1. Sorunun Çözümü

Öncelikle, iki şeklin eşit sayılabilmesi için hem şekil hem de boyut olarak tamamen örtüşmeleri gerekir. Geometrik olarak eşit şekiller birbirinin üzerine taşınabilir ve tüm noktaları ortak konuma gelir.

Soruda verilen şekilleri inceleyelim:

• (I) Kare
• (II) Daire
• (III) Kare
• (IV) Üçgen

I ve III no’lu kareler; 4 eşit kenar ve 4 dik açıya sahip, aynı boyut ve açı ölçülerine sahip şekillerdir. Bu özellikleriyle birbirleriyle tam örtüşürler ve dolayısıyla eşittir.

Şıklara tek tek bakalım:

• A şıkkı (I – III): Doğru. Çünkü iki kare de aynı ölçülere sahiptir ve karelerin tüm kenarları eşittir.
• B şıkkı (II – III): Yanlış. II bir daire, III bir karedir; şekil özellikleri farklıdır.
• C şıkkı (I – IV): Yanlış. I kare, IV üçgendir; kenar ve açı sayıları uyumsuzdur.
• D şıkkı (II – IV): Yanlış. II daire, IV üçgendir; geometrik yapı olarak birbirinden ayrıdır.

Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.

2. Sorunun Çözümü

Bu soruda dönme (rotasyon) işlemi tanım gereği şeklin yönelimini değiştirse de boyut ve şekil özelliklerini aynı bırakır. Eşkenar üçgenlerde tüm kenarlar eşit uzunluktur; bu nedenle aynı boyutta iki eşkenar üçgen, uygun bir açı kadar döndürüldüğünde tam olarak örtüşür.

Şekilleri detaylı incelediğimizde:

• (I): Tepesi yukarı bakacak şekilde çizilmiş, belirli bir kenar uzunluğuna sahip eşkenar üçgen.
• (II): (I)’den daha büyük boyutta bir eşkenar üçgen; farklı ölçekli olduğu için birebir örtüşmez.
• (III): (I) ile aynı boyutta ve 180° döndürülmüş (I)’in tam tersi yönelime sahip şekli.
• (IV): İkizkenar üçgen; kenar eşitliği ve açı sayısı eşkenardan farklıdır.

Şıklara tek tek bakalım:

• A şıkkı (I – III): Doğru. Çünkü (I) ve (III) eşkenar üçgenler aynı kenar uzunluğuna ve açılara sahiptir; bir dönme işlemiyle birebir örtüşürler.
• B şıkkı (I – II): Yanlış. (II) daha büyük boyutta olduğundan (I) ile ölçek farkı vardır, örtüşemez.
• C şıkkı (II – IV): Yanlış. (II) eşkenar, (IV) ikizkenar; hem boyut hem de kenar-eşitliği farklıdır.
• D şıkkı (III – IV): Yanlış. (III) eşkenar, (IV) ikizkenar; şekil özellikleri örtüşmez.

Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

3. Sorunun Çözümü

Bu soruda yalnızca kaydırma ve dönme işlemleri uygulanabiliyor; yani şekil boyutları ve açıları kesinlikle değiştirilemez. Bu tür dönme ve kaydırma hareketleri, geometride öteleme ve rotasyon adıyla bilinir ve şeklin her noktasının orijinal uzaklıklarını korur.

Şekilleri inceleyelim:

• (I) T-şekli, belirli sabit ölçülerde ve yönelimde.
• (II) (I) şeklinin 180° döndürülmüş ve uygun şekilde kaydırılmış hali; boyut ve açıları tamamen aynı.
• (III) (I) şeklinin ölçeklendirilmiş versiyonu; kenar uzunlukları farklı olduğu için birebir örtüşmez.
• (IV) Farklı bir L-şekli; hem yapı hem de açı düzeni (I) ve (II)’den farklıdır.

Şıklara bakalım:

• A şıkkı (I – II): Doğru. Çünkü (II), (I) şeklinin yalnızca dönme ve kaydırma işlemleriyle elde edilmiş hali; tüm kenar uzunlukları ve açılar aynı kalır.
• B şıkkı (I – III): Yanlış. (III) ölçek değişikliğine uğramış, dolayısıyla kenar uzunlukları farklıdır; sadece kaydırma/dönme ile örtüşemez.
• C şıkkı (II – IV): Yanlış. (II) T-şekli, (IV) L-şekli; şekil yapıları ve açı sayıları farklıdır.
• D şıkkı (III – IV): Yanlış. Hem ölçek farkı hem de farklı şekil yapısı nedeniyle hiçbir rigid hareket (kaydırma/dönme) ile örtüşmezler.

Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

4. Sorunun Çözümü

Verilen şekil detaylı olarak incelendiğinde; bir kare içerisindeki doğrusal bölünmeler, renkli ve beyaz alan düzeni ile beyaz alandaki küçük noktanın konumu önemlidir. Eşlik ilişkisi için sadece kaydırma, dönme veya gerekirse yansıtma işlemleriyle şeklin her bir noktasının birebir örtüşmesi gerekir. Şeklin ana özelliklerini sıralayalım:

• Kare formu: Dış kenar kalınlığı siyah, dört eşit kenar.
• İç bölünmeler: Bir ana köşegen ve yatay bir bölme çizgisi.
• Renk düzeni: Sol üst küçük üçgen beyaz, sağ alt üçgen turuncu, sol alt büyük dikdörtgen turuncu.
• Noktanın konumu: Sağ üst büyük bölgenin ortasına yakın siyah nokta.

Şıklarda aşağıdakiler gözlemlenir:

• A şıkkı (I): Yanlış. Ana bölünme açısı aynı gibi görünse de noktanın konumu farklı bir bölgeye kaymış.
• B şıkkı (II): Doğru. Kare, bölme çizgileri, turuncu ve beyaz alanlar ile noktanın yeri tam olarak orijinaliyle örtüşüyor. Yalnızca istenirse bir dönme ve kaydırma işlemiyle birebir eşlenebilir.
• C şıkkı (III): Yanlış. Ölçek ya da renk yoğunluğu farklı değilse de nokta ve bölünme açısı orijinalden farklı konumda.
• D şıkkı (IV): Yanlış. Hem bölme çizgisi açısı hem de renk çizelgesi orijinalden tamamen sapıyor.

Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

5. Sorunun Çözümü

Öncelikle sol taraftaki üçgeni inceleyelim. Üçgenin alt tabanı yatay ve iki uç noktası arasındaki uzaklık 9 birim olarak ölçülürken, tabana dik inilen yüksekliği 6 birimdir. Dolayısıyla bu üçgenin yükseklik/taban oranı

\( \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \)

Kenar uzunlukları ve açı düzeni sabit kaldığı için benzerlik, bu oranın korunmasına dayanır.

Şimdi seçeneklerdeki üç noktayla oluşturulan küçük üçgenleri ele alalım:

• 1, 2 ve 3 noktaları:
• Taban: Noktalar 1 ve 3 arasındaki yatay uzaklık 3 birim.
• Yükseklik: Nokta 2’den tabana indirilen dik uzaklık 2 birim.
• Bu üçgenin oranı da \( \dfrac{2}{3} \) olup, orijinal üçgenle tam örtüşür.
• 2, 3 ve 4 noktaları:
• Taban yatay değil, şekil yönelimi farklıdır; oran hesabı bileşenleri uyumsuz kalır.
• 1, 2 ve 4 noktaları:
• Taban uzunluğu ve yükseklik farklı ölçeklendirilmiş, açı düzeni bozulmuş olur.
• 1, 3 ve 4 noktaları:
• Bu üçgen de hem taban yönelimi hem de kenar uzunlukları açısından uyumsuzluk gösterir.

Görüldüğü gibi yalnızca A şıkkı (1, 2 ve 3) ile oluşturulan üçgen, hem kenar oranları hem de açı düzeni bakımından orijinal üçgenle birebir benzerlik gösterir. Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

6. Sorunun Çözümü

Bu soruda verilen dikdörtgenin benzerini tamamlayabilmek için, orijinal dikdörtgenin en-boy oranını bulmamız gerekir. Kareli zemine baktığımızda orijinal dikdörtgenin genişliği 6 birim, yüksekliği 3 birim olarak ölçülür. Dolayısıyla oran:

\( \dfrac{6}{3} = 2 \) (en/boy)

Yeni şekilde çizilmiş L-çiziminde yatay kenarın uzunluğu 4 birim, dikey kenarın uzunluğu 2 birim olarak verilmiştir. Bu ikisinin oranı da:

\( \dfrac{4}{2} = 2 \)

Dolayısıyla; çizilen kısım ile orijinal dikdörtgen aynı orana sahiptir ve benzerlik koşulları sağlanır. Şekli tamamlamak için bu köşeden doğru uzaklıkta bir nokta bulmalıyız. Aşağıdaki şıklarda nokta konumlarını değerlendirelim:

• A şıkkı (1): Yanlış. Bu nokta yatayda 3, dikeyde 2 birim uzaklıkta; yatay uzunluk eksik kalır.
• B şıkkı (2): Doğru. Bu nokta çizilen L’nin başlangıç noktasından 4 birim yatay ve 2 birim dikey uzaklıktadır; orijinal dikdörtgenin boyutlarına tam uyuyor.
• C şıkkı (3): Yanlış. Burası yatayda 4 birim ama dikeyde 1 birim uzaklıkta; yükseklik eksik.
• D şıkkı (4): Yanlış. Burada hem yatay hem de dikey uzaklık orijinal ölçülere uymaz.

Sonuç olarak, doğru tamamlayıcı köşe 2 nolu noktadır ve doğru cevap B şıkkıdır.

7. Sorunun Çözümü

Benzerlik tanımına göre; iki şeklin birbirine benzer olabilmesi için açıları eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının sabit bir orana sahip olması gerekir. Yani hem açılar hem de kenar oranları korunmalıdır.

Şeklimiz kareli zemine yerleştirilmiş karmaşık bir çokgen değildir; dik açılı birleşim noktalarından oluşan bir L-şeklidir. Ana L-şeklin:

• Yatay bacağı: 3 kare uzunluğunda
• Dikey bacağı: 2 kare uzunluğunda
• Açıları: Tüm iç açılar dik açı (90°)

Dolayısıyla aradığımız benzer şekil de bu kriterleri taşımalıdır:

• İç açılar 90°
• Yatay/dikey bacak oranı \(\tfrac{3}{2}\)

Şıklardaki değerlendirme:

• I: 3 birim yatay, 2 birim dikey; tüm açı dik, oran \(\tfrac{3}{2}\). Doğru.
• II: 2 birim yatay, 3 birim dikey; açı dik ama oran \(\tfrac{2}{3}\), yanlış ölçek.
• III: Görselde yatay veya dikey bacak uzunlukları farklı; oran tutmuyor.
• IV: Ek parça veya farklı açılar içeriyor; hem kenar sayısı hem de açı düzeni farklı.

Yalnızca I numaralı seçenek hem açı hem de kenar oranlarından benzerlik koşulunu sağlar. Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda iki dik üçgenin birbirine benzer olup olmadığını anlamak için karşılıklı kenar uzunluklarının oranını hesaplamamız gerekir. Benzerlik koşulu, tüm kenar çiftlerinin aynı orana sahip olmasını gerektirir.

Şekle göre ölçümler:

• Küçük üçgen: Yatay = 3, Dikey = 4, Hipotenüs = 5 (3–4–5 üçgeni).
• Büyük üçgen: Yatay = 6, Dikey = 8, Hipotenüs = 10 (6–8–10 üçgeni).

Kenarlara ait oranlar:

\(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)

Görüldüğü gibi her üç oran da \(\tfrac{1}{2}\) olup, benzerlik oranı sabittir.

Şıklarda diğer oranlara neden uyulmadığına bakalım:

• A) \(\tfrac{1}{4}\): Yanlış. Ne yatay ne dikey kenar bu oranı vermez.
• B) \(\tfrac{2}{3}\): Yanlış. Ölçülen değerler bu orana yakın değildir.
• C) \(\tfrac{1}{3}\): Yanlış. Hem yatay hem dikey oran için geçersiz.
• D) \(\tfrac{1}{2}\): Doğru. Tüm kenar oranlarıyla birebir örtüşen tek seçenek.

Bu nedenle doğru cevap D şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

İki eşkenar üçgen arasında verilen benzerlik oranı 3 : 8 şeklindedir. Bu oran, küçük üçgenin bir kenar uzunluğunun büyük üçgenin bir kenar uzunluğuna oranını belirtir. Yani

\(\dfrac{\text{küçük üçgen kenarı}}{\text{büyük üçgen kenarı}} = \dfrac{3}{8}\)

Buna göre, küçük üçgenin kenar uzunluğu \(3\,\text{cm}\) verilmiştir. Büyük üçgenin kenar uzunluğunu \(x\,\text{cm}\) olarak alalım. Benzerlik oranı denklemine yerleştirirsek:

• \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{3}{8}\)

Bu eşitliği çözmek için paydaları eşitleyelim:

• \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{3}{8}\) ise
• Her iki tarafı 3’e böldüğümüzde: \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{8}\)
• Buradan \(x = 8\,\text{cm}\) bulunur.

Şimdi diğer şıkların neden doğru olmadığına bakalım:

• B şıkkı (10 cm): Yanlış. Çünkü \(\tfrac{3}{10}=0{,}30\) ve bu oran \(\tfrac{3}{8}=0{,}375\) ile uyuşmaz.
• C şıkkı (12 cm): Yanlış. Çünkü \(\tfrac{3}{12}=0{,}25\), orijinal oranı sağlamaz.
• D şıkkı (14 cm): Yanlış. Çünkü \(\tfrac{3}{14}\approx0{,}214\), benzerlik koşulunu karşılamaz.

Sonuç olarak, benzerlik oranına uygun tek değer 8 cm olup, doğru cevap A şıkkıdır.

10. Sorunun Çözümü

Benzer iki dikdörtgenin benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının aynı yönde (kısa kenar ile kısa kenar ya da uzun kenar ile uzun kenar) oranlanmasıyla bulunur. Soruda yalnızca kısa kenar uzunlukları verilmiş: 3 cm ve 7 cm. Dolayısıyla benzerlik oranı

\(\dfrac{\text{kısa kenar}_\text{küçük}}{\text{kısa kenar}_\text{büyük}} = \dfrac{3}{7}\)

Bu oran, kısa kenarlar üzerinden hesaplandığında tüm kenarlar için aynı sabit oranı vereceğinden, benzerlik oranı \(\tfrac{3}{7}\) olur.

Şıklardaki diğer oranların neden uygun olmadığını inceleyelim:

• A) \(\tfrac{2}{7}\): Yanlış. Bu oran, verilen kısa kenar uzunluklarının hiçbirine karşılık gelmez.
• B) \(\tfrac{3}{5}\): Yanlış. 5 cm gibi bir kısa kenar uzunluğu verilmemiş; oran tutmaz.
• C) \(\tfrac{3}{7}\): Doğru. Küçük ve büyük dikdörtgenin kısa kenarları arasındaki gerçek orandır.
• D) \(\tfrac{2}{5}\): Yanlış. Hem 2 cm hem de 5 cm kısa kenarlar elimizde yok; benzerlik oranı bu şekilde oluşmaz.

Sonuç olarak, benzerlik oranı \(\tfrac{3}{7}\) olduğu için doğru cevap C şıkkıdır.

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda iki kare karşılaştırılıyor. Benzerlik oranı, küçük karenin bir kenarının büyük karenin aynı kenarına bölünmesiyle elde edilir. Noktalı zemine bakarak ölçümler şu şekildedir:

• Küçük kare: 4 birim × 4 birim
• Büyük kare: 7 birim × 7 birim

Benzerlik oranını matematiksel olarak ifade edersek:

\(\displaystyle \frac{\text{küçük kare kenarı}}{\text{büyük kare kenarı}} = \frac{4}{7}\)

Bu oran, tüm kenar uzunlukları için aynı olacak ve benzerlik koşulunu sağlar. Şimdi diğer şıkların neden uygun olmadığını inceleyelim:

• A şıkkı \(\displaystyle \tfrac{4}{7}\): Doğru. Ölçülen kenar uzunluklarından elde edilen gerçek orandır.
• B şıkkı \(\displaystyle \tfrac{3}{8}\): Yanlış. Ne küçük ne de büyük karenin kenar ölçüsü bu oranı vermez.
• C şıkkı \(\displaystyle \tfrac{3}{7}\): Yanlış. Küçük karenin kenarı 3 birim değil, 4 birimdir; oran hatalıdır.
• D şıkkı \(\displaystyle \tfrac{5}{8}\): Yanlış. 5 ve 8 birimlik kenarlar elimizde yoktur; benzerlik oranı bu değerle uymaz.

Sonuç olarak, benzerlik oranı \(\displaystyle \tfrac{4}{7}\) olup, doğru cevap A şıkkıdır.

14. Sorunun Çözümü

Bu soruda iki kareli zemine çizilmiş şeklin en-boy oranı kullanılarak benzerlik oranı bulunur. Ölçümlere göre:

• Genişlik (en): Küçük şekil = 3 birim, Büyük şekil = 6 birim
• Yükseklik (boy): Küçük şekil = 2 birim, Büyük şekil = 4 birim

Benzerlik oranını hem genişlik hem yükseklik için hesaplayalım:

\(\dfrac{\text{küçük en}}{\text{büyük en}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\text{küçük boy}}{\text{büyük boy}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)

Görüldüğü gibi her iki yönde de oran \(\tfrac{1}{2}\)’dir. Bu, benzerlik oranının kesinlikle \(\tfrac{1}{2}\) olduğunu gösterir.

Şıklardaki durumlar:

• A) \(\tfrac{2}{3}\): Yanlış. Ölçümlere uymaz.
• B) \(\tfrac{3}{4}\): Yanlış. Ne en ne boy oranı bu değeri vermez.
• C) \(\tfrac{1}{3}\): Yanlış. Ölçülen oranlar farklıdır.
• D) \(\tfrac{1}{2}\): Doğru. Hem en hem boy oranı bu değerle birebir örtüşür.

Sonuç olarak doğru cevap D şıkkıdır.

16. Sorunun Çözümü

Benzerlik oranı bir şeklin linear (doğrusal) oranıdır. İki karenin benzerlik oranı \(\tfrac{3}{5}\) verildiğine göre, bu oran bir kenarın uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder:

\(\dfrac{\text{küçük karenin kenarı}}{\text{büyük karenin kenarı}} = \dfrac{3}{5}\)

Karelerin alanları ise kenar uzunluklarının karesi kadar değişir. Yani alanlar oranı, linear oranın karesine eşittir:

\(\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2 = \tfrac{3^2}{5^2} = \tfrac{9}{25}\)

Dolayısıyla, küçük karenin alanının büyük karenin alanına oranı \(\tfrac{9}{25}\) olacaktır.

Şıklardaki diğer seçenekler neden uygun değildir?

• A) \(\tfrac{4}{25}\): Yanlış. Bu değer \(\tfrac{3}{5}\) oranının karesi değil, \(\tfrac{2}{5}\) oranının karesi olurdu.
• B) \(\tfrac{3}{5}\): Yanlış. Bu değer linear orandır; alan oranı için kare alınması gerekir.
• C) \(\tfrac{9}{25}\): Doğru. Linear oranın karesi alınarak elde edilen alan oranıdır.
• D) \(\tfrac{2}{5}\): Yanlış. Bu da uygun olmayan bir linear orandır; alan oranı kareye bağlıdır.

Sonuç olarak, iki karenin alanları oranı \(\tfrac{9}{25}\) olup doğru cevap C şıkkıdır.