Yenilenebilir enerji üreten bir tesiste, güneş panelleri 1. sırada 1 adet, 2. sırada 2 adet olacak şekilde artarak toplam 8 sıra halinde dizilmiştir.
Her bir panel saatte \( 6^3 \) Watt enerji ürettiğine göre, tesisin 1 saatte ürettiği toplam enerji kaç Watt’tır?
- \( 6^4 \)
- \( 36^3 \)
- \( 6^5 \)
- \( 216^2 \)
Çözüm
Adım 1: Toplam Panel Sayısı
1’den 8’e kadar olan sayıların toplamı (Gauss Yöntemi):
$$ \frac{8 \cdot 9}{2} = 36 \text{ adet} $$
Bu sayıyı üslü ifadeye çevirelim: \( 36 = 6^2 \)
Adım 2: Toplam Enerji
Toplam Enerji = Panel Sayısı \( \cdot \) Birim Üretim
$$ 6^2 \cdot 6^3 = 6^{2+3} = 6^5 \text{ Watt} $$
Cevap: C şıkkıdır.
Bir laboratuvarın güvenlik sistemi, ekrandaki kartlardan üzerinde yazan üslü ifadenin değeri en büyük olan ile açılmaktadır.
Buna göre, sistemi açan kart aşağıdakilerden hangisidir?
- \( (-3)^3 \)
- \( -3^2 \)
- \( (-1)^{100} \)
- \( (-2)^4 \)
Çözüm
Kartlardaki üslü ifadelerin değerlerini hesaplayıp karşılaştıralım:
- A) \( (-3)^3 = -27 \) (Negatif, Tek kuvvet)
- B) \( -3^2 = -9 \) (Negatif, Parantez yok)
- C) \( (-1)^{100} = +1 \) (Pozitif, Çift kuvvet)
- D) \( (-2)^4 = +16 \) (Pozitif, Çift kuvvet)
Bulunan değerler arasında en büyük sayı 16‘dır.
Doğru Cevap: D
Bir akıllı sulama sistemindeki \( 3 \) vana, toplam \( 80 \) dakika sürecek bir sulama işlemi için programlanmıştır.
Ancak sistemde yaşanan arızalar nedeniyle;
- 1. Vana: \( 10 \). dakikanın sonunda,
- 2. Vana: \( 40 \). dakikanın sonunda tamamen kapanmıştır.
3. Vana ise \( 80 \) dakikalık süre bitene kadar çalışmaya devam etmiştir.
Buna göre, işlem tamamlandığında tarlaya toplam kaç litre su püskürtülmüştür?
- \( 60 \)
- \( 65 \)
- \( 70 \)
- \( 75 \)
3. Sorunun Çözümü
Analiz: Soruda “pozitif tam sayı kuvvetleri” dendiği için \( 2^0=1 \). dakika dahil edilmez. Başlangıç noktası \( 2^1=2 \). dakikadır.
1. Adım: Tetiklenme anları (\( 80 \) dakikayı geçmeyecek şekilde):
$$ 2^1=2, \quad 2^2=4, \quad 2^3=8, \quad 2^4=16, \quad 2^5=32, \quad 2^6=64 $$2. Adım: Vanaların çalışma sayıları:
| Vana | Süre | Aktif Anlar | Adet |
|---|---|---|---|
| 1. Vana | 10 dk | \( 2, 4, 8 \) | 3 |
| 2. Vana | 40 dk | \( 2, 4, 8, 16, 32 \) | 5 |
| 3. Vana | 80 dk | \( 2…64 \) (Tamamı) | 6 |
3. Adım: Toplam su hesabı:
$$ \text{Toplam} = 3 + 5 + 6 = 14 \text{ kez} $$ $$ 14 \times 5 = 70 \text{ Litre} $$Cevap: C
Bir bilgisayar programı, yukarıdaki görselde olduğu gibi her adımda çoğalarak yayılmaktadır.
- Başlangıç: 1. adımda sadece 1 tane ana robot vardır.
- Kural: Her adımda, sisteme yeni eklenen her bir robot, bir sonraki adımda 2 yeni robot üretir.
Buna göre, 5. adımın sonunda sistemde oluşan TOPLAM robot sayısı kaçtır?
- 15
- 31
- 63
- 127
4. Sorunun Çözümü
Görseldeki örüntü incelendiğinde, her adımda eklenen robot sayısının bir önceki adımda eklenen sayının 2 katı olduğu görülür. Toplam sayıyı bulmak için her adımda eklenenleri toplayalım:
1. Adım: 1 robot
2. Adım: \( 1 + 2 = 3 \) robot
3. Adım: \( 3 + 4 = 7 \) robot
4. Adım: \( 7 + 8 = 15 \) robot
5. Adım: \( 15 + 16 = 31 \) robot
Not: Bu sistem \( 2^n – 1 \) formülü ile çalışır. 5. adım için \( 2^5 – 1 = 32 – 1 = 31 \) bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir fabrika, dikdörtgen şeklindeki kartlardan sadece kare olanları (En = Boy) paketlemektedir.
Yukarıdaki ekranda kenar uzunlukları verilen kartlardan hangileri paketlenir?
- I ve II
- II ve III
- I ve III
- III ve IV
Çözüm
Kare şartı: \( \text{En} = \text{Boy} \). Üslü ifadeleri hesaplayalım:
I. Kart: En \( 2^4 = 16 \), Boy \( 16 \).
\( 16 = 16 \) olduğu için Karedir.
II. Kart: En \( 3^2 = 9 \), Boy \( 3^3 = 27 \).
\( 9 \neq 27 \) olduğu için kare değildir.
III. Kart: En \( 25^1 = 25 \), Boy \( 5^2 = 25 \).
\( 25 = 25 \) olduğu için Karedir.
IV. Kart: En \( 10^2 = 100 \), Boy \( 1000 \).
\( 100 \neq 1000 \) olduğu için kare değildir.
Paketlenecek kartlar I ve III’tür.
Doğru Cevap: C
Bir bulut depolama tesisinde, her biri \( 64 \) Terabyte (TB) veri depolama kapasitesine sahip özel hard diskler kullanılmaktadır.
Bu diskler, görselde belirtildiği gibi \( 4 \times 4 \times 4 \)’lük küp biçiminde dizilerek “Server Kabinleri” oluşturuluyor. Daha sonra bu kabinler de yine \( 4 \times 4 \times 4 \)’lük küp biçiminde dizilerek tesisin “Ana Veri Odası” tamamen dolduruluyor.
Buna göre, tamamen dolu olan Ana Veri Odası’ndaki toplam veri kapasitesinin Terabyte cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- \( (4^3)^2 \)
- \( (4^3)^3 \)
- \( (8^3)^3 \)
- \( (16^2)^2 \)
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Sorudaki yapı hiyerarşisi şöyledir: Disk \(\rightarrow\) Kabin \(\rightarrow\) Oda. En küçük birimden bütüne doğru üslü çarpım yapacağız.
1. Adım: Birim Kapasite
1 Disk = \( 64 \) TB. Bunu 4 tabanına çevirelim:
$$ 64 = 4^3 \text{ TB} $$
2. Adım: Kabin Kapasitesi
Kabin, \( 4 \times 4 \times 4 = 4^3 \) adet diskten oluşur.
$$ 4^3 \text{ (adet)} \cdot 4^3 \text{ (kapasite)} = 4^6 \text{ TB} $$
3. Adım: Oda Kapasitesi (Sonuç)
Oda, \( 4 \times 4 \times 4 = 4^3 \) adet kabinden oluşur.
$$ 4^3 \text{ (adet)} \cdot 4^6 \text{ (kabin kapasitesi)} = 4^{3+6} = 4^9 \text{ TB} $$
4. Adım: Seçenek Kontrolü
Bulduğumuz \( 4^9 \) sonucunu şıklarda arayalım. B seçeneği incelendiğinde:
$$ (4^3)^3 = 4^{3 \cdot 3} = 4^9 $$
Bu ifade bulduğumuz sonuca eşittir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Alanı \( 2^4 \) metrekare olan kare şeklindeki metal levhanın dört kenarının tam ortasından, her birinin alanı \( 2^{-2} \) metrekare olan kare parçalar kesilip atılıyor.
Kesim işlemi tamamlandıktan sonra levhanın çevresi kaç metre olur?
- \( 18 \)
- \( 19 \)
- \( 20 \)
- \( 22 \)
Çözüm
Adım 1: Kenar Uzunluklarını Bulma
Büyük levha alanı \( 2^4 = 16 \) m² ise bir kenarı:
$$ a = \sqrt{16} = 4 \text{ metre} $$
Kesilen parça alanı \( 2^{-2} = \frac{1}{4} \) m² ise bir kenarı:
$$ b = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \text{ metre} $$
Adım 2: Çevre Değişim Analizi
Bir kenarın ortasından kare kesildiğinde; 1 kenar eksilir, yerine 3 kenar gelir.
$$ \text{Net Artış} = 3b – b = 2b $$
$$ \text{Her kesimdeki artış} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \text{ metre} $$
Adım 3: Sonuç
İlk çevre: \( 4 \cdot 4 = 16 \) metre.
Toplam artış: \( 4 \text{ kenar} \cdot 1 \text{ m} = 4 \) metre.
$$ \text{Yeni Çevre} = 16 + 4 = 20 \text{ metre} $$
Cevap: C şıkkıdır.
Bir teknoloji şirketi, dikdörtgen şeklindeki arazisinin \( \%45 \)’ini laboratuvara, \( \%35 \)’ini test pistine ayırmıştır.
Arazinin kenar uzunlukları görselde belirtildiği gibi \( 8^4 \) metre ve \( 5^{13} \) metredir.
Şirket, arazinin geriye kalan kısmını “Yeşil Enerji Bölgesi” olarak kullanacağına göre;
Yeşil Enerji Bölgesi için ayrılan alan kaç metrekaredir?
- \( 10^{10} \)
- \( 10^{11} \)
- \( 10^{12} \)
- \( 10^{13} \)
Çözüm
1. Adım: Yeşil Bölgenin Oranı
Kullanılan alan: \( \%45 + \%35 = \%80 \). Geriye kalan yeşil alan:
$$ \%100 – \%80 = \%20 = \frac{1}{5} $$2. Adım: Toplam Alan Hesabı
Dikdörtgenin alanı \( \text{Kısa Kenar} \cdot \text{Uzun Kenar} \) formülüyle bulunur. \( 8^4 \) sayısını 2 tabanına çevirelim:
$$ 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} $$ $$ \text{Toplam Alan} = 2^{12} \cdot 5^{13} $$3. Adım: Sonuç (Yeşil Alan)
Toplam alanın 5’te 1’ini alalım:
$$ \frac{2^{12} \cdot 5^{13}}{5^1} = 2^{12} \cdot 5^{(13-1)} = 2^{12} \cdot 5^{12} $$Üsler aynı olduğunda tabanlar çarpılır:
$$ (2 \cdot 5)^{12} = 10^{12} \text{ metrekare} $$Doğru Cevap: C
Bir nano-teknoloji laboratuvarında, çiplerin çoğaltılması için birbirine bağlı iki ünite kullanılmaktadır.
- I. Ünite: Giren çip sayısını 4 katına çıkarmaktadır.
- II. Ünite: Giren çip sayısını 8 katına çıkarmaktadır.
Sisteme başlangıçta \( 4^5 \) adet nano-çip gönderildiğine göre, II. üniteden çıkışta toplam kaç adet çip elde edilir?
- \( 2^{10} \)
- \( 2^{13} \)
- \( 2^{15} \)
- \( 2^{20} \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Verilen tüm sayıları 2 tabanına çevirip çarpma işlemi yapacağız.
1. Adım: Verileri 2 Tabanına Çevirme
Giriş: \( 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} \)
I. Ünite (x4): \( 4 = 2^2 \)
II. Ünite (x8): \( 8 = 2^3 \)
2. Adım: Çarpma İşlemi
Sırasıyla ünitelerden geçiş:
$$ \underbrace{2^{10}}_{\text{Giriş}} \cdot \underbrace{2^2}_{\text{I. Ünite}} \cdot \underbrace{2^3}_{\text{II. Ünite}} = 2^{10+2+3} = 2^{15} $$Sonuç: Sistemden toplam \( 2^{15} \) adet çip çıkar.
Cevap: C
Bir yüksek güvenlikli veri merkezinde bulunan yedekleme ünitesine, özel bir algoritma ile veri aktarımı yapılmaktadır.
Sistem, her saatin sonunda depodaki mevcut veri miktarını iki katına çıkarmaktadır. Depoda herhangi bir veri kaybı yaşanmamaktadır.
Yedekleme ünitesinin tamamı bu sistemle \( 4^6 \) saatte dolduğuna göre;
Ünitenin yarısı kaçıncı saatte dolmuştur?
- \( 2^{11} \)
- \( 4^3 \)
- \( 4^5 \)
- \( 4^6 – 1 \)
10. Sorunun Çözümü
Bu soruda işlem yapmaktan ziyade mantığı tersten işletmek gerekir.
Sistem her saatin sonunda veri miktarını 2 katına çıkarıyorsa, bunun tersi de doğrudur: Bir saat önce depodaki veri miktarı şimdikinin yarısıdır.
$$ \text{Tam Doluluk Anı} \rightarrow \%100 $$
$$ \text{1 Saat Önce} \rightarrow \%50 \text{ (Yarısı)} $$
Deponun tamamı \( 4^6 \) saatte dolduğuna göre, yarısı bundan tam 1 saat önce dolmuştur:
$$ \text{Cevap} = 4^6 – 1 $$
Doğru cevap D seçeneğidir.
Çevre Bakanlığı’nın gürültü kirliliği sınıflandırma tablosu aşağıdadır:
| Sınıflandırma | Ses Aralığı (dB) |
|---|---|
| Sessiz (S) | \( 0 – 60 \) |
| Normal (N) | \( 60 – 100 \) |
| Gürültülü (G) | \( 100 \) ve üzeri |
Aşağıda dört farklı ortamın ses şiddeti değerleri 10’un kuvvetleri şeklinde çözümlenmiştir:
| Ortam | Ses Şiddeti (dB) |
|---|---|
| Kütüphane | \( 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 \) |
| Trafik | \( 8 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 \) |
| Konser | \( 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 \) |
Buna göre, ortamların gürültü sınıfları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
- Sessiz – Gürültülü – Normal
- Sessiz – Normal – Gürültülü
- Normal – Sessiz – Gürültülü
- Normal – Gürültülü – Sessiz
Çözüm
Çözümlenmiş sayıların değerlerini bulup tablo ile karşılaştıralım:
1. Kütüphane:
\( 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 = 40 + 5 = 45 \text{ dB} \)
\( 45 \), \( 0-60 \) aralığındadır. → Sessiz
2. Trafik:
\( 8 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 = 80 + 5 = 85 \text{ dB} \)
\( 85 \), \( 60-100 \) aralığındadır. → Normal
3. Konser:
\( 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 = 100 + 20 = 120 \text{ dB} \)
\( 120 \), \( 100 \)’den büyüktür. → Gürültülü
Sıralama: Sessiz – Normal – Gürültülü
Doğru Cevap: B
Laboratuvardaki bir ölçüm sonucu, bilgisayar ekranında yukarıdaki gibi birbirine eşit iki farklı formatta gösterilmiştir.
$$ 32 \cdot 10^a = 3200 \cdot 10^b $$Bu eşitliğin sağlanabilmesi için üsler arasındaki farkın belirli bir değerde olması gerekmektedir.
Buna göre, \( b – a \) işleminin sonucu kaçtır?
- \( 2 \)
- \( 1 \)
- \( -1 \)
- \( -2 \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Eşitliğin her iki tarafındaki katsayıları eşitleyerek üsleri kıyaslayacağız.
1. Adım: Katsayıları Benzetme
Sol taraftaki katsayı \( 32 \). Sağ taraftaki \( 3200 \)’ü de \( 32 \) cinsinden yazalım:
$$ 3200 = 32 \cdot 100 = 32 \cdot 10^2 $$
2. Adım: Denklemde Yerine Koyma
Denklemi tekrar yazıp düzenleyelim:
$$ 32 \cdot 10^a = (32 \cdot 10^2) \cdot 10^b $$
$$ 32 \cdot 10^a = 32 \cdot 10^{b+2} $$
3. Adım: Sonucu Bulma
Katsayılar eşit olduğuna göre, \( 10 \)’un kuvvetleri de eşittir:
$$ a = b + 2 $$
Bizden \( b – a \) isteniyor. Denklemde \( a \)’yı sağa, \( 2 \)’yi sola atalım:
$$ -2 = b – a $$
Doğru cevap D seçeneğidir.