Belediye, yukarıda planı verilen kare şeklindeki hobi bahçesinin etrafına güvenlik amacıyla bir sıra tel örgü çekecektir. Bahçenin alanı \(75 \text{ m}^2\)’dir.
Buna göre, kullanılacak tel örgünün toplam uzunluğu metre cinsinden hangi ardışık iki tam sayı arasındadır?
- \(32 – 33\) m
- \(34 – 35\) m
- \(36 – 37\) m
- \(38 – 39\) m
Çözüm
Adım 1: Bir Kenar Uzunluğunu Bulma
Karenin alanı \(75 \text{ m}^2\) ise, bir kenar uzunluğu bu sayının kareköküdür:
$$ a = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \text{ m} $$Adım 2: Çevre Uzunluğunu Hesaplama
Bahçenin çevresi (4 kenar toplamı):
$$ \text{Çevre} = 4 \cdot a = 4 \cdot 5\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ m} $$Adım 3: Tahmin Etme
Sıralama için katsayıyı kök içine alalım:
$$ 20\sqrt{3} = \sqrt{20^2 \cdot 3} = \sqrt{400 \cdot 3} = \sqrt{1200} $$\(\sqrt{1200}\)’e en yakın tam kare sayılar:
$$ 34^2 = 1156 \quad \text{ve} \quad 35^2 = 1225 $$Buradan:
$$ \sqrt{1156} < \sqrt{1200} < \sqrt{1225} $$ $$ 34 < \text{Çevre} < 35 $$Tel örgünün uzunluğu \(34\) metre ile \(35\) metre arasındadır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bilgisayarındaki bilimsel hesap makinesi uygulamasını açan Kerem, ekrana \(295\) sayısını yazıp karekök alma \( (\sqrt{\cdot}) \) tuşuna basıyor.
Buna göre, ekranda beliren ondalık gösterimin virgülden önceki kısmı (tam kısmı) aşağıdakilerden hangisidir?
- \(16\)
- \(17\)
- \(18\)
- \(19\)
Çözüm
\(295\) sayısına en yakın tam kare sayıları belirleyelim:
$$ 17^2 = 289 \quad \text{ve} \quad 18^2 = 324 $$Bu değerleri sıraladığımızda:
$$ \sqrt{289} < \sqrt{295} < \sqrt{324} $$ $$ 17 < \sqrt{295} < 18 $$Sayı \(17\) ile \(18\) arasında olduğu için, ondalık gösterimi \(17,…\) şeklinde başlar. Dolayısıyla tam kısmı \(17\)’dir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir dondurucunun dijital göstergesi iç sıcaklığı \(-\sqrt{72}\) °C olarak göstermektedir.
Buna göre sıcaklık değeri (°C) hangi ardışık tam sayılar arasındadır?
- \(-7\) ile \(-8\)
- \(-8\) ile \(-9\)
- \(-9\) ile \(-10\)
- \(-6\) ile \(-7\)
Çözüm
\(72\) sayısı tam kare olan \(64\) ile \(81\) arasındadır. Yani pozitif olsaydı \(8\) ile \(9\) arasında olurdu:
$$ \sqrt{64} < \sqrt{72} < \sqrt{81} \implies 8 < \sqrt{72} < 9 $$Sayı negatif olduğu için eşitsizlik yön değiştirir:
$$ -9 < -\sqrt{72} < -8 $$Sıcaklık \(-8\) ile \(-9\) arasındadır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Uzunluğu \(\sqrt{800}\) cm olan bir rafa, alanları \(8\), \(18\) ve \(50 \text{ cm}^2\) olan kare kutular boşluksuz dizilmiştir.
Kalan boş kısmın uzunluğu (cm) aşağıdakilerden hangisidir?
- \(\sqrt{50}\)
- \(\sqrt{98}\)
- \(\sqrt{128}\)
- \(\sqrt{200}\)
Çözüm
Rafın uzunluğu ve kutuların bir kenar uzunluklarını \(a\sqrt{b}\) formatına çevirelim:
$$ \text{Raf: } \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \text{ cm} $$Kutuların kenarları sırasıyla \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) ve \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) cm’dir. Toplam dolu kısım:
$$ 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \text{ cm} $$Rafın tamamından dolu kısmı çıkarırsak:
$$ 20\sqrt{2} – 10\sqrt{2} = 10\sqrt{2} = \sqrt{200} \text{ cm} $$Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir spor kompleksinde, zemin yenileme çalışması yapılan kare şeklindeki antrenman alanının etrafına güvenlik amacıyla bir sıra emniyet şeridi çekilecektir. Alanın büyüklüğü \(72 \text{ m}^2\)’dir.
Buna göre, kullanılacak emniyet şeridinin toplam uzunluğu metre cinsinden hangi ardışık iki tam sayı arasındadır?
- \(32 – 33\) m
- \(33 – 34\) m
- \(34 – 35\) m
- \(35 – 36\) m
Çözüm
1. Kenar Uzunluğu: Karenin alanı \(72 \text{ m}^2\) ise bir kenarı:
$$ a = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \text{ m} $$2. Çevre (Şerit) Uzunluğu:
$$ \text{Çevre} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \text{ m} $$3. Tahmin Aralığı: Katsayıyı kök içine alarak tam kare sayılarla kıyaslayalım:
$$ 24\sqrt{2} = \sqrt{24^2 \cdot 2} = \sqrt{576 \cdot 2} = \sqrt{1152} $$\(33^2 = 1089\) ve \(34^2 = 1156\) olduğundan:
$$ \sqrt{1089} < \sqrt{1152} < \sqrt{1156} $$ $$ 33 < \text{Şerit Uzunluğu} < 34 $$Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir mobilya atölyesinde kesilen özel bir ahşap çubuğun uzunluğu \(6\sqrt{3}\) cm’dir.
Buna göre, bu ahşap çubuğun uzunluğu sayı doğrusunda hangi iki tam sayı arasındadır?
- \(9\) ile \(10\)
- \(10\) ile \(11\)
- \(11\) ile \(12\)
- \(12\) ile \(13\)
Çözüm
Uzunluğu tam sayılarla kıyaslamak için ifadeyi kök içine alalım:
$$ 6\sqrt{3} = \sqrt{6^2 \cdot 3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108} $$\(\sqrt{108}\) sayısının hangi tam kareler arasında olduğuna bakalım:
$$ \sqrt{100} < \sqrt{108} < \sqrt{121} $$ $$ 10 < \sqrt{108} < 11 $$Çubuk \(10 \text{ cm}\) ile \(11 \text{ cm}\) arasındadır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Yukarıdaki dijital panolardaki sayıların karekökü alındığında; sonuç tam sayı ise sadece o sayı, irrasyonel ise ekran kapasitesi kadar basamak görünmektedir.
Buna göre, hangi panodaki rakam sayısı diğerlerinden fazladır?
- A
- B
- C
- D
Çözüm
Ekranda çok sayı görünmesi için sonucun irrasyonel (tam kare olmayan) olması gerekir. Tam kare sayıların karekökü tam sayıdır ve ekranı doldurmaz.
$$ \text{A) } \sqrt{576} = 24 \quad (\text{Tam sayı}) $$ $$ \text{B) } \sqrt{484} = 22 \quad (\text{Tam sayı}) $$ $$ \text{D) } \sqrt{361} = 19 \quad (\text{Tam sayı}) $$C seçeneğindeki \(350\) sayısı tam kare değildir (\(18^2=324\), \(19^2=361\)). Bu nedenle \(\sqrt{350}\) irrasyoneldir ve ekranı doldurur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir mimar, elindeki \(65\)’ten fazla eş kare taşı kullanarak, hiç boşluk kalmayacak ve taş artmayacak şekilde karesel bir zemin oluşturuyor.
Buna göre, mimarın elinde en az kaç taş vardır?
- \(72\)
- \(81\)
- \(100\)
- \(121\)
Çözüm
Eş karelerle büyük bir kare oluşturabilmek için toplam taş sayısı “tam kare” olmalıdır. \(65\)’ten büyük en küçük tam kare sayıyı bulmalıyız:
$$ 8^2 = 64 \quad (\text{65’ten küçük}) $$ $$ 9^2 = 81 \quad (\text{65’ten büyük en küçük}) $$Bu şarta uyan en küçük sayı \(81\)’dir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Matematik öğretmeni Zeynep Hanım, tahtaya \(n\) sayısının bir tek doğal sayı olduğunu yazmıştır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle bir tam kare doğal sayıdır?
- \(2^{3n}\)
- \(3^{n+4}\)
- \(5^{n-1}\)
- \(6^{2n+1}\)
- A) \(3n \rightarrow T \cdot T = \text{Tek}\) (Tam kare değil)
- B) \(n+4 \rightarrow T + \text{Çift} = \text{Tek}\) (Tam kare değil)
- C) \(n-1 \rightarrow T – T = \mathbf{\text{Çift}}\). Üs çift olduğu için \(5^{2k} = (5^k)^2\) tam karedir.
- D) \(2n+1 \rightarrow \text{Çift} + T = \text{Tek}\) (Tam kare değil)
Çözüm
Bir üslü ifadenin tam kare olabilmesi için, taban asal ise üssün (kuvvetin) çift sayı olması gerekir. \(n\) tek sayı (T) kabul edilirse:
Doğru cevap C seçeneğidir.
\(A\) bir doğal sayı olmak üzere, bir yazılım algoritması şu iki koşulu sağlamaktadır:
1. \(\sqrt{A-8}\) değerinin en yakın olduğu tam sayı \(6\)’dır.
2. \(\sqrt{A+7}\) değerinin en yakın olduğu tam sayı \(8\)’dir.
Buna göre, \(A\) sayısının alabileceği değer aşağıdakilerden hangisidir?
- \(48\)
- \(49\)
- \(50\)
- \(51\)
Çözüm
Bir kareköklü ifadenin en yakın tam sayı değeri \(x\) ise, sayı \(x-0,5\) ile \(x+0,5\) arasındadır.
1. Koşul (\(\approx 6\)):
$$ 5,5 < \sqrt{A-8} < 6,5 \implies 30,25 < A-8 < 42,25 $$ $$ 38,25 < A < 50,25 \implies A \in \{39, \dots, 50\} $$2. Koşul (\(\approx 8\)):
$$ 7,5 < \sqrt{A+7} < 8,5 \implies 56,25 < A+7 < 72,25 $$ $$ 49,25 < A < 65,25 \implies A \in \{50, \dots, 65\} $$Her iki kümede ortak olan tek tam sayı 50‘dir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir sitedeki posta kutuları bloklara göre numaralandırılmıştır. Site yönetimi, kutu numarası tam kare doğal sayı olan dairelere özel bir davetiye bırakmıştır.
Buna göre, hangi bloktaki kutuların hiçbirinde davetiye YOKTUR?
- A Bloğu (30 – 40)
- B Bloğu (40 – 50)
- C Bloğu (50 – 60)
- D Bloğu (60 – 70)
Çözüm
Bloklardaki numara aralıklarında tam kare sayı olup olmadığına bakalım:
- A (30-40): \(6^2 = 36\) bu aralıktadır. (Davetiye var)
- B (40-50): \(7^2 = 49\) bu aralıktadır. (Davetiye var)
- C (50-60): \(7^2=49\) küçük, \(8^2=64\) büyüktür. Bu aralıkta tam kare sayı yoktur.
- D (60-70): \(8^2 = 64\) bu aralıktadır. (Davetiye var)
Doğru cevap C seçeneğidir.
Yukarıda alanları verilen üç adet kare şeklindeki metal levha, tabanları doğrusal olacak şekilde yan yana dizilmiştir.
Buna göre, bu levhaların taban uzunluklarının toplamı santimetre cinsinden aşağıdakilerden hangisidir?
- \(\sqrt{108}\)
- \(\sqrt{192}\)
- \(\sqrt{300}\)
- \(\sqrt{432}\)
Çözüm
Karenin bir kenarı \(\sqrt{\text{Alan}}\) formülü ile bulunur. Levhaların kenar uzunluklarını \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım:
$$ \sqrt{12} + \sqrt{27} + \sqrt{75} $$ $$ = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} $$ $$ = (2+3+5)\sqrt{3} = 10\sqrt{3} $$Sonucu kök içine alarak şıklarla eşleştirelim:
$$ 10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300} $$Doğru cevap C seçeneğidir.