6. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( \sqrt{a} \) sayısının rasyonel olabilmesi için \( a \) sayısının hangi durumda olamayacağı sorgulanmaktadır. Matematiksel temel prensiplerden biri, bir sayının karekökünün rasyonel olabilmesi için o sayının tam kare olması gerektiğidir. Yani, \( a \) sayısı, bir tam sayının karesi şeklinde ifade edilebilmelidir.

Şıklara yakından bakalım:

• A şıkkı: \( 1 \)
  \( 1 \) sayısı \( 1^2 \) olarak yazılabilir, dolayısıyla \( \sqrt{1} = 1 \) rasyonel bir sayıdır.
• B şıkkı: \( 9 \)
  \( 9 \) sayısı \( 3^2 \) şeklinde ifade edilebilir, bu durumda \( \sqrt{9} = 3 \) olup rasyonel bir sayıdır.
• C şıkkı: \( 72 \)
  \( 72 \) sayısı, tam kare bir sayı değildir. Herhangi bir tam sayının karesi \( 72 \) değildir. Bu nedenle, \( \sqrt{72} \) ifadesi, önce \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \) şeklinde sadeleştirilir. Burada \( \sqrt{2} \) irrasyonel olduğu için, \( 6\sqrt{2} \) da irrasyonel olur.
• D şıkkı: \( 144 \)
  \( 144 \) sayısı \( 12^2 \) olarak yazılabilir, dolayısıyla \( \sqrt{144} = 12 \) rasyonel bir sayıdır.

Sonuç: Yukarıdaki açıklamalardan anlaşılacağı üzere, \( \sqrt{a} \) ifadesinin rasyonel olması için \( a \) sayısı tam kare olmak zorundadır. Verilen seçenekler arasında yalnızca C şıkkı \( 72 \), tam kare olmadığından, \( \sqrt{72} \) irrasyonel olur. Bu sebeple, \( a \) sayısı \( 72 \) olamaz.

Bu çözümde, her bir şıkkın matematiksel özelliği ve tam kare olma durumu detaylıca incelenmiştir. Öğrenciler, tam kare olmayan sayıların kareköklerinin neden irrasyonel olduğunu anlamalı ve benzer sorularda, verilen sayıların tam kare olup olmadığını kontrol ederek doğru sonuca ulaşmalıdır. Matematikte temel kavramları anlamak, soruların çözümünde adım adım ilerlemek açısından büyük önem taşımaktadır.

7. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \(0.0\overline{x}\) devirli ondalık gösteriminin \( \frac{1}{15} \) eşit olduğu bilgisi verilmiş olup, burada \(x\)‘in hangi rakamı temsil ettiğini bulmamız istenmektedir. Öncelikle, \(0.0\overline{x}\) ifadesinin nasıl yorumlanması gerektiğine bakalım. Bu ifade, ondalık kesirde ilk basamağın 0 olduğunu ve sonrasında gelen \(x\) rakamının sonsuz kez tekrar ettiğini gösterir.

Adım 1: İfadeyi bir değişken ile tanımlayalım:
\( r = 0.0\overline{x} \)

Adım 2: Devirli kısmı izole etmek için, \( r \)‘yi 10 ile çarpalım. Çünkü ondalık kesirin ilk basamağı (0) devir dışıdır:
\( 10r = 0.\overline{x} \)

Adım 3: Bilinen bir matematiksel gerçeği kullanıyoruz: \( 0.\overline{x} = \frac{x}{9} \). Böylece;
\( 10r = \frac{x}{9} \)

Adım 4: Verilen eşitlikte \( r = \frac{1}{15} \) olduğuna göre;
\( 10\left(\frac{1}{15}\right) = \frac{x}{9} \)
yani, \( \frac{10}{15} = \frac{x}{9} \) elde edilir.

Adım 5: Sadeleştirme yaparsak, \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \) olur. Dolayısıyla;
\( \frac{2}{3} = \frac{x}{9} \)
Denklemi çözmek için her iki tarafı 9 ile çarpalım:
\( x = 9 \times \frac{2}{3} = 6 \)

Şıkları İnceleyelim:

• A şıkkı: \( 2 \) – Bu değer, yapılan dönüşümler sonucunda ortaya çıkan oranı sağlamamaktadır.
• B şıkkı: \( 3 \) – Yine hesaplama adımlarında bu değere ulaşılmamıştır.
• C şıkkı: \( 5 \) – Denklemin dengesi göz önüne alındığında bu seçenek de yanlış kalmaktadır.
• D şıkkı: \( 6 \) – Yapılan adımlar sonucunda doğru sonuç olarak elde edilmiştir.

Sonuç: Adım adım yapılan işlemlerden, \(0.0\overline{x}\) ifadesinin, 10 ile çarpılarak \(0.\overline{x}\)‘e dönüştürüldüğü ve ardından devirli ondalık kesirin \( \frac{x}{9} \) şeklinde ifade edildiği görülmektedir. Hesaplamalar neticesinde \(x = 6\) sonucuna ulaşılmıştır. Bu nedenle, doğru cevap D şıkkıdır.

Öğrenciler, devirli ondalık kesirleri rasyonel sayıya dönüştürme yöntemini uygularken, ilk basamağın devir dışı olduğunu ve ardından gelen devirli kısmın standart dönüşüm kuralı \( 0.\overline{x} = \frac{x}{9} \) kullanılarak işlem yapılması gerektiğini akılda tutmalıdırlar. Bu yöntem, benzer sorularda doğru sonuca ulaşmanızı sağlayacaktır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \(0,a\overline{b}\) ifadesinin rasyonel sayı olarak kesir şeklinde ifadesi istenmektedir. Burada \(a\) ve \(b\) sıfırdan farklı rakamlar olup, ondalık gösterimde \(a\) kısmı devir öncesi, \(b\) kısmı ise devirli bölüm olarak karşımıza çıkmaktadır. Yani sayı, \(0.a\overline{b}\) şeklinde yazılmaktadır.

Adım 1: Öncelikle, sayıyı \(x = 0.a\overline{b}\) olarak tanımlayalım. Bu ifade, ondalık kesirde ilk basamakta \(a\) ve sonraki basamaklarda sürekli tekrarlanan \(b\) rakamını göstermektedir.

Adım 2: Tekrar eden kısım 1 basamak olduğundan, \(x\)‘i 10 ile çarptığımızda devir öncesi kısmı elde ederiz:
\( 10x = a.\overline{b} \)

Adım 3: Şimdi, devirli kısmı izole etmek için, \(0.\overline{b}\)‘nin kesir karşılığını hatırlayalım. Standart dönüşüm kuralına göre:
\( 0.\overline{b} = \frac{b}{9} \)

Dolayısıyla, \(10x\) ifadesi şu şekilde yazılabilir:
\( 10x = a + \frac{b}{9} \)

Adım 4: Bu eşitliği ortak paydada birleştirelim:
\( 10x = \frac{9a + b}{9} \)

Adım 5: \(x\)‘i bulmak için her iki tarafı 10’a bölelim:
\( x = \frac{9a + b}{90} \)

Adım 6: Seçeneklerde verilen ifadelere dikkat edersek; \(ab\) ifadesi, iki basamaklı sayı yani \(10a+b\) olarak yorumlanmaktadır. Bu durumda:
\( 9a + b = (10a+b) – a = ab – a \)

Böylece, \(x\)‘in kesir formu şu hale gelir:
\( x = \frac{ab – a}{90} \)

Şıkları İnceleyelim:

• A şıkkı: \( \displaystyle \frac{ab}{9} \) – Bu ifade, ondalık kısmın dönüştürülmesi sırasında farklı bir orantı sunmakta ve doğru dönüşümü yansıtmamaktadır.
• B şıkkı: \( \displaystyle \frac{ab}{90} \) – Bu oran, \(ab\) ifadesini doğrudan 90’a bölmekte, fakat devir öncesi kısmı hesaba katmamaktadır.
• C şıkkı: \( \displaystyle \frac{ab – a}{9} \) – Bu kesir, pay kısmını doğru bulsa da paydanın 9 olması gerektiği durumun aksine 9 ile ifade edilmiş, bu da oranın büyüklüğünü arttırmaktadır.
• D şıkkı: \( \displaystyle \frac{ab – a}{90} \) – Hesaplamalarımız sonucunda elde ettiğimiz kesir ifadesi bu seçenekle birebir uyum sağlamaktadır.

Sonuç: \(0,a\overline{b}\) ifadesi, adım adım yapılan işlemler sonucunda \( \frac{ab – a}{90} \) şeklinde ifade edilebilmektedir. Bu nedenle, doğru cevap D şıkkıdır.

Öğrenciler, bu tür devirli ondalık kesirleri kesirli biçime dönüştürürken, devir öncesi ve devirli kısımların ayrı ayrı ele alınması gerektiğini unutmamalıdır. Standart dönüşüm kuralları ve dikkatli hesaplamalarla, bu tür problemlerde doğru sonuca ulaşmak mümkündür.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen yedi sayı içerisinden kaç tanesinin rasyonel olduğu sorulmaktadır. Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilebilen sayılardır. Şimdi her bir ifadeyi adım adım inceleyelim:

• \( \frac{\sqrt{25}}{2} \): Öncelikle, \( \sqrt{25} = 5 \) olduğundan, bu ifade \( \frac{5}{2} \) haline gelir. Buradaki kesir, iki tam sayı oranı olduğundan rasyoneldir.
• \( -\sqrt{121} \): Burada \( \sqrt{121} = 11 \) olduğu için, ifade \( -11 \) şeklinde elde edilir. Tam sayılar rasyonel sayılar olduğundan, bu sayı da rasyoneldir.
• \( -\pi \): \( \pi \) sayısı, bilindiği üzere irrasyonel bir sayıdır. Bu nedenle, negatif işaret eklenmesi durumu değiştirilemez; sonuç irrasyoneldir.
• \( 2.\overline{95} \): Devirli ondalık kesirler, her zaman rasyonel sayılardır. \( 2.\overline{95} \) ifadesinde, tekrarlayan kısım sayesinde bu sayı kesir formuna dönüştürülebilir; dolayısıyla rasyoneldir.
• \( 3\sqrt{3} \): \( \sqrt{3} \) irrasyonel bir sayıdır ve bu sayının 3 ile çarpılması irrasyonelliğini korur. Bu ifade irrasyoneldir.
• \( \sqrt{8} \): \( \sqrt{8} \) ifadesi \( 2\sqrt{2} \) şeklinde sadeleştirilebilir. Burada \( \sqrt{2} \) irrasyoneldir; dolayısıyla ifade de irrasyoneldir.
• \( -0.07 \): Ondalık kesirler, sonlu basamaklı oldukları için kesir formuna dönüştürülebilir. Örneğin, \( -0.07 = \frac{-7}{100} \) olarak yazılır; bu yüzden rasyoneldir.

Sonuç: İncelememiz sonucunda, \( \frac{\sqrt{25}}{2} \), \( -\sqrt{121} \), \( 2.\overline{95} \) ve \( -0.07 \) ifadelerinin rasyonel olduğu belirlenmiştir. Diğer iki ifade, yani \( -\pi \), \( 3\sqrt{3} \) ve \( \sqrt{8} \) irrasyonel özellik taşımaktadır. Böylece toplamda 4 tane rasyonel sayı bulunmaktadır.

Bu çözümde, her bir sayı için temel özellikler detaylıca açıklanmış; tam kare alma, devirli ondalık dönüşümü ve irrasyonel sabitler gibi kavramlar kullanılarak, hangi ifadelerin rasyonel, hangilerinin irrasyonel olduğu açıkça ortaya konulmuştur. Öğrenciler, benzer sorularda sayıların kök alma işlemleri ve ondalık kesir dönüşümleri konusunda dikkatli olmalı, her bir ifadenin özelliklerini analiz ederek doğru sonuca ulaşmalıdır.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( \sqrt{38 – x} \) ifadesinin rasyonel sayı olması için \(38 – x\) ifadesinin bir tam kare olması gerekmektedir. Çünkü bir sayının karekökü ancak o sayı bir tam kare ise rasyonel olur. Bu durumda, \(38 – x\)‘in, \( k^2 \) şeklinde ifade edilebilmesi şarttır. Şimdi verilen seçenekleri teker teker değerlendirelim:

A şıkkı: \( \displaystyle -11 \)
Eğer \( x = -11 \) yazılırsa, \(38 – (-11) = 38 + 11 = 49\) elde edilir. 49 sayısı, \(7^2\) şeklinde tam kare olarak ifade edilebildiği için rasyonel olur.

B şıkkı: \( \displaystyle 18 \)
Eğer \( x = 18 \) yazılırsa, \(38 – 18 = 20\) elde edilir. 20 sayısı, herhangi bir tam sayının karesi değildir. Kareköklü ifadeye dönüştürüldüğünde \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) elde edilir ki, \( \sqrt{5} \) irrasyoneldir. Dolayısıyla bu durumda rasyonel sayı elde edilemez.

C şıkkı: \( \displaystyle 29 \)
Eğer \( x = 29 \) yazılırsa, \(38 – 29 = 9\) elde edilir. 9 sayısı, \(3^2\) olarak yazılabilir, bu da ifadenin rasyonel olduğunu gösterir.

D şıkkı: \( \displaystyle 38 \)
Eğer \( x = 38 \) yazılırsa, \(38 – 38 = 0\) elde edilir. 0 da bir tam kare sayıdır (\(0^2 = 0\)) ve karekökü de 0 olarak rasyonel bir sonuç verir.

Sonuç: İncelemelerimizden, \( \sqrt{38 – x} \) ifadesinin rasyonel olabilmesi için \(38 – x\)‘in tam kare olması gerektiği anlaşılmaktadır. Verilen seçenekler arasında, \( x = 18 \) seçeneği için \(38 – 18 = 20\) olur; ancak 20 tam kare olmadığı için bu durumda elde edilen karekök rasyonel sayı olmaz. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

Öğrenciler, bu tür problemlerde, karekök içindeki ifadenin tam kare olup olmadığını kontrol etmeyi ve her seçeneği adım adım değerlendirmeyi öğrenmelidirler. Böylece, rasyonel sayılar ve tam kare ilişkisi sayesinde doğru sonuca ulaşmaları daha kolay olacaktır.

11. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( abc \) üç basamaklı bir doğal sayıdır ve \( \sqrt{abc} \) ifadesinin rasyonel olabilmesi için \( abc \)‘nin bir tam kare olması gerekir. Yani, \( abc \) sayısı, bir tam sayının karesi şeklinde ifade edilebilmelidir. Sorunun asıl amacı, bu şartı sağlayan üç basamaklı tam kareler içerisinden, basamaklarının toplamının \( a+b+c \) hangi değere eşit olabileceğini belirlemektir.

Adım 1: Üç basamaklı tam kareler, \(10^2=100\)’den başlayıp \(31^2=961\)’ye kadar olan sayılardır. Bu sayılar arasında, \(100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961\) gibi örnekler yer almaktadır.

Adım 2: Soruda verilen şıklar \( \displaystyle 2, 5, 16, 25 \) olmak üzere, basamaklar toplamı değerleridir. Üç basamaklı bir sayının basamakları toplamının \(2\) veya \(5\) olması çok düşük bir değer olup, bu değerleri veren tam kare bulmak zordur.

Adım 3: İncelemelerimiz sırasında, 484 sayısına dikkat çekmeliyiz. Çünkü:
\(484 = 22^2\) olup, üç basamaklı tam karedir. Ayrıca,
\( 4+8+4 = 16 \)
işlemi sonucu basamaklar toplamı \(16\) elde edilir.

Adım 4: Diğer seçeneklerde belirtilen \(2\), \(5\) ve \(25\) değerleri, üç basamaklı tam kareler için mantıklı bir basamaklar toplamı vermemektedir. Örneğin, \(25\) basamaklar toplamı çok yüksek bir değer gibi görünürken, \(2\) ve \(5\) ise çok düşük kalmaktadır.

Sonuç: Yukarıdaki değerlendirmelere göre, \( abc \) sayısının tam kare olması ve basamaklar toplamının \(16\) olabilmesi için en uygun örnek 484‘tür. Bu nedenle, \( a+b+c \) ifadesinin alabileceği değerlerden sadece \(16\) mantıklı ve mümkündür. Böylece doğru cevap C şıkkıdır.

Öğrenciler, tam kare sayılar ve basamaklar toplamı kavramını kullanarak, üç basamaklı sayıların hangi özelliklere sahip olabileceğini analiz etmelidir. Bu tür problemler, sayıların özelliklerini detaylıca inceleyerek matematiksel mantık yürütme becerisini geliştirmeye yardımcı olur.

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( \sqrt{9ab} \) ifadesinin irrasyonel olması şartıyla, \( 9ab \) biçiminde yazılabilen üç basamaklı sayılar incelenmektedir. Burada \( 9ab \) ifadesi, yüzler basamağı 9 olan, tens ve birler basamakları ise \( a \) ve \( b \) rakamları olan bir üç basamaklı sayıyı ifade eder. Dolayısıyla sayı, 900 ile 999 arasında yer almaktadır.

Önemli Nokta: Bir sayının karekökünün irrasyonel olabilmesi için, o sayının tam kare olmaması gerekir. Yani, \( \sqrt{9ab} \) ifadesinin irrasyonel olması için \( 9ab \) sayısı tam kare olmamalıdır.

Adım 1: 900 ile 999 arasındaki sayılar toplamda 100 adettir.

Adım 2: Bu aralıkta tam kare olan sayıları bulalım:
\( 30^2 = 900 \) ve \( 31^2 = 961 \) olup, 32²=1024, 900-999 aralığının dışına çıkar.

Adım 3: Dolayısıyla, 900 ve 961 olmak üzere yalnızca 2 tam kare sayı vardır. Bu sayıların karekökleri rasyonel olacaktır.

Adım 4: Tüm 100 sayı içerisinden bu 2 tam kare çıkarıldığında, geriye \( 100 – 2 = 98 \) adet sayı kalır. Bu 98 sayı için \( \sqrt{9ab} \) ifadesi irrasyonel olacaktır.

Sonuç: İncelenen üç basamaklı sayılar arasında, \( \sqrt{9ab} \) ifadesi irrasyonel olan sayı adedi 98‘dir. Bu nedenle, doğru cevap C şıkkı: \( \displaystyle 98 \)‘dir.

Öğrenciler, bu soruda sayı aralığı ve tam kare kavramlarını kullanarak, rasyonel ve irrasyonel sayı ayrımını yapmayı öğrenirler. Bu tür sorularda, önce sayı aralığındaki toplam eleman sayısı belirlenmeli, sonra tam kare olanlar tespit edilip çıkarılmalıdır. Böylece, geriye kalan sayılar için karekök işlemi irrasyonel sonuç verecektir.