Kural: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \)

1. Adım: Tüm tabanlar \( 3 \) olduğu için üsleri toplayalım:

$$ (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 $$

2. Adım: Zıt işaretli sayılar birbirini sıfırlar (sadeleştirir):

$$ (-3+3) + (-2+2) + (-1+1) + 0 = 0 $$

Sonuç: İşlemin sonucu \( 3^0 \) olur. Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti \( 1 \)’dir.

$$ 3^0 = 1 $$

1. Adım: İlk ifadeyi düzenleyelim. Çift kuvvet sonucu pozitif yapar:

$$\left[\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}\right]^{-1} = \left[\frac{1}{9}\right]^{-1} = 9$$

2. Adım: İkinci ifadeyi “üssün üssü” kuralıyla bulalım:

$$\left[2^{-2}\right]^{-1} = 2^{(-2) \cdot (-1)} = 2^{2} = 4$$

Sonuç:

$$9 + 4 = \mathbf{13}$$

1. Adım: Sayıları kesre çevirelim.

$$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ $$-0,5 = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$$

2. Adım: Negatif üsten kurtulmak için pay ve paydayı yer değiştirelim.

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{-4}$$ $$= 5^2 + (-2)^4$$

3. Adım: Negatif sayıların çift kuvveti pozitiftir.

$$5^2 = 25$$ $$(-2)^4 = +16$$

Sonuç: Değerleri toplayalım.

$$25 + 16 = 41$$

1. Adım: Parantez içindeki ifade 4 tane 3’ün çarpımıdır:

$$ \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{4 \text{ tane}} = 3^4 $$

2. Adım: İfade, bu grupların 3 kez yan yana çarpımıdır:

$$ (3^4) \cdot (3^4) \cdot (3^4) $$

Sonuç: Aynı ifadenin 3 kez çarpılması küpünü almak demektir:

$$ (3^4)^3 $$

Analiz: Sonucun “en az” (en küçük) olması için sayının negatif olması gerekir. Bir üslü ifadenin negatif olabilmesi için tabanın negatif ve üssün tek sayı olması şarttır.

1. Adım: Sadece negatif sonuç verecek kombinasyonları deneyelim:

$$ \text{Taban } -5, \text{ Üs } 3 \implies (-5)^3 = -125 $$ $$ \text{Taban } -5, \text{ Üs } -1 \implies (-5)^{-1} = -\frac{1}{5} $$ $$ \text{Taban } -1, \text{ Üs } 3 \implies (-1)^3 = -1 $$

2. Adım: Elde edilen negatif değerleri karşılaştıralım:

Sayı doğrusunda sola gidildikçe değer küçülür. \( -125 \), diğerlerinden çok daha küçüktür.

$$ -125 < -1 < -\frac{1}{5} $$

1. Adım: Sayıları üslü ifadeye çevirelim:

$$0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} \quad \text{ve} \quad 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$$

2. Adım: İfadeyi düzenleyip çarpalım:

$$\left(2^{-2}\right)^{-2} \cdot \left(2^{-1}\right)^{3}$$ $$2^{4} \cdot 2^{-3} = 2^{4-3}$$

Sonuç:

$$2^{1} = \mathbf{2}$$

1. Adım: Değerleri hesaplayalım.

$$(-2)^3 = -8$$ $$-2^3 = -8$$ $$(-4)^2 = +16$$ $$-4^2 = -16$$ $$(-1)^{20} = +1$$

Sayı Listemiz: \(\{-8, -8, 16, -16, 1\}\)

2. Adım: Seçenekleri kontrol edelim.

• A) -24: \((-8) + (-16) = -24\) (Mümkün)
• B) -16: \((-8) + (-8) = -16\) (Mümkün)
• D) 17: \(16 + 1 = 17\) (Mümkün)

3. Adım: C seçeneği (9) için \(8 + 1\) veya benzeri bir toplam gerekir. Ancak elimizdeki listede \(+8\) yoktur. \((-2)^3 = -8\)’dir.

Sonuç: 9 sayısı elde edilemez.

Çözüm: Tekrarlı çarpım işleminde, çarpılan sayı taban, tekrar sayısı ise üs (kuvvet) olarak yazılır.

Burada \( 13 \) sayısı \( 5 \) kez yan yana çarpılmıştır:

$$ \underbrace{13 \cdot 13 \cdot … \cdot 13}_{5 \text{ tane}} = 13^5 $$

Dikkat: Bu ifade \( 13 \cdot 5 \) (toplama/çarpma) değildir, üslü ifadedir.

Analiz: Kaplama sorularında Zemin Alanı / Malzeme Alanı formülü kullanılır. İşlem kolaylığı için verilen tüm sayıları 2 tabanına çevirelim.

1. Adım: Kare zeminin alanı:

$$ \text{Kenar} = 32^3 = (2^5)^3 = 2^{15} $$ $$ \text{Alan} = 2^{15} \cdot 2^{15} = 2^{30} \, \text{cm}^2 $$

2. Adım: Dikdörtgen malzemenin alanı:

$$ \text{Kısa Kenar} = 16^2 = (2^4)^2 = 2^8 $$ $$ \text{Uzun Kenar} = 8^3 = (2^3)^3 = 2^9 $$ $$ \text{Alan} = 2^8 \cdot 2^9 = 2^{17} \, \text{cm}^2 $$

3. Adım: Gerekli malzeme sayısı:

$$ \frac{\text{Zemin Alanı}}{\text{Malzeme Alanı}} = \frac{2^{30}}{2^{17}} = 2^{30-17} = 2^{13} $$

1. Adım: İlk eşitlikte \(-9\) sayısı \(x\) kez çarpıldığı için üs \(x\)’tir:

$$(-9)^{x} = (-9)^{10} \implies x = 10$$

2. Adım: İkinci eşitlikte \(-23\) sayısı 9 kez çarpılmıştır. Üsler tek sayı olduğu için tabanlar eşittir:

$$(-23)^9 = y^9 \implies y = -23$$

Sonuç: Değerleri toplayalım (işaretlere dikkat):

$$x + y = 10 + (-23) = 10 – 23 = \mathbf{-13}$$

1. Adım: İlk eşitlikte tabanı bulalım. \((-9)\) sayısı 3 kez çarpılmış.

$$(-9)^3 = \blacksquare^3$$

Üsler eşit (3) olduğu için tabanlar da eşittir:

$$\blacksquare = -9$$

2. Adım: İkinci eşitlikte üssü bulalım. \(4\) sayısı 6 kez yan yana çarpılmış.

$$4^6 = 4^{\blacktriangle}$$

Tabanlar eşit (4) olduğu için üsler de eşittir:

$$\blacktriangle = 6$$

Sonuç: Bulunan değerleri toplayalım.

$$(-9) + 6 = -3$$

Adım 1: Üslü ifadelerin değerlerini işaretlerine dikkat ederek bulalım:

• \( -3^4 \): Eksi işareti üsse dahil değildir. \( -(3^4) = -81 \)
• \( 3^5 = 243 \)
• \( (-1)^{20} \): Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir. \( +1 \)
• \( -27^0 \): Eksi işareti üsse dahil değildir. \( -(27^0) = -1 \)

Adım 2: Bulduğumuz değerleri işlemde yerine yazalım:

$$ \frac{-81 + 243 – (+1)}{-1} $$

Adım 3: Pay kısmını toparlayıp sonucu bulalım:

$$ \frac{-81 + 243 – 1}{-1} = \frac{161}{-1} = -161 $$