Aşağıdaki sayılardan hangisi \( 4^{-3} \) sayısına eşit değildir?
Seçeneklerden hangisi bu üslü ifadeye denk değildir?
- \( \left(\frac{1}{4}\right)^3 \)
- \( 2^{-6} \)
- \( 64^{-1} \)
- \( 8^{-3} \)
Çözüm
Verilen ifadeyi 2 tabanında yazalım: $$ 4^{-3} = (2^2)^{-3} = 2^{-6} $$
Seçenekleri incelediğimizde:
- A) \( \left(\frac{1}{4}\right)^3 = (2^{-2})^3 = 2^{-6} \) (Eşittir)
- B) \( 2^{-6} \) (Eşittir)
- C) \( 64^{-1} = (2^6)^{-1} = 2^{-6} \) (Eşittir)
- D) \( 8^{-3} = (2^3)^{-3} = 2^{-9} \) (Eşit Değildir)
Cevap: D seçeneğidir.
Aşağıdaki üslü ifadelerden hangisinin değeri \( \frac{1}{729} \) sayısına eşit değildir?
Seçeneklerdeki ifadelerden hangisi bu değere eşit değildir?
- \( (-3)^{-6} \)
- \( 27^{-2} \)
- \( (-9)^{-3} \)
- \( 9^{-3} \)
Çözüm
İstenen değer: $$ \frac{1}{729} = \frac{1}{3^6} = 3^{-6} $$ Sonuç pozitif olmalıdır.
Seçenekleri analiz edelim:
- A) \( (-3)^{-6} \): Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir. \( 3^{-6} \)’ya eşittir.
- B) \( 27^{-2} = (3^3)^{-2} = 3^{-6} \) (Eşittir)
- C) \( (-9)^{-3} \): Negatif sayının tek kuvveti negatiftir. Sonuç \( – (3^{-6}) \) olur. (Eşit Değildir)
- D) \( 9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{-6} \) (Eşittir)
Cevap: C seçeneğidir.
Bir fabrikada üretilen 4 farklı metal levhanın milimetre cinsinden kalınlıkları aşağıdaki tabloda üslü ifadelerle gösterilmiştir.
| Levha Numarası | Kalınlık (mm) |
|---|---|
| 1. Levha | \( 2^{-3} \) |
| 2. Levha | \( 3^{-2} \) |
| 3. Levha | \( 5^{-1} \) |
| 4. Levha | \( 4^{-2} \) |
Buna göre, yukarıdaki levhalardan hangisinin kalınlığı diğerlerine göre daha fazladır?
- 1. Levha
- 2. Levha
- 3. Levha
- 4. Levha
Çözüm
Negatif üs kuralını \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) kullanarak ifadeleri rasyonel sayıya çevirelim:
Kural: Payları eşit olan kesirlerde, paydası küçük olan daha büyüktür.
Paydaları sıralarsak: \( 5 < 8 < 9 < 16 \)
Paydası en küçük olan \( \frac{1}{5} \) en büyük değerdir.
$$ \mathbf{\frac{1}{5}} > \frac{1}{8} > \frac{1}{9} > \frac{1}{16} $$Cevap: 3. Levha (C)
Aşağıdaki eşitlikte verilen \( \textcolor{#e91e63}{\blacksquare} \) sembolü rasyonel bir sayıyı temsil etmektedir.
$$ -\frac{8}{27} = \textcolor{#e91e63}{\blacksquare}^{-3} $$Buna göre \( \textcolor{#e91e63}{\blacksquare} \) yerine aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?
- \( -\frac{2}{3} \)
- \( \frac{3}{2} \)
- \( -\frac{3}{2} \)
- \( \frac{2}{3} \)
4. Sorunun Çözümü
1. Adım: Eşitliğin sol tarafındaki sayıyı üslü ifadeye çevirelim. Negatif tek kuvvet işareti değiştirmez.
$$ -\frac{8}{27} = -\frac{2^3}{3^3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 $$2. Adım: Üssün \( -3 \) olması için tabandaki kesri ters çevirelim (Negatif Üs Kuralı).
$$ \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \left(-\frac{3}{2}\right)^{-3} $$Sonuç: Elde edilen ifadeyi denklemle eşleştirdiğimizde bilinmeyen ortaya çıkar.
$$ \left( \textcolor{#e91e63}{-\frac{3}{2}} \right)^{-3} = \textcolor{#e91e63}{\blacksquare}^{-3} $$Buradan \( \textcolor{#e91e63}{\blacksquare} = -\frac{3}{2} \) bulunur.
Doğru Cevap: C
\( 0,216 \) sayısı aşağıdaki işlem adımlarından hangisinin sonucuna eşittir?
- \( (0,6) \cdot (0,6) \cdot (0,6) \)
- \( (0,36) \cdot (0,36) \)
- \( (0,06) \cdot (0,06) \cdot (0,06) \)
- \( (0,2) \cdot (0,2) \cdot (0,2) \cdot (0,2) \)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirip asal çarpan kuvvetlerine bakılır.
1. Adım: Sayıyı kesir olarak yazıp üslü ifadeye dönüştürelim:
$$ 0,216 = \frac{216}{1000} $$2. Adım: \( 216 = 6^3 \) ve \( 1000 = 10^3 \) olduğu görülür:
$$ \frac{216}{1000} = \frac{6^3}{10^3} = \left( \frac{6}{10} \right)^3 $$Sonuç: İfade \( 0,6 \)’nın 3. kuvvetidir. Bu da sayının kendisiyle 3 kez çarpılması demektir:
$$ (0,6)^3 = (0,6) \cdot (0,6) \cdot (0,6) $$Doğru cevap A seçeneğidir.
Aşağıda iki farklı üslü ifade eşitliği verilmiştir:
$$ \frac{1}{(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)} = (-4)^a $$ $$ (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = b^5 $$Yukarıdaki eşitliklere göre \( a + b \) toplamının değeri kaçtır?
- \( -9 \)
- \( -3 \)
- \( 3 \)
- \( 9 \)
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Tekrarlı çarpımları üslü ifadeye çevirip üslerin eşitliğinden yararlanacağız.
1. Adım: İlk eşitlikte paydayı üslü yazıp yukarı taşıyalım.
$$ \frac{1}{(-4)^3} = (-4)^a \implies (-4)^{-3} = (-4)^a $$Tabanlar eşit olduğu için:
$$ a = \textcolor{red}{-3} $$2. Adım: İkinci eşitlikte çarpımı üslü yazalım.
$$ (-6)^5 = b^5 $$Üsler tek sayı ve eşit olduğu için tabanlar aynen eşittir:
$$ b = \textcolor{blue}{-6} $$Sonuç: Değerleri toplayalım.
$$ a + b = (-3) + (-6) = -9 $$Doğru cevap A seçeneğidir.
Aşağıda verilen eşitliklerde \( a \) ve \( b \) birer tam sayıdır.
$$ 9^{-2} = \left(\frac{1}{9}\right)^a $$ $$ \frac{1}{4^7} = 4^b $$Yukarıdaki eşitliklere göre \( a + b \) işleminin sonucu kaçtır?
- \( -9 \)
- \( -5 \)
- \( 5 \)
- \( 9 \)
Çözüm
Üslü ifadelerde \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \) özelliğini kullanarak bilinmeyenleri bulalım.
1. Eşitlik: \( \frac{1}{9} = 9^{-1} \) olduğundan:
$$ 9^{-2} = (9^{-1})^a \implies 9^{-2} = 9^{-a} $$Tabanlar eşitse üsler de eşittir: \( -2 = -a \implies \mathbf{a = 2} \)
2. Eşitlik: \( \frac{1}{4^7} = 4^{-7} \) olduğundan:
$$ 4^{-7} = 4^b \implies \mathbf{b = -7} $$Sonuç:
$$ a + b = 2 + (-7) = \mathbf{-5} $$Cevap: B
Yukarıdaki görselde verilen renkli kartların üzerinde üslü ifadeler yazmaktadır. Bu kartlardan rastgele iki tanesi seçiliyor ve üzerlerindeki ifadeler birbiri ile çarpılıyor.
Buna göre, elde edilen çarpım sonuçlarından kaç tanesinin işareti pozitiftir?
- \( 3 \)
- \( 4 \)
- \( 5 \)
- \( 6 \)
Çözüm
Çarpım sonucunun pozitif olması için işaret kuralı: (-) x (-) = (+) veya (+) x (+) = (+)
Kartların işaretlerini belirleyelim:
$$ (-2)^3 = -8 \implies \mathbf{Negatif (-)} $$ $$ -4^2 = -16 \implies \mathbf{Negatif (-)} $$ (Parantez olmadığı için üs sadece sayıya aittir) $$ -5^{-2} = -\frac{1}{25} \implies \mathbf{Negatif (-)} $$ $$ (-1)^{-5} = -1 \implies \mathbf{Negatif (-)} $$ $$ 4^{-1} = \frac{1}{4} \implies \mathbf{Pozitif (+)} $$Elimizdeki Durum: 4 Negatif, 1 Pozitif kart var.
1. Durum (Pozitif x Pozitif): Sadece 1 pozitif kart olduğu için eşleşme yapılamaz. (0 durum)
2. Durum (Negatif x Negatif): 4 negatif karttan herhangi ikisinin çarpımı pozitiftir.
4’ün 2’li kombinasyonu: \( C(4,2) = 6 \) farklı durum vardır.
Cevap: D
\( 4^6 \) tane kovanı olan bir bal üretim tesisinde, her kovandan günde \( 5^6 \) mg arı sütü toplanmaktadır. Bu tesiste \( 2^6 \) günde toplanan toplam arı sütü miktarı kaç miligramdır?
Buna göre, toplam üretim miktarı aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 11^6 \)
- \( 11^{18} \)
- \( 40^6 \)
- \( 40^{18} \)
Çözüm
Üsler eşitse tabanlar çarpılır kuralını kullanalım.
Toplam Miktar = (Kovan Sayısı) x (Günlük Üretim) x (Gün Sayısı)
$$ 4^6 \cdot 5^6 \cdot 2^6 $$Üsler ortak (\( 6 \)) olduğu için tabanları çarpıyoruz:
$$ (4 \cdot 5 \cdot 2)^6 $$ $$ (\mathbf{20} \cdot 2)^6 = \mathbf{40^6} $$Cevap: C
Bir kenar uzunluğu \( 4^8 \) mm olan KLMN karesi yukarıda verilmiştir.
Buna göre, bu karenin çevresi kaç milimetredir?
- \( 4^{64} \)
- \( 4^{32} \)
- \( 4^{16} \)
- \( 4^9 \)
Çözüm
Karenin çevresi \( 4 \) kenarının toplamıdır. Yani bir kenar uzunluğunu \( 4 \) ile çarparız.
\( 4 \) sayısını \( 4^1 \) olarak düşünelim:
$$ \text{Çevre} = 4^1 \cdot 4^8 $$Tabanlar aynı ise üsler toplanır:
$$ \text{Çevre} = 4^{1+8} = \mathbf{4^9} \text{ mm} $$Cevap: D
Şekildeki KLM üçgeninde \( [KH] \perp [LM] \)’dir.
\( |KH| = 2^9 \) mm ve \( |LM| = 2^{10} \) mm olduğuna göre, bu üçgensel bölgenin alanı kaç milimetrekaredir?
Aşağıdakilerden hangisi doğru cevaptır?
- \( 2^{19} \)
- \( 2^{18} \)
- \( 2^{17} \)
- \( 2^{90} \)
Çözüm
Üçgenin Alanı = (Taban x Yükseklik) / 2 formülünü kullanalım.
Pay kısmında üsler toplanır:
$$ \text{Alan} = \frac{2^{19}}{2^1} $$Bölme işleminde üsler çıkarılır:
$$ \text{Alan} = 2^{19-1} = \mathbf{2^{18}} $$Cevap: B
Kenar uzunlukları \( 8^5 \) cm ve \( 16^4 \) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir güneş enerjisi santralinin sekizde birine (\( \frac{1}{8} \)) özel güneş panelleri kurulacaktır.
Kurulacak olan her bir güneş paneli \( 4^9 \) cm²’lik bir alan kaplamaktadır.
Buna göre, ayrılan bölgeye toplam kaç adet güneş paneli kurulur?
- \( 2^9 \)
- \( 2^{10} \)
- \( 2^{11} \)
- \( 2^{12} \)
12. Sorunun Çözümü
1. Adım: Tüm değerleri \( 2 \) tabanına çevirerek toplam alanı bulalım.
$$ \text{Toplam Alan} = 8^5 \cdot 16^4 = (2^3)^5 \cdot (2^4)^4 = 2^{15} \cdot 2^{16} = 2^{31} \text{ cm}^2 $$2. Adım: Panellerin kurulacağı \( \frac{1}{8} \)’lik alanı hesaplayalım.
$$ \text{Panel Alanı} = \frac{2^{31}}{8} = \frac{2^{31}}{2^3} = 2^{28} \text{ cm}^2 $$Sonuç: Bu alanı bir panelin alanına (\( 4^9 = (2^2)^9 = 2^{18} \)) bölelim.
$$ \text{Panel Sayısı} = \frac{2^{28}}{2^{18}} = 2^{28-18} = 2^{10} $$Doğru Cevap: B