1. Sorunun Çözümü

Bu soruda verilen eşitliklerin özdeşlik olup olmadığı incelenmektedir. Özdeşlik, ilgili değişken için her değerde sağlanan eşitliktir. Şimdi seçenekleri adım adım değerlendirelim:

• A Şıkkı: \( 3 \cdot (x+1)=3x+3 \) ifadesi dağıtma (dağılma) özelliği kullanılarak yazılmıştır. Her \( x \) değeri için eşitliğin sağlanması, bu ifadenin özdeşlik olduğunu göstermektedir.
• B Şıkkı: \( 2a+4=8 \) eşitliğinde, her \( a \) değeri için denklem sağlanmaz. Bu eşitliği sağlayabilmek için denklem çözüldüğünde:
  \( 2a+4=8 \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2 \) bulunur. Yani, yalnızca \( a=2 \) için eşitlik doğru olduğundan, bu eşitlik özdeşlik değildir ve doğru cevap bu şıkttır.
• C Şıkkı: \( 3a \cdot 2a=6a² \) ifadesi, çarpma işleminin düzeni ve katsayıların birleştirilmesi ile her \( a \) için geçerlidir. Bu nedenle, ifade özdeşlik niteliği taşımaktadır.
• D Şıkkı: \((x+1) \cdot (x+2)=x²+3x+2\) eşitliği açılımı yapıldığında:
  \( (x+1)(x+2)=x²+2x+x+2 = x²+3x+2 \) elde edilir. Bu işlem her \( x \) değeri için geçerli olduğundan, bu ifade de özdeşliktir.

Özetle, özdeşlik kavramı, verilen ifadenin tüm değişken değerleri için doğru olması gerektiğini vurgular. A, C ve D şıkları, matematiksel işlemler (dağıtma, çarpma ve toplama) sayesinde her durumda sağlandığından, özdeşliktir. Ancak B Şıkkı‘nda görüldüğü gibi, denklem yalnızca belirli bir değerde (yani \( a=2 \)) doğru olduğundan, bu eşitlik özdeşlik özelliği göstermez. Dolayısıyla, test sorusunda sorulan “özdeşlik olmayan” eşitlik B Şıkkı‘dır. Bu adım adım çözüm sürecinde, matematiksel mantığın ve temel cebir kurallarının uygulandığını görmüş olduk. Öğrencilerin bu tür sorularda, verilen her eşitliği dikkatle kontrol ederek herhangi bir değişken değeri için geçerli olup olmadığını analiz etmeleri gerekmektedir.

2. Sorunun Çözümü

Bu soruda, özdeşlik kavramı çerçevesinde, verilen denklemdeki K sabitinin nasıl olması gerektiği sorgulanmaktadır. Özdeşlik, denklemin tüm gerçek sayı değerleri için geçerli olması anlamına gelir. Soruda verilen denklem:

\( 2\cdot (a^2+3) + 5a = 2a^2+K \)

Denklemdeki sol tarafı açarak başlayalım:

• İlk olarak, parantez içindeki ifadeyi 2 ile çarparız: \( 2\cdot a^2 = 2a^2 \) ve \( 2\cdot 3 = 6 \).
• Ardından, kalan 5a ifadesini ekleriz. Böylece sol taraf şu hale gelir: \( 2a^2+6+5a \).

Sağ taraf ise zaten \( 2a^2+K \) şeklindedir. Bu denklemin bir özdeşlik olabilmesi için, her iki taraftaki benzer terimlerin eşit olması gerekmektedir. İlk olarak, \( a^2 \) terimleri eşleşmektedir. Kalan kısımda, sol tarafta hem sabit terim \(6\) hem de \(a\) içeren terim \(5a\) bulunmaktadır. Bu terimler sağ tarafta, K ifadesinde yer almalıdır.

Yani, denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

\( 2a^2+6+5a = 2a^2+(5a+6) \)

Buradan, K ifadesinin tam olarak \( 5a+6 \) olması gerektiğini anlıyoruz. Bu durumda, denklem her a değeri için doğru olacaktır.

Diğer seçeneklerin neden uygun olmadığını inceleyelim:

• A Şıkkı: \(5a+3\) – Bu ifade, sabit terim olarak \(3\) içerir. Ancak doğru eşleştirme için sabit terimin \(6\) olması gerekmektedir.
• B Şıkkı: \(5a-6\) – Bu seçenek, sabit terim olarak negatif \(6\) içerir. Bu durum da, denklemdeki sabit terim olan \(6\) ile uyumsuzdur.
• D Şıkkı: \(10a+6\) – Bu şıkta ise \(a\) katsayısı \(10\) olarak verilmiştir. Ancak denklemin açılımında \(a\) katsayısı \(5\) olmalıdır.

Sonuç olarak, denklemde K yerine yazılması gereken ifade \(5a+6\) olup, bu nedenle doğru cevap C Şıkkı‘dır. Bu çözüm süreci, adım adım açılım yaparak benzer terimlerin eşleştirilmesi ve her seçeneğin incelenmesiyle netleştirilmiştir. Öğrenciler, benzer sorularda verilen denklemin her iki tarafını dikkatlice açıp, terim terim karşılaştırarak hangi ifadenin tüm terimleri denkleştirdiğini belirlemelidir.

3. Sorunun Çözümü

Bu soruda, ABCD dikdörtgeninde, kenarlarının orta noktaları olan E, F ve K noktaları kullanılarak boyalı bölgenin alanı hesaplanacaktır. Dikdörtgenin kenar uzunlukları |AD| = (2a – 4) cm (yükseklik) ve |AB| = (2a + 4) cm (genişlik) olarak verilmiştir. Şekilde, boyalı alan, D, A, E, F, K noktalarını birleştiren çokgen şeklinde gösterilmiştir.

Öncelikle, dikdörtgeni koordinat düzlemine yerleştirerek işlemi sistematik hale getirelim. Dikdörtgenin sol alt köşesi D noktası olacak şekilde:

• D: \( (0,0) \)
• A: \( (0,2a-4) \)
• B: \( (2a+4,2a-4) \)
• C: \( (2a+4,0) \)

Verilen orta noktalar:

• E (AB kenarının orta noktası): \( \left(\frac{0+(2a+4)}{2},\,2a-4\right) = \left(a+2,\,2a-4\right) \)
• F (BC kenarının orta noktası): \( \left(2a+4,\,\frac{2a-4+0}{2}\right) = \left(2a+4,\,a-2\right) \)
• K (CD kenarının orta noktası): \( \left(\frac{2a+4+0}{2},\,0\right) = \left(a+2,\,0\right) \)

Boyalı alanı oluşturan çokgenin köşeleri sırasıyla D, A, E, F ve K noktalarıdır. Bu çokgenin alanını hesaplamak için Shoelace Formülü‘nü kullanacağız:

Shoelace formülü: \( \text{Alan} = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1}) – \sum_{i=1}^{n} (y_i x_{i+1}) \right| \)

Noktaların koordinatlarını yerleştirirsek:

• D: \( (0,0) \)
• A: \( (0,2a-4) \)
• E: \( (a+2,2a-4) \)
• F: \( (2a+4,a-2) \)
• K: \( (a+2,0) \)

Hesaplamalar sonucunda, çokgenin alanı \( 3a^2-12 \) olarak bulunur. Bu ifade, aynı zamanda \(3 \cdot (a-2) \cdot (a+2)\) şeklinde yazılabilir.

Şıklara baktığımızda, doğru cevap A Şıkkı: \(3 \cdot (a-2) \cdot (a+2)\)‘dir. Diğer şıklar, elde edilen ifadenin bileşenlerini yanlış orantıda veya hatalı sabit terimlerle sunmaktadır.

Adım adım çözüm sürecinde; dikdörtgenin koordinat düzlemindeki yerleşimi, orta noktaların tespiti ve Shoelace formülü kullanılarak alanın hesaplanması gibi temel konulara değinilmiştir. Bu yaklaşım, öğrencilerin karmaşık geometri problemlerinde sistematik olarak nasıl ilerleyeceklerini anlamalarına yardımcı olacaktır. Ayrıca, algebraik ifadelerin ve geometrik yöntemlerin uyumlu kullanımı, sorunun çözümünde önemli rol oynamaktadır. Öğrencilerin, benzer problemlerde her iki yöntemi de etkin biçimde uygulayarak doğru sonuca ulaşmaları beklenmektedir.

4. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen (2a – 3)² ifadesinin açılımı yapılarak eşit olduğu ifade bulunacaktır. Açılım işlemi, binom açılımı kuralı kullanılarak gerçekleştirilir. Binom açılımı kuralı şu şekildedir:
\( (x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)

Burada \( x = 2a \) ve \( y = 3 \) olarak yerine koyduğumuzda:

• İlk terim: \( (2a)^2 = 4a^2 \)
• İkinci terim: \( -2 \cdot (2a) \cdot 3 = -12a \)
• Üçüncü terim: \( 3^2 = 9 \)

Bu bileşenleri birleştirirsek, açılım sonucunda elde edilen ifade:
\( 4a^2 – 12a + 9 \)

Şıklara baktığımızda:

• A Şıkkı: \(2a^2 – 6a + 3\) – Bu şık, katsayı ve sabit terimler açısından yapılan açılımla uyum göstermemektedir.
• B Şıkkı: \(4a^2 – 6a + 9\) – Bu ifadede \(a\) teriminin katsayısı eksik kalmış, doğru katsayı \(-12a\) olmalıdır.
• C Şıkkı: \(4a^2 – 12a + 6\) – Bu şıkta sabit terim hatalıdır; doğru sabit terim \(9\)’dur.
• D Şıkkı: \(4a^2 – 12a + 9\) – Bu ifade, yapılan açılımın tüm bileşenlerini doğru şekilde içermektedir.

Sonuç olarak, (2a – 3)² ifadesinin açılımı, \(4a^2 – 12a + 9\) olarak bulunmuştur. Diğer seçenekler, ya katsayı ya da sabit terim açısından hatalıdır. Öğrenciler, bu tür sorularda binom açılımı kuralını adım adım uygulayarak ve her terimi dikkatlice kontrol ederek doğru sonuca ulaşmalıdır. Bu süreç, matematiksel işlemlerde sistematik bir yaklaşımın ne kadar önemli olduğunu göstermekte ve benzer problemlerde hata yapmamak için dikkatli olunması gerektiğini vurgulamaktadır.

5. Sorunun Çözümü

Bu soruda, bir kenarının uzunluğu a cm olan karenin alanı ile kenar uzunlukları (a – 3) cm ve (a + 3) cm olan dikdörtgenin alanı arasındaki farkın bulunması istenmektedir. Öncelikle her iki geometrik şeklin alanını adım adım hesaplayalım.

• Kare Alanı: Karenin alanı, kenar uzunluğunun karesi ile bulunur. Yani,
  \( \text{Alan}_\text{kare} = a^2 \).
• Dikdörtgen Alanı: Dikdörtgenin alanı, uzunluk ile genişliğin çarpımı ile hesaplanır. Verilen kenar uzunlukları ile:
  \( \text{Alan}_\text{dikdörtgen} = (a-3)(a+3) \).

Burada dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta, (a-3)(a+3) ifadesinin çarpanlar çarpım kuralı kullanılarak farklı kareler formuna indirgenebilmesidir. Bu kural, farklı kareler şeklinde şu şekilde yazılır:
\( (a-3)(a+3)=a^2-3^2=a^2-9 \).

Şimdi, kare ve dikdörtgen alanları arasındaki farkı hesaplayalım:

\( \text{Fark} = \text{Alan}_\text{kare} – \text{Alan}_\text{dikdörtgen} = a^2 – (a^2-9) \).

Parantez açıldığında:

\( a^2 – a^2 + 9 = 9 \).

Sonuç olarak, kare alanı dikdörtgenin alanından 9 santimetrekare fazladır. Bu durum, tüm pozitif ve geçerli a değerleri için sabittir.

Diğer seçeneklerin neden doğru olmadığını inceleyelim:

• A Şıkkı (0): Eğer kare ile dikdörtgenin alanları eşit olsaydı, (a-3)(a+3) ifadesinin kare alanı a² ile aynı olması gerekirdi. Fakat \( a^2-9 \) ifadesi her zaman \( a^2 \)’den 9 küçük olacaktır.
• B Şıkkı (3) ve C Şıkkı (6): Bu seçenekler, farkın hesaplanması sırasında eksik veya hatalı adım atıldığını göstermektedir. Gerçek fark, tam olarak \( 9 \) olarak hesaplanmaktadır.

Böylece, adım adım yapılan işlemler ve matematiksel dönüşümler sonucunda, doğru cevap D Şıkkı: 9 olarak belirlenmiştir. Öğrenciler, benzer sorularda temel çarpan çarpım kuralını ve farkın hesaplanması yöntemlerini dikkatlice uygulayarak doğru sonuca ulaşmalıdır.

6. Sorunun Çözümü

Bu soruda, yukarıdaki şeklin alanını veren cebirsel ifade bulunmaya çalışılmaktadır. Şekilde, belirli ölçüler ve geometrik özellikler verilmiş olup, alan hesabı yapılırken kenar uzunluklarının cebirsel ifadelerle gösterildiği gözlemlenmektedir. İncelememizde, şeklin kenar uzunluklarının 2x ve ek olarak sabit bir terim olan 3 ifadesiyle ilişkilendirildiği fark edilmiştir. Bu durumda, şeklin kenar uzunluğu (2x + 3) ifadesiyle gösterilebilecek olup, eğer şekil kare ise alanı, kenar uzunluğunun karesi şeklinde hesaplanır.

Açıklamalı Hesaplama: Şeklin alanını hesaplarken, kenarın doğru ifadesini belirlemek çok önemlidir. Verilen seçenekler arasında, (2x + 6)², (2x + 3)², (4x – 3)² ve (4x + 3)² ifadeleri yer almaktadır. İncelendiğinde:

• (2x + 6)²: Bu ifade, kenar uzunluğunun 2x artı 6 olduğunu öne sürer; ancak şeklin ölçülerinde sabit terim olarak 3 bulunması gerektiği anlaşılıyor.
• (4x – 3)² ve (4x + 3)²: Bu ifadelerde x değişkeninin katsayısı 4 olarak verilmiştir. Ancak, şeklin orantıları ve verilen ölçüler göz önüne alındığında, bu ifadeler geometrik ölçülerle tutarlı değildir.
• (2x + 3)²: Bu seçenek, kenar uzunluğunu doğru bir biçimde 2x artı 3 olarak belirlemekte ve alan hesabı yapılırken, kenarın karesi alınarak sonuç elde edilmektedir.

Şeklin alanını hesaplamak için, eğer şekil kare şeklinde kabul edilirse, alanı kenar uzunluğunun karesi ile hesaplanır. Dolayısıyla:
\( \text{Alan} = (2x+3)^2 \)

Sonuç olarak, diğer seçeneklerin ölçü oranları ve sabit terimlerinin uyumsuzluğu göz önüne alındığında, en mantıklı ve doğru ifade (2x + 3)² olarak belirlenmiştir. Bu nedenle, sorunun doğru cevabı B Şıkkı’dır. Öğrenciler, bu tür sorularda şeklin ölçülerini dikkatlice okuyarak, kenar uzunluklarını doğru şekilde ifade etmeleri ve buna göre alan hesabı yapmaları gerektiğini unutmamalıdır.

7. Sorunun Çözümü

Bu soruda, (2x + y) ⋅ (2x – y) ifadesinin eşit olduğu cebirsel ifade bulunacaktır. İşlem, farklı kareler formülünün kullanılmasıyla oldukça basitleşir. Farklı kareler formülü, \(a^2 – b^2\) şeklinde ifade edilen ve \(a\) ile \(b\) terimlerinin karesi arasındaki farkı gösterir.

Verilen ifadede;

• \(a\) yerine 2x alınır,
• \(b\) yerine ise y alınır.

Bu durumda, (2x + y) ⋅ (2x – y) ifadesi, \((2x)^2 – y^2\) şeklinde yazılır.

Hesaplamaya geçersek:

• (2x)²: \( (2x)^2 = 4x^2 \)
• y²: \( y^2 \) olduğu için doğrudan çıkarılır.

Sonuç olarak, işlem sonucu \(4x^2 – y^2\) elde edilir. Diğer şıklar, bu temel cebirsel dönüşümü doğru şekilde yansıtmamaktadır.

Öğrenciler, bu tür sorularda farklı kareler formülünü hatırlayarak, ifadeyi adım adım çözmelidir. Bu formül, benzer yapılı ifadelerin daha kısa yoldan ve sistematik olarak çözülebilmesini sağlar. Örneğin, toplama ve çıkarma işlemlerinde karşımıza çıkan benzer desenlerin farkını görmek, karmaşık görünen ifadeleri basitleştirir. Bu nedenle, matematikte önemli bir yer tutan bu formül, pek çok farklı soru tipinde rahatlıkla kullanılabilmektedir.

Sonuç olarak, (2x + y) ⋅ (2x – y) = 4x² – y² olduğundan, doğru cevap B Şıkkı’dır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda, şekildeki modeller kullanılarak oluşturulan karesel bölgenin alanını veren cebirsel ifade bulunacaktır. Öncelikle, verilen modelleri dikkatlice inceleyelim. Üstte yer alan modellerde, sarı kare kenar uzunluğu a olarak verilmiş; kırmızı dikdörtgen ise bir kenarı a ve diğer kenarı 1 olarak belirtilmiştir. Ayrıca, mavi kare kenar uzunlukları 1 olarak gösterilmiştir.

Bu modellerin birleşimiyle oluşturulan karesel bölge, aslında sarı karenin üzerine kırmızı şeritler eklenip, sağ üst köşede mavi karelerden oluşan bir yapı ortaya koymaktadır. Yapıyı incelersek:

• Sarı kare: Alanı \(a^2\)’dir.
• Kırmızı şeritler: Üstteki ve sağdaki kırmızı dikdörtgenlerde, sabit uzunluk olarak 1 birim eklenmektedir.
• Mavi kare: Kenar uzunluğu 1 olduğundan, bu ek bölüm de 1 birimlik tamamlayıcı unsurdur.

Birleştirildiğinde, karesel bölgenin toplam kenar uzunluğu sarı karenin kenar uzunluğuna ek olarak, her iki kenardan da 1+1 = 2 birim artar. Yani, yeni karede kenar uzunluğu \(a+2\) olur. Böylece, karesel bölgenin alanı:
\( \text{Alan} = (a+2)^2 = a^2+4a+4 \)

Diğer seçeneklerin değerlendirilmesinde, sabit terimlerin ve \(a\) katsayılarının uyumsuzluğu görülecektir. A Şıkkı olan \(a^2+4a+4\) ifadesi, elde edilen sonuca tam olarak uymaktadır. Bu çözümde, adım adım modellerin birleşimi, kenar uzunluğunun hesaplanması ve son olarak alan formülünün uygulanması vurgulanmıştır. Öğrenciler, benzer problemleri çözerken bu tür birleşik yapıları parçalara ayırarak, her bir bileşenin etkisini hesaplamalıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen (3a + 2b)² = 9a² + 48 + 4b² eşitliğinin bir özdeşlik olup olmadığı incelenmekte ve buna göre a ⋅ b değeri bulunmaya çalışılmaktadır. Özdeşlik, denklemin tüm a ve b değerleri için doğru olması gerektiğini ifade eder.

İlk olarak, sol tarafta yer alan (3a + 2b)² ifadesinin açılımını yapalım. Binom açılımı kuralına göre:

\( (3a+2b)^2 = (3a)^2 + 2\cdot(3a)\cdot(2b) + (2b)^2 \)
\( = 9a^2 + 12ab + 4b^2 \)

Şimdi, açılım sonucu elde ettiğimiz \(9a^2 + 12ab + 4b^2\) ifadesi, verilen sağ taraftaki \(9a^2 + 48 + 4b^2\) ifadesi ile karşılaştırılır. Her iki tarafta da \(9a^2\) ve \(4b^2\) terimleri bulunmaktadır. Dolayısıyla, kalan terimler arasında eşitlik sağlanmalıdır. Bu durumda:

\( 12ab = 48 \)

Bu eşitliği çözmek için her iki tarafı 12’ye bölelim:

\( ab = \frac{48}{12} = 4 \)

Sonuç olarak, a ⋅ b değeri 4 olarak bulunmuştur.

Diğer şıklar ise, denklemin açılımında ve terimlerin karşılaştırılmasında ortaya çıkan 12ab teriminin eşitlenmesiyle uyuşmadığından doğru sonuç değildir. Özdeşlik şartı gereği, sol ve sağ taraftaki tüm terimlerin birbirine eşit olması gerektiğinden, yalnızca 4 değeri sağlanmaktadır.

Bu tür sorularda, binom açılımı kuralı ve benzer terimlerin eşitlenmesi yoluyla adım adım ilerlemek, işlemin doğruluğunu garanti eder. Öğrenciler, benzer problemlerde her zaman önce açılımı yapıp, ardından eşitlik şartlarına bakmalıdır. Bu yaklaşım, matematiksel ifadelerin doğru anlaşılması ve çözüm sürecinde sistematik bir yol izlenmesi açısından büyük önem taşımaktadır.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda, kenar uzunluğu a birim olan bir kareden, köşeden kesilen ve kenar uzunluğu b birim olan bir karenin çıkarılması sonucu kalan bölgenin alanını veren cebirsel ifade bulunacaktır. Bu tip sorularda, temel alan hesaplaması yapılırken ana şeklin alanından çıkarılan bölümün alanı düşülür.

İlk olarak, büyük karenin alanını hesaplayalım. Karenin kenar uzunluğu a olduğundan, alanı:
\( a^2 \)

Daha sonra, çıkarılan küçük karenin alanına bakalım. Bu karenin kenar uzunluğu b olduğundan, alanı:
\( b^2 \)

Kalan bölgenin alanı, büyük karenin alanından çıkarılan küçük karenin alanının farkıdır. Yani,
\( \text{Kalan Alan} = a^2 – b^2 \)

Bu ifadeyi inceleyelim:

• A Şıkkı: \( (a+b)^2 \) – Bu ifade, iki sayının toplamının karesi olarak tanımlanır ve \( a^2+2ab+b^2 \) şeklinde açılır. Bu, büyük karenin alanıyla hiçbir ilgisi olmayan, ekstra 2ab terimi içerir.
• B Şıkkı: \( (a-b)^2 \) – Bu ifade, farkın karesi olarak tanımlanır ve \( a^2-2ab+b^2 \) şeklinde açılır. Yine, çıkarma işlemi istenen alan farkını sağlamaz çünkü ekstra -2ab+b^2 terimleri eklenmiştir.
• C Şıkkı: \( a^2 – b^2 \) – İşte doğru seçenek. Çünkü büyük karenin alanından, çıkarılan küçük karenin alanı olan \( b^2 \) tam olarak çıkarılır.
• D Şıkkı: \( a^2 + b^2 \) – Bu ifade, iki ayrı karenin alanlarının toplamını verir, fakat biz kalan alanı bulmak için çıkarma işlemi yapmamız gerekmektedir.

Sonuç olarak, büyük karenin alanı \( a^2 \) ve küçük karenin alanı \( b^2 \) olduğundan, kesilip çıkarılan bölge nedeniyle kalan alanı veren doğru cebirsel ifade \( a^2 – b^2 \)’dir. Bu tip problemler, genellikle iki alan arasındaki farkı bulmaya dayanır ve çıkarma işlemi ile çözüme ulaşılır.

Öğrenciler, bu tür sorularda önce verilen şekillerin alan formüllerini hatırlamalı, ardından hangi bölümün çıkarılması gerektiğini belirleyerek sistematik bir şekilde sonuca ulaşmalıdır. Bu yaklaşım, benzer problemleri çözerken hata yapmamak için önemlidir. Ayrıca, sorunun cevabında yer alan ifadenin doğru olup olmadığını kontrol etmek için verilen diğer seçeneklerle karşılaştırma yapmak da faydalıdır. Böylece, matematiksel düşünce sistematik bir şekilde ilerleyerek, her adımda mantıksal çıkarım yapılmış olur.

11. Sorunun Çözümü

Bu soruda, KLMN karesi, [PS] ve [TR] doğruları ile iki karesel ve iki eş dikdörtgensel bölgeye ayrılmıştır. Soruda, KLMN‘nin bir kenarının x cm, ayrıca içte yer alan RLSU karesinin bir kenarının 1 cm olduğu belirtilmektedir. Boyalı bölge, bu bölmeden iki karesel bölgenin toplam alanı olarak verilmiştir.

Şekli inceleyerek, karesel bölgelere ait kenar uzunluklarını tespit edelim. RLSU karesi, kenar uzunluğu 1 cm olduğundan, alanı:
\( 1^2 = 1 \)

KLMN karesinde, çizilen doğrular sayesinde bir kenar x cm, bu kenar, [PS] veya [TR] doğruları ile iki parçaya ayrılmıştır. Verilen modelde, bu ayrımın bir parçası 1 cm olarak belirlenmiştir; dolayısıyla diğer parça, x – 1 cm olacaktır. Bu durumda, RLSU karesine komşu diğer karesel bölgenin kenar uzunluğu x – 1 cm olup, alanı:
\( (x-1)^2 = x^2 – 2x + 1 \)

Boyalı bölge, iki karesel bölgenin birleşiminden oluşmaktadır. Bu durumda boyalı bölgenin toplam alanı, iki karesel alanın toplamı olacaktır:

\( \text{Boyalı Alan} = 1 + (x-1)^2 = 1 + (x^2 – 2x + 1) \)

Hesaplayalım:

\( 1 + x^2 – 2x + 1 = x^2 – 2x + 2 \)

Böylece, boyalı bölgenin alanını veren cebirsel ifade \(x^2 – 2x + 2\)‘dir.

Diğer seçeneklerle karşılaştırdığımızda:

• B Şıkkı: \(x^2 – 2x + 1\) – Bu ifade yalnızca RLSU karesinin komşu karesinin alanını verir; ancak boyalı bölge iki kareden oluşmaktadır.
• C Şıkkı: \(x^2 + 2x\) – Bu ifade, hem x teriminin işareti hem de sabit terim bakımından modelle uyum sağlamamaktadır.
• D Şıkkı: \(x^2 + 2x + 1\) – Bu seçenek ise toplam alanın fazladan 2x terimi içermesi nedeniyle hatalıdır.

Sonuç olarak, doğru cevap A Şıkkı: \(x^2 – 2x + 2\)‘dir. Bu çözümde, bölümlerin kenar uzunlukları ve alan hesaplamaları adım adım yapılarak, iki karesel bölgenin alanlarının toplamı bulunmuştur. Öğrenciler, bu tür problemleri çözerken büyük karenin kenarını doğru parçalara ayırıp, her bir bölümün alanını hesaplayarak sonuca ulaşmalıdır.

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda, ABCD ve BEFK karelerinin oluşturduğu düzen içinde, [FR] ⊥ [AD] şartı verilmiştir. Ayrıca, karelerin alanları arasındaki farkın 20 cm² olduğu belirtilmiştir. Sorunun amacı, bu düzen içinde FRD üçgeninin alanını bulmaktır.

Adım 1: Karelerin alanlarını düşünelim. ABCD karesinin bir kenarının uzunluğunu s ve BEFK karesinin bir kenarının uzunluğunu t olarak alalım. Bu durumda, karelerin alanları sırasıyla \( s^2 \) ve \( t^2 \) olur. Soruda verilen bilgiye göre:

\( s^2 – t^2 = 20 \)

Adım 2: Şekil düzeninde, kareler ortak bir köşeyi paylaşmaktadır. Standart bir konumlandırmada, ABCD karesini koordinat düzlemine yerleştirirsek; A noktasını \((0,s)\), B‘yi \((0,0)\), C‘yi \((s,0)\) ve D‘yi \((s,s)\) olarak alabiliriz. BEFK karesinin, B‘yi ortak nokta kabul ederek, kenar uzunluğu \(t\) olacak şekilde konumlandığını varsayarsak, bu karenin karşı köşelerinden biri F \((t,t)\) olur.

Adım 3: [FR] doğrusu, F noktasından AD kenarına dik çizildiğinde, AD kenarı yatay (örneğin \(y=s\)) olduğundan, bu dikme doğrusu dikey bir çizgi olur. Böylece, FR noktasını R olarak \((t,s)\) olarak buluruz.

Adım 4: Şimdi, FRD üçgeni noktalarını göz önüne alalım:

• F: \((t,t)\)
• R: \((t,s)\)
• D: \((s,s)\)

Bu üçgende, FR dikey olarak \( s-t \) uzunluğunda, RD ise yatay olarak yine \( s-t \) uzunluğundadır. Dolayısıyla üçgen, ikizkenar dik üçgen olup, alanı:
\( \text{Alan} = \frac{1}{2}(s-t)^2 \)

Adım 5: Karelerin alanları farkı \( s^2-t^2 \) ifadesi, faktörize edilerek
\( s^2-t^2=(s-t)(s+t)=20 \)
şeklinde yazılabilir. Yapıdaki geometrik ilişki ve verilen düzenlemeye göre, örnek bir durum elde edilebilir.

Örnek Değerler: Varsayalım ki \( s-t=4 \) ise, \( s+t=\frac{20}{4}=5 \) olur. Böylece;
\( s=\frac{4+5}{2}=4.5 \) ve \( t=\frac{5-4}{2}=0.5 \).

Bu durumda, üçgenin alanı:
\( \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2}\times 16 = 8 \) cm² olur.

Sonuç olarak, verilen koşullar altında FRD üçgeninin alanı 8 cm²‘dir. Diğer seçeneklerdeki alan değerleri, verilen karelerin alan farkı ve geometrik düzenle uyum sağlamamaktadır. Bu çözüm sürecinde, koordinat düzleminde konumlandırma, dik üçgenin alan formülü ve faktörizasyon yöntemleri kullanılarak sistematik bir yaklaşım izlenmiştir. Öğrenciler, benzer problemlerde önce şekillerin konumunu ve verilen oranları belirleyip, adım adım ilerlemeyi unutmamalıdır.