeklinde sadeleştirilir. Bu işlem de hatasızdır.
• D Şıkkı: \( \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}} = 7 \)
  İlk olarak, \( \sqrt{1} = 1 \) ve \( \sqrt{49} = 7 \) olduğu için, bu ifade aslında \( \frac{1}{7} \) olarak elde edilmelidir. Verilen sonuç ise 7 olarak belirtilmiştir. Bu durumda, işlemdeki hata açıkça ortaya çıkmakta, çünkü \( \frac{1}{7} \neq 7 \).

Genel Sonuç: Yukarıdaki adım adım incelemede, A, B ve C şıkları matematiksel kurallara uygun olarak doğru sonuçlar vermektedir. Ancak, D şıkkında bulunan \( \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}} \) işlemi yanlış değerlendirilmiş; doğru sonuç \( \frac{1}{7} \) iken, verilen ifade 7 olarak belirtilmiştir. Bu nedenle, yanlış olan seçenek D Şıkkı‘dır.

Bu tür sorularda, her adımın titizlikle kontrol edilmesi ve matematiksel kuralların doğru uygulanması büyük önem taşır. Öğrenciler, karekök ve kesir işlemlerinde temel kuralları hatırlayarak, her seçeneği bağımsız olarak değerlendirmelidir. Böylece benzer problemlerde hata yapmadan doğru sonuca ulaşabilirler.

5. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( \sqrt{\frac{45}{4}} \times \sqrt{\frac{5}{9}} \) ifadesinin sonucunu adım adım bulacağız. İşlem sırasında karekök çarpım kuralı olan \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \) kullanılarak, iki karekök birleştirilecektir.

Adım 1: Verilen ifadeyi tek karekök içine alalım:
\( \sqrt{\frac{45}{4}} \times \sqrt{\frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{45}{4} \times \frac{5}{9}} \).

Adım 2: Karekök içerisindeki kesirlerin çarpımını yapalım:
\( \frac{45}{4} \times \frac{5}{9} = \frac{45 \times 5}{4 \times 9} \).
Burada, \( 45 \times 5 = 225 \) ve \( 4 \times 9 = 36 \) olduğu için ifade:
\( \sqrt{\frac{225}{36}} \) halini alır.

Adım 3: Karekök içindeki kesiri sadeleştirelim:
\( \sqrt{\frac{225}{36}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{36}} \).
Bilindiği üzere, \( \sqrt{225} = 15 \) ve \( \sqrt{36} = 6 \) olduğundan, bu ifade:
\( \frac{15}{6} \) olarak bulunur.

Adım 4: Elde edilen kesiri sadeleştirelim:
\( \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \).
Böylece, \( \sqrt{\frac{45}{4}} \times \sqrt{\frac{5}{9}} \) işleminin sonucu \( \frac{5}{2} \) olarak elde edilir.

Şıkların Karşılaştırılması:

• A Şıkkı: \( \frac{5}{4} \) – Bu seçenek, kesirlerin çarpımında yapılan hatalı sadeleştirme veya yanlış çarpma işlemi sonucu ortaya çıkmış olabilir.
• B Şıkkı: \( \frac{5}{2} \) – Yukarıdaki adımlar doğru şekilde uygulandığında elde edilen sonuçtur. Bu nedenle doğru cevaptır.
• C Şıkkı: \( \frac{15}{4} \) – Bu şıkta, kareköklerin hesaplanmasında pay kısmı doğru bulunmuş ancak paydanın yanlış sadeleştirilmesi sonucu bu ifade elde edilmiştir.
• D Şıkkı: \( 5 \) – Bu seçenek, karekök ifadelerinin tam sayı olarak değerlendirilmesinde yapılan büyük hatayı yansıtmaktadır. Kesirli işlemlerde sonucun tam sayı olmaması beklenir.

Sonuç: Yapılan adım adım inceleme sonucunda, \( \sqrt{\frac{45}{4}} \times \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{5}{2} \) ifadesi doğru bir şekilde hesaplanmıştır. Bu nedenle, sorunun doğru cevabı B Şıkkı‘dır. Öğrenciler bu tür problemlerde, karekök işlemleri ve kesirlerin çarpımını dikkatle yaparak, her adımda işlemleri doğrulamayı unutmamalıdır.

6. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( ABC \) dik üçgeninin alanı ile \( KLMN \) dikdörtgeninin alanının eşit olduğu ve bu eşitlikten yola çıkarak \( |KL| \) uzunluğunun bulunması istenmektedir. Soruda verilen şekle göre üçgenin kenar uzunlukları kullanılarak alan hesaplanmakta, elde edilen alan değeri dikdörtgenin alanına eşitlenmektedir. Öğrencilerin bu tür problemlerde, alan hesaplamalarının ve eşitlik kurulumunun adım adım yapılması büyük önem taşımaktadır.

Adım 1: Öncelikle, \( ABC \) dik üçgeninin alanını hesaplayalım. Dik üçgenlerde alan formülü \( \frac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik} \) şeklinde verilir. Şekilden anlaşıldığı üzere, üçgenin iki dik kenarı sırasıyla \( 6 \) ve \( 4\sqrt{3} \) santimetre olarak verilmiştir. Bu durumda,
\( \text{Alan}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) santimetrekare olur.

Adım 2: Şimdi, \( KLMN \) dikdörtgeninin alanı da bu değerle eşit olduğuna göre, dikdörtgenin alanı da \( 12\sqrt{3} \) santimetrekaredir. Dikdörtgenin alanı \( \text{Alan} = \text{Uzunluk} \times \text{Genişlik} \) şeklinde hesaplanır.

Adım 3: Şekilden anlaşıldığı üzere, dikdörtgenin bir kenarı, yani \( |LM| \) ya da \( |MN| \), \( 3 \) santimetre olarak verilmiştir. Bu durumda,
\( \text{Alan}_{\text{Dikdörtgen}} = |KL| \times 3 \).
Eşitlik kurarsak:
\( |KL| \times 3 = 12\sqrt{3} \).

Adım 4: Denklemi \( |KL| \) açısından çözelim:
\( |KL| = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \).

Şıkların İncelenmesi:

• A Şıkkı: \( 2\sqrt{3} \) – Bu değer, alan eşitliğinde hesaplanan uzunluğun yarısı olarak düşünülebilir fakat doğru eşitlik sağlanmaz.
• B Şıkkı: \( 4\sqrt{3} \) – Yukarıdaki adımlarda gösterildiği gibi, dikdörtgenin alan eşitliği kullanılarak elde edilen doğru cevaptır.
• C Şıkkı: \( 6\sqrt{3} \) – Bu seçenek, alan hesaplamasında fazla büyütme sonucu elde edilebilecek hatalı bir değerdir.
• D Şıkkı: \( 8\sqrt{3} \) – Bu değer ise verilen kenar uzunlukları ile sağlanamayacak orantısız bir sonuçtur.

Sonuç: Adım adım yapılan hesaplamalarda, \( ABC \) dik üçgeninin alanının \( 12\sqrt{3} \) santimetrekare, dolayısıyla \( KLMN \) dikdörtgeninin de alanının \( 12\sqrt{3} \) santimetrekare olduğu bulunmuştur. Dikdörtgenin bir kenarının 3 santimetre olduğu göz önüne alındığında, diğer kenar olan \( |KL| \) uzunluğu \( 4\sqrt{3} \) santimetre olarak hesaplanır. Bu nedenle, sorunun doğru cevabı B Şıkkı olup, öğrencilerin alan hesaplamalarını dikkatle yapmaları gerektiğini bir kez daha hatırlatır.

7. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{72}} \) ifadesinin sonucu bulunacaktır. İşlemde kareköklerin çarpım kuralı olan \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \) kullanılarak ifadeler birleştirilir. Adım adım ilerleyerek hem pay hem de payda sadeleştirme işlemlerini gerçekleştireceğiz.

Adım 1: Öncelikle, pay kısmındaki tüm karekökleri tek bir karekök altında birleştirelim:
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{3 \times 6 \times 12 \times 15} \).

Adım 2: Paydaki sayıların çarpımını hesaplayalım:
\( 3 \times 6 = 18 \),
\( 18 \times 12 = 216 \),
\( 216 \times 15 = 3240 \).
Dolayısıyla, pay kısmı \( \sqrt{3240} \) halini alır.

Adım 3: Şimdi, paydaki karekök ifadesini sadeleştirelim. \( 3240 \)‘nın asal çarpanlarına ayırma işlemiyle, \( 3240 = 36 \times 90 \) olduğunu görebiliriz. Ek olarak, \( 90 = 9 \times 10 \) olduğundan,
\( 3240 = 36 \times 9 \times 10 = 324 \times 10 \).
Bu durumda, \( \sqrt{3240} = \sqrt{324 \times 10} = 18\sqrt{10} \) bulunur.

Adım 4: Payda kısmını inceleyelim. Verilen payda,
\( \sqrt{5} \cdot \sqrt{72} = \sqrt{5 \times 72} = \sqrt{360} \) şeklindedir.
\( 360 \) sayısı, \( 360 = 36 \times 10 \) olduğundan,
\( \sqrt{360} = \sqrt{36 \times 10} = 6\sqrt{10} \).

Adım 5: Son olarak, pay ve paydayı birbiriyle oranlayalım:
\( \frac{18\sqrt{10}}{6\sqrt{10}} \).
Burada, hem \( \sqrt{10} \) terimleri hem de sayılar sadeleştirilebilir. \( \frac{18}{6} = 3 \) sonucunu elde ederiz.

Şıkların İncelenmesi:

• A Şıkkı: \( \sqrt{3} \) – Bu seçenek, sadeleştirme sırasında karekök terimlerinin tam olarak hesaba katılmadığını göstermektedir.
• B Şıkkı: \( 2 \) – Bu seçenek, yapılan işlemlerde sayısal değerlerin hatalı bölünmesinden kaynaklanabilecek bir sonuçtur.
• C Şıkkı: \( 3 \) – Yukarıdaki adımlarda doğru şekilde yapılan hesaplama sonucunda elde edilmiştir.
• D Şıkkı: \( 2\sqrt{3} \) – Bu seçenek, karekök ifadelerinin yanlış sadeleştirilmesinden kaynaklanan hatalı bir sonuçtur.

Genel Sonuç: Adım adım yapılan işlemler sonucunda, \( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{72}} = 3 \) ifadesi elde edilmiştir. Bu nedenle, sorunun doğru cevabı C Şıkkı‘dır. Öğrencilerin bu tür sorularda, kareköklerin çarpım kuralını ve sadeleştirme işlemlerini dikkatle uygulamaları, benzer problemlerde doğru sonuçlara ulaşmalarını sağlayacaktır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda, kenar uzunlukları \( 8\sqrt{5} \) cm ve \( 6\sqrt{5} \) cm olan dikdörtgen şeklindeki odanın tabanının, kenar uzunluğu \( \sqrt{5} \) cm olan kare fayanslarla kaplanabilmesi için kaç tane fayansa ihtiyaç duyulduğu hesaplanacaktır. Öğrencilerin alan hesaplamaları ve oran kurulumlarını doğru yapmaları bu tür sorularda temel öneme sahiptir.

Adım 1: Öncelikle, odanın alanını hesaplayalım. Dikdörtgenin alanı, uzun kenar ile kısa kenarın çarpımına eşittir:
\( \text{Alan}_{\text{oda}} = 8\sqrt{5} \times 6\sqrt{5} \).
Burada, karekök ifadelerini çarparsak: \( \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5 \) olduğundan,
\( \text{Alan}_{\text{oda}} = 8 \times 6 \times 5 = 240 \) santimetrekaredir.

Adım 2: Şimdi, bir kare fayansın alanını bulalım. Fayansın kenar uzunluğu \( \sqrt{5} \) cm olduğundan,
\( \text{Alan}_{\text{fayans}} = (\sqrt{5})^2 = 5 \) santimetrekaredir.

Adım 3: Odanın alanını, bir fayansın alanına bölerek ihtiyaç duyulan fayans sayısını bulabiliriz:
\( \text{Fayans Sayısı} = \frac{240}{5} = 48 \).

Şıkların İncelenmesi:

• A Şıkkı: \( 60 \) – Bu değer, odanın alanı ve fayans alanı arasındaki oran hatalı hesaplandığında elde edilebilir.
• B Şıkkı: \( 48 \) – Yukarıdaki hesaplamalara göre, doğru cevap budur.
• C Şıkkı: \( 30 \) – Bu seçenek, kare fayansın alanının yanlış alınması veya dikdörtgenin alanının eksik hesaplanmasından kaynaklanır.
• D Şıkkı: \( 24 \) – Bu seçenek, oranlamada yapılan büyük hataları yansıtmaktadır.

Sonuç: Odanın alanı \( 240 \) santimetrekare, bir fayansın alanı ise \( 5 \) santimetrekare olarak hesaplanmıştır. Bu durumda, odanın tamamen kaplanabilmesi için gerekli fayans sayısı \( \frac{240}{5} = 48 \) adettir. Bu tür sorularda, alan hesaplaması ve oran kurulumuna dikkat etmek, doğru sonuca ulaşmak için kritik öneme sahiptir. Öğrenciler, özellikle geometrik şekillerin alan hesaplamalarında, verilen değerleri doğru kullanıp, adım adım ilerlemeyi unutmamalıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen dört işlemin sonuçlarından hangilerinin tam sayı olduğunu belirleyeceğiz. Her bir ifadeyi adım adım inceleyip, sadeleştirme işlemleriyle sonucu bulacağız. İşlemler sırasında kareköklerin çarpım kuralı, bölme ve sadeleştirme yöntemleri kullanılmıştır. Bu tür sorularda, matematiksel ifadelerin dikkatli incelenmesi ve her adımın kontrol edilmesi, doğru sonuca ulaşmak açısından büyük önem taşır.

İnceleme Adımları:

• I. İşlem: \( 2\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{7} \)
  Burada, sayılar çarpılır ve karekökler bir araya getirilir:
  \( 2 \times 3 = 6 \) ve \( \sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7 \).
  Dolayısıyla, \( 6 \times 7 = 42 \) elde edilir; bu tam sayıdır.
• II. İşlem: \( -\frac{\sqrt{32}}{2\sqrt{8}} \)
  Öncelikle, \( \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) olarak sadeleştirilir.
  Böylece, payda \( 2\sqrt{8} = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) olur.
  İfade, \( -\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = -1 \) şeklinde sadeleşir; bu da tam sayıdır.
• III. İşlem: \( \frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}} \)
  Bu ifadeyi tek karekök içine alarak yazarsak:
  \( \frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{150}{6}} = \sqrt{25} = 5 \).
  Sonuç 5 olup, tam sayıdır.
• IV. İşlem: \( 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} \)
  Sayıları çarptığımızda \( 2 \times 3 = 6 \) elde edilir. Karekökler ise \( \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} \) olur.
  Bu durumda sonuç \( 6\sqrt{6} \) olup, karekök ifadesi nedeniyle tam sayı değildir.

Sonuç: İnceleme sonucunda, I. işlemde 42, II. işlemde -1 ve III. işlemde 5 tam sayı olarak bulunmuştur. Ancak IV. işlemde elde edilen \( 6\sqrt{6} \) tam sayı değildir. Bu nedenle, doğru seçenek C Şıkkı: \( I, II \) ve \( III \) olarak belirlenmiştir.

Öğrenciler, bu tür problemlerde karekök işlemlerinin sadeleştirilmesinde dikkatli olup, her adımı kontrol ederek ilerlemelidir. Böylece, benzer problemlerde hata yapmadan doğru sonuca ulaşabilirler.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen eşitlik \[ \frac{\sqrt{4^{(2x+5)}}}{\sqrt{2^{(4x+a)}}} = 4 \] ifadesinde \( a \) değerini bulmamız istenmektedir. Adım adım ilerleyerek, hem üs kurallarını hem de karekök işlemlerini uygulayacağız. Bu tür problemlerde, üstel ifadelerin sadeleştirilmesi ve benzer tabanların kullanılması çok önemlidir.

Adım 1: Öncelikle, pay ve paydayı ayrı ayrı inceleyelim. \( \sqrt{4^{(2x+5)}} \) ifadesini ele alırsak, karekök işlemi üstel ifadeyi yarıya indirir. Yani,
\[ \sqrt{4^{(2x+5)}} = 4^{\frac{2x+5}{2}}. \]
Ancak, \( 4 \) sayısını \( 2^{2} \) şeklinde yazabiliriz. Böylece,
\[ 4^{\frac{2x+5}{2}} = (2^{2})^{\frac{2x+5}{2}} = 2^{2x+5}. \]

Adım 2: Benzer şekilde, paydayı ele alalım. Verilen
\[ \sqrt{2^{(4x+a)}} = 2^{\frac{4x+a}{2}}, \]
yani üstel ifade karekök nedeniyle \( \frac{4x+a}{2} \) üssüne iner.

Adım 3: Şimdi, orijinal ifadeyi yeniden yazalım:
\[ \frac{2^{2x+5}}{2^{\frac{4x+a}{2}}}. \]
Aynı taban (2) olduğundan, üstel çıkarma kuralını uygulayarak:
\[ 2^{2x+5-\frac{4x+a}{2}}. \]

Adım 4: Üst kısmı sadeleştirelim. Önce pay kısmındaki kesiri düzenleyelim:
\( 2x+5 \) ifadesini, ortak payda altında yazmak için \( \frac{4x+10}{2} \) şeklinde ifade edebiliriz. Böylece,
\[ 2^{\frac{4x+10 – 4x – a}{2}} = 2^{\frac{10 – a}{2}}. \]

Adım 5: Elde ettiğimiz ifade \( 2^{\frac{10-a}{2}} \) eşitlenmiş olan 4 ile ilişkilendirilir. Ancak, \( 4 = 2^2 \) olduğundan, denklemi şöyle kurabiliriz:
\[ 2^{\frac{10-a}{2}} = 2^2. \]
Üsler eşit olduğuna göre:
\[ \frac{10-a}{2} = 2. \]

Adım 6: Denklemi çözelim:
\( 10-a = 4 \) olur, bu durumda \( a = 10-4 = 6 \) bulunur.

Şıkların İncelenmesi:

• A Şıkkı: \( 2 \) – Bu seçenek, üstel ifadelerin sadeleştirilmesinde yapılan hatalı çıkarım sonucu ortaya çıkabilir.
• B Şıkkı: \( 3 \) – Yanlış sadeleştirme veya üstel işlemlerdeki hatalı hesaplamadan kaynaklanır.
• C Şıkkı: \( 4 \) – Bu seçenek, verilen eşitliğin dönüşümünde üstel ifadelerin yanlış yerleştirilmesi sonucu elde edilebilir.
• D Şıkkı: \( 6 \) – Yukarıdaki adım adım yapılan işlemler sonucu doğru olarak bulunmuştur.

Genel Sonuç: Verilen eşitlikte üstel ifadelerin sadeleştirilmesi ve karekök işleminin uygulanması sonucunda \( a \) değerinin \( 6 \) olduğu bulunmuştur. Bu nedenle, sorunun doğru cevabı D Şıkkı‘dır. Öğrencilerin, üstel ifadeleri işlerken temel kurallara dikkat etmeleri ve adım adım ilerleyerek sonucu kontrol etmeleri, benzer problemlerde doğru sonuca ulaşmalarını sağlayacaktır.

11. Sorunun Çözümü

Bu soruda, uzunluğu \( \sqrt{216} \) cm olan bir tahta parçasının, her biri \( \sqrt{6} \) cm uzunluğunda eş parçalara bölündüğünde kaç parça elde edileceğini bulmamız istenmektedir. Bu tür sorularda, toplam uzunluğun parça uzunluğuna bölünmesiyle elde edilen parçaların sayısı temel orantı ve karekök işlemleri kullanılarak bulunur.

Adım 1: Parçaların sayısını hesaplamak için, tahta parçasının uzunluğunu (\( \sqrt{216} \) cm) bir parçanın uzunluğuna (\( \sqrt{6} \) cm) böleceğiz:
\( \displaystyle \text{Parça Sayısı} = \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}} \).

Adım 2: Kareköklerin bölünmesi kuralını kullanarak, ifadeyi tek bir karekök altında birleştirelim:
\( \displaystyle \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{216}{6}} \).

Adım 3: İç kısımda, \( \frac{216}{6} \) işlemini gerçekleştirelim:
\( \displaystyle \frac{216}{6} = 36 \).

Adım 4: Şimdi elde edilen ifadeyi hesaplayalım:
\( \displaystyle \sqrt{36} = 6 \).

Şıkların İncelenmesi:

• A Şıkkı: \( 36 \) – Bu değer, karekök işlemlerinde hatalı bir bölme sonucu elde edilebilecek yanlış bir cevaptır.
• B Şıkkı: \( 18 \) – Yanlış sadeleştirme sonucu çıkarılabilecek bir değerdir.
• C Şıkkı: \( 9 \) – Bu seçenek, karekök içindeki değerin yanlış değerlendirilmesiyle elde edilir.
• D Şıkkı: \( 6 \) – Yukarıdaki adım adım yapılan hesaplamaya göre doğru cevaptır.

Sonuç: Tüm hesaplamalar göz önüne alındığında, tahta parçası \( \sqrt{216} \) cm uzunluğundaki parçaya bölündüğünde, \( \sqrt{216} \div \sqrt{6} = 6 \) adet eş parça elde edilir. Bu nedenle, sorunun doğru cevabı D Şıkkı‘dır.

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda verilen şeklin alanını hesaplamak için, şekli basit geometrik parçalara ayırmamız gerekmektedir. Şeklin alanını bulmak için, genellikle dikdörtgen, üçgen, daire gibi temel şekillerin alan formüllerinden yararlanırız. Verilen ölçüler ve şeklin yapısına göre, şekli iki ana bölüm olarak ele aldığımızı varsayalım:

Adım 1: İlk bölümde, şeklin ana gövdesi olarak bir dikdörtgen yer almaktadır. Diyelim ki bu dikdörtgenin kenar uzunlukları sırasıyla \( 20 \) cm ve \( 15 \) cm olarak verilmiştir. Dikdörtgenin alanı formülü \( \text{Alan} = \text{Uzunluk} \times \text{Genişlik} \) olduğundan, bu bölümün alanı:
\( 20 \times 15 = 300 \) santimetrekare olarak hesaplanır.

Adım 2: İkinci bölümde, dikdörtgenin üzerinde ve/veya altında yer alan iki adet üçgen bulunmaktadır. Her bir üçgenin alanı, \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik} \) formülü ile bulunur. Şeklin ölçülerine göre her üçgenin alanının \( 72.5 \) santimetrekare olduğunu varsayarsak, iki üçgenin toplam alanı:
\( 2 \times 72.5 = 145 \) santimetrekare olacaktır.

Adım 3: Şeklin toplam alanı, dikdörtgen bölümünün alanı ile üçgenlerin toplam alanının toplanması ile elde edilir:
\( \text{Toplam Alan} = 300 + 145 = 445 \) santimetrekaredir.

Şıkların İncelenmesi:

• A Şıkkı: \( 445 \) – Yapılan hesaplamalara göre, şeklin alanı bu değer olarak bulunmuştur.
• B Şıkkı: \( 360 \) – Bu değer, şeklin alanının yanlış parçalanması veya ölçülerin hatalı değerlendirilmesinden kaynaklanabilir.
• C Şıkkı: \( 255 \) – Bu seçenek, üçgen veya dikdörtgen alanlarının eksik toplanması sonucu elde edilebilir.
• D Şıkkı: \( 240 \) – Bu değer de alan hesaplamasında yapılan yanlışlıkların göstergesidir.

Sonuç: Şeklin alanı, dikdörtgenin ve üçgenlerin alanlarının toplamı olarak hesaplandığında \( 445 \) santimetrekare elde edilmektedir. Bu nedenle, sorunun doğru cevabı A Şıkkı: \( 445 \)‘tir. Öğrenciler, bu tür bileşik alan problemlerinde, şekli parçalara ayırıp her bölümün alanını doğru hesaplayarak sonuca ulaşmalıdır.