2. Sorunun Çözümü

LPG sisteminin %40 yakıt tasarrufu sağladığına göre, benzinle aynı mesafede aylık elde edilen tasarruf miktarını hesaplayalım:
Araç ayda 1000 km yol alıyor ve kilometrede 0,50 TL benzin harcıyor. Bu durumda benzinle aylık maliyet \(\displaystyle 1000\times0{,}50 = 500\text{ TL}\). %40 tasarruf demek, \(\displaystyle 0{,}40\times500 = 200\text{ TL}\) aylık kazanç demektir.

Başlangıçta yapılan LPG takılma maliyeti 3000 TL’dir. Ayrıca her 12 ayda bir 600 TL bakım ücreti ödenmektedir. Bu bakıma, 12. ayın sonunda mutlaka ihtiyaç vardır çünkü ilk bakım aylık tasarruflara ek yük getirir.

Aşama 1 – 12 aydan önce kâr/zarar:
1–11. aylar arasında bakım ücreti yoktur, toplam maliyet = 3000 TL, toplam tasarruf = \(\displaystyle 200n\) TL. \(\displaystyle 200n = 3000\) ⇒ \(\displaystyle n=15\). Ancak 15 ay, 12. aydan sonra bir bakım olduğu için bu hesap eksiktir.

Aşama 2 – 12. aydan sonra toplam maliyet:
12. ay sonunda ek 600 TL bakım ücreti gelir. Yeni toplam maliyet = \(\displaystyle 3000 + 600 = 3600\) TL. Bu tutarın tasarrufa eşitlenmesi için \(\displaystyle 200n = 3600\) ⇒ \(\displaystyle n=18\).

• A (15) – Yanlış: Bakım maliyeti ihmal edilmiştir.
• B (16) – Yanlış: Hem takılma hem bakım maliyetleri dengelenmemiştir.
• C (18) – Doğru: 12. ay bakımından sonra toplam 3600 TL maliyete 18 ayda eşit tasarruf sağlanır.
• D (21) – Yanlış: Gereksiz yere daha fazla ay eklenmiş, bakım zaten 12. ayda hesaplanmıştır.

Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

3. Sorunun Çözümü

Soru Metni: Sertap’ın yaşının 7 fazlası, 22’den büyüktür. Bunu eşitsizlik sembolleriyle ifade etmek istiyoruz. Öncelikle “7 fazlası” ifadesini matematiksel olarak yazalım: \( x + 7 \) ve bu ifadenin “22’den büyük” olması demek: \( x + 7 > 22 \).

Aşama 1 – Eşitsizliği basitleştirme:
\( x + 7 > 22 \) eşitsizliğinde, her iki taraftan 7 çıkarılır: \( x + 7 – 7 > 22 – 7 \) ⇒ \( x > 15 \).

Aşama 2 – Şıklarla karşılaştırma:
Elde ettiğimiz sonuç \( x > 15 \) olduğuna göre doğru şık “D” olmalıdır.

• A (\( x \geq 15 \)) – Yanlış: “\(\geq\)” ifadesi “büyük veya eşit” demektir, ama biz “eşit” durumunu içermiyoruz.
• B (\( x \leq 15 \)) – Yanlış: “\(\leq\)” ifadesi “küçük veya eşit” anlamına gelir, fakat soru “büyüktür” diyor.
• C (\( x < 15 \)) – Yanlış: “\<” sembolü tam tersi yönlüdür; bizim eşitsizliğimiz “x” in 15’ten büyük olması gerekir.
• D (\( x > 15 \)) – Doğru: Hem sembol hem de eşitsizlik yönü, sorunun koşuluyla tam olarak örtüşmektedir.

Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

4. Sorunun Çözümü

Soru Metni: \(-2x + 5 < x + 11\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Burada amaç, x terimlerini bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplamak ve eşitsizliği basitleştirmektir.

Aşama 1 – x’li terimleri birleştirme:
Başlangıç: \( -2x + 5 < x + 11 \)
Her iki taraftan \(x\) çıkarılır: \( -2x – x + 5 < 11 \) ⇒ \( -3x + 5 < 11 \).

Aşama 2 – Sabit terimleri izole etme:
Her iki taraftan 5 çıkarılır: \( -3x < 11 - 5 \) ⇒ \( -3x < 6 \).

Aşama 3 – Bölme ve eşitsizlik yönü:
Her iki tarafı -3 ile bölerken eşitsizlik yönü değişir (çünkü negatif sayıya bölüyoruz):
\( x > \frac{6}{-3} \) ⇒ \( x > -2 \).

• A (-2’den büyük reel sayılar) – Doğru: Eşitsizlik çözümüne tam olarak karşılık gelir: \(x > -2\).
• B (-2’den küçük reel sayılar) – Yanlış: Eşitsizlik yönü ters alınmış, doğru olan “büyük” iken burada “küçük” denmiş.
• C (2’den küçük reel sayılar) – Yanlış: Sınır değeri -2 iken burada 2 kullanılmış; alakasız bir değer.
• D (2’den büyük reel sayılar) – Yanlış: Hem sınır hem de işaret hatalı; doğru çözümde \(x > -2\) olmalı.

Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.

5. Sorunun Çözümü

Soru Metni: \(4x + 13 > 10\) eşitsizliğini sağlayan sayıyı bulmamız isteniyor.

Aşama 1 – Sabit terimi izole etme:
\(4x + 13 > 10\) ifadesinden her iki taraftan 13 çıkarılır: \(4x > 10 – 13\) ⇒ \(4x > -3\).

Aşama 2 – Bölme işlemi:
Her iki taraf 4 ile bölündüğünde (4 pozitif olduğundan eşitsizlik yönü değişmez):
\(x > \frac{-3}{4}\) ⇒ \(x > -0{,}75\).

Böylece eşitsizliği sağlayan tüm değerler \(x > -0{,}75\) olur. Seçeneklere bakıldığında yalnızca 0, diğerlerinden büyük olduğu için uygun tek tam sayıdır.

• A (−3) – Yanlış: \(-3 \not> -0{,}75\).
• B (−2) – Yanlış: \(-2 \not> -0{,}75\).
• C (−1) – Yanlış: \(-1 \not> -0{,}75\).
• D (0) – Doğru: \(0 > -0{,}75\), eşitsizliği sağlar.

Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

6. Sorunun Çözümü

Soru Metni: Aşağıdaki sayı doğrusunda ortada boş (dolu olmayan) bir nokta ve sağa doğru uzayan kırmızı bir ok var. Orta nokta 4 rakamı ile gösterilmiş, boş nokta eşitsizlikte eşitliği içermediğini, kırmızı ok sağ yönlü sonsuzluğu temsil eder.

Aşama 1 – Boş noktanın anlamı:
Boş (hollow) nokta dahil edilmez. Yani \(x = 4\) durumu eşitlik içermemektedir.

Aşama 2 – Oku izleme:
Okun sağa uzanması, x değerlerinin 4’ten büyük olduğunu gösterir.

Aşama 3 – Eşitsizlik yazımı:
“4’ten büyük” ifadesi matematiksel olarak \(x > 4\) şeklinde yazılır. Eşitsizliği kısa ve doğru ifade edersek: \(4 < x\).

• A (\(4 \geq x\)) – Yanlış: “\(\geq\)” eşitliği içerir ve ok yönü de sola dönük olurdu.
• B (\(4 \leq x\)) – Yanlış: “\(\leq\)” ifadesi “x ≥ 4” demektir, ancak bu durumda eşitlik dahil edilir ki grafik boş nokta bunu reddeder.
• C (\(4 > x\)) – Yanlış: Bu ifade “x < 4” demektir; ok yönü grafikte sağa değil sola olurdu.
• D (\(4 < x\)) – Doğru: Hem boş nokta (eşitsizlik) hem de sağa uzanan ok (büyüktür yönü) koşuluyla tam uyumlu.

Öğrenciler, sayı doğrusu yorumlarken noktanın doluluk/boşluk durumuna ve ok yönüne mutlaka dikkat etmelidir. Boş nokta eşitliğin dahil edilmediğini, ok yönü ise değerlerin artan mı azalan mı olduğunu gösterir. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

7. Sorunun Çözümü

Soru Metni: \(3x + 7 \leq 22\) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayıyı bulmamız isteniyor. Gerçek bir matematik öğretmeni yaklaşımıyla adım adım inceleyelim:

Aşama 1 – Sabit terimi izole etme:
Eşitsizlikteki +7 teriminden kurtulmak için her iki taraftan 7 çıkarırız:
\(\displaystyle 3x + 7 – 7 \leq 22 – 7\) ⇒ \(\displaystyle 3x \leq 15\).

Aşama 2 – Katsayılı terimi bölme:
Şimdi her iki tarafı pozitif olan 3 ile böleriz. Eşitsizlik yönü değişmez:
\(\displaystyle x \leq \frac{15}{3}\) ⇒ \(\displaystyle x \leq 5\).

Buradan, eşitsizliği sağlayan tüm reel sayılar \(x \leq 5\) biçimindedir. Bizden isteğe göre en büyük tam sayıyı seçmemiz gerekiyor.

• A (3) – Yanlış: 3 ≤ 5 eşitsizliği sağlasa da, daha büyük bir tam sayı mevcut.
• B (4) – Yanlış: 4 ≤ 5 doğru, ancak 5 tam sayısı hâlâ daha büyüktür.
• C (5) – Doğru: 5 ≤ 5 koşulunu sağlar ve eşitsizlik kümesindeki en büyük tam sayıdır.
• D (6) – Yanlış: 6 ≤ 5 yanlış; eşitsizliği bozduğu için uygun değildir.

Öğrenciler, bu tür sorularda önce eşitsizliği doğru adımlarla çözmeli, ardından seçenekleri kritik değere göre test etmelidirler. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Soru Metni: \(3x + 7 \leq 20\) eşitsizliğini sağlamayan sayıyı bulmamız isteniyor. Yani önce eşitsizliği çözerek, seçenekleri bu kritere göre değerlendireceğiz.

Aşama 1 – Sabit terimi izole etme:
\(3x + 7 \leq 20\) eşitsizliğinde her iki taraftan 7 çıkarılır:
\(3x \leq 20 – 7\) ⇒ \(3x \leq 13\).

Aşama 2 – Katsayıya bölme:
Her iki taraf 3 ile bölünür (pozitif olduğu için yön değişmez):
\(x \leq \frac{13}{3}\) ⇒ \(x \leq 4{,}33\ldots\).

Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan tüm tam sayılar \(x \leq 4{,}33\ldots\) kümesine aittir, yani \(\dots, 2, 3, 4\) değerleri uygundur; 5 ise eşitsizliği bozar.

• A (2) – Yanlış: \(\,2 \leq 4{,}33\ldots\) olduğundan eşitsizliği sağlar.
• B (3) – Yanlış: \(\,3 \leq 4{,}33\ldots\) olduğundan eşitsizlik sağlanır.
• C (4) – Yanlış: \(\,4 \leq 4{,}33\ldots\) olduğundan eşitsizlik sağlanır.
• D (5) – Doğru: \(\,5 > 4{,}33\ldots\) olduğu için eşitsizliği sağlamaz.

Öğrenciler, önce eşitsizliği adım adım çözmeli, ardından elde ettikleri kritik değere göre her seçeneği test etmelidir. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

Soru Metni: “8 fazlası 4’ten büyük sayılar” ifadesini doğru bir doğrusal eşitsizlik olarak yazmamız isteniyor. Burada “8 fazlası” derken bir sayının üzerine 8 eklediğimiz, “4’ten büyük” derken de o ifadenin 4’ten büyük olması gerektiğini anlıyoruz.

Aşama 1 – İfade kurulumu:
Bir sayıyı temsil eden x değişkenine 8 eklediğimizde \(x + 8\) elde ederiz. Bunun 4’ten büyük olması demek: \(x + 8 > 4\).

Aşama 2 – Basitleştirme (isteğe bağlı):
Elde ettiğimiz eşitsizliği sadeleştirirsek: \(x + 8 > 4\) ⇒ \(x > 4 – 8\) ⇒ \(x > -4\). Yani “8 fazlası 4’ten büyük” olan değerler, \(-4\)’ten büyük x değerleridir. Ancak soruda eşitsizliği doğrudan hangi ifade ile yazacağımız sorulduğundan, \(x + 8 > 4\) kalıbı en uygunudur.

• A (\(x + 8 < 4\)) – Yanlış: Burada “küçüktür” (<) işareti kullanılmış, oysa soruda “büyüktür” (>) denmiştir.
• B (\(x – 8 < 4\)) – Yanlış: “8 fazlası” yerine “8 çıkarılması” ifadesi olmuş; cümlenin anlamını kaybetmiştir.
• C (\(x + 8 > 4\)) – Doğru: Hem “8 fazlası” doğru şekilde \(x + 8\) ile, hem de “4’ten büyük” doğru işaretle (>) gösterilmiştir.
• D (\(x – 8 > 4\)) – Yanlış: Yine “8 fazlası” yerine “8 çıkarılması” ifadesi ve eşitsizlik yönü yanlış kullanılmıştır.

Öğrenciler, metinsel ifadeleri eşitsizlik sembollerine çevirirken önce hangi işlemin (toplama mı çıkarma mı) ve hangi karşılaştırma (büyüktür mü, küçüktür mü) olduğu üzerinde dikkatlice düşünmelidir. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

10. Sorunun Çözümü

Soru Metni: \(4m – 9 < 15\) eşitsizliğini sağlayan en büyük doğal sayıyı bulmamız isteniyor. Doğal sayılar genellikle 0, 1, 2, 3, … gibi tamsayılar olarak tanımlanır.

Aşama 1 – Eşitsizliği basitleştirme:
\(4m – 9 < 15\) eşitsizliğinde önce −9 terimini verilerden soyutlayalım:
\(4m – 9 + 9 < 15 + 9\) ⇒ \(4m < 24\).

Aşama 2 – Bölme işlemi ve işaret kontrolü:
Burada katsayı 4 pozitiftir; bu nedenle eşitsizlik yönü değişmeden her iki tarafı 4 ile bölelim:
\(m < \frac{24}{4}\) ⇒ \(m < 6\).

Elde ettiğimiz sonuç, tüm doğal sayıların \(m = 0, 1, 2, 3, 4, 5\) olabileceğini gösterir. Bu kümede en büyük doğal sayı 5’tir.

• A (6) – Yanlış: 6 sağlamaz, çünkü \(4\cdot6 – 9 = 24 – 9 = 15\) ve \(\;15 < 15\)\; koşulu geçerli değildir.
• B (5) – Doğru: \(4\cdot5 – 9 = 20 – 9 = 11\) ve \(\;11 < 15\)\; olduğu için eşitsizlik sağlanır.
• C (4) – Yanlış: \(4\cdot4 – 9 = 16 – 9 = 7\) ile eşitsizlik sağlansa da, daha büyük bir doğal sayı (5) mevcuttur.
• D (3) – Yanlış: \(4\cdot3 – 9 = 12 – 9 = 3\) de eşitsizliği sağlasa bile, en büyük doğal sayı değildir.

Öğrenciler, eşitsizlik çözerken önce adım adım terimleri izole etmeli, ardından doğal sayılar kümesini göz önünde tutarak en büyük veya en küçük değeri belirlemelidir. Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.

11. Sorunun Çözümü

Soru Metni: Bir sayının 5 katının üzerine 12 eklediğimizde elde edilen sonuç 47’den küçük ise, bu durumu sağlayan tam sayıların en büyüğünü bulacağız.

Aşama 1 – Eşitsizliği kurma:
Sayıyı x olarak aldığımızda ifade şu şekilde yazılır: \(5x + 12 < 47\).

Aşama 2 – Sabit terimi çıkarma:
Her iki taraftan 12 çıkarılır: \(5x < 47 - 12\) ⇒ \(5x < 35\).

Aşama 3 – Katsayıya bölme:
Her iki tarafı 5 ile böldüğümüzde (5 pozitif olduğundan eşitsizlik yönü değişmez): \(x < \tfrac{35}{5}\) ⇒ \(x < 7\).

Böylece x tam sayı olacak şekilde x < 7 koşulunu sağlar. Bu kümedeki tam sayılar …, 4, 5, 6 şeklindedir ve en büyük tam sayı 6 olur.

• A (9) – Yanlış: 9 sağlamaz, çünkü \(5\cdot9 + 12 = 57\) ve \(\;57 \not< 47\)\>.
• B (8) – Yanlış: 8 için \(5\cdot8 + 12 = 52\); \(\;52 \not< 47\)\>.
• C (7) – Yanlış: 7 için \(5\cdot7 + 12 = 47\); eşitsizlik “<" olduğundan eşitlik kabul edilmez.
• D (6) – Doğru: 6 için \(5\cdot6 + 12 = 42\) ve \(\;42 < 47\)\>, koşulu sağlar.

Öğrenciler, bu tür metin ifadeleri eşitsizliğe çevirirken önce adımları dikkatlice yazar, sabit terimi izole eder, sonra katsayıya bölerek kritik değeri bulur. Ardından seçenekleri bu kritik değere göre test ederek en doğru cevabı tespit etmelidir. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

12. Sorunun Çözümü

Soru Metni: “Bir otobüsteki; kadınların sayısının 2 katının 3 fazlası, erkeklerin sayısının 5 eksiğinden büyüktür.” Burada kadınların sayısını x, erkeklerin sayısını y olarak tanımlayalım.

Aşama 1 – Kadın ifadesi:
“Kadınların sayısının 2 katı” → \(2x\), bunun “3 fazlası” → \(2x + 3\).

Aşama 2 – Erkek ifadesi:
“Erkeklerin sayısının 5 eksiği” → \(y – 5\).

Aşama 3 – Eşitsizliği kurma:
“Birinci ifade, ikinci ifadeden büyüktür” demek: \(2x + 3 > y – 5\).

• A (\(x + y > 8\)) – Yanlış: Burada kadın ve erkek sayılarının toplamı 8’den büyük denmiş; soru farklı bir karşılaştırma istiyor.
• B (\(x – y < 8\)) – Yanlış: Kadın sayısından erkek sayısı çıkarılmış ve “küçüktür” işareti kullanılmış; anlam uymaz.
• C (\(x – y > 8\)) – Yanlış: Yine fark ifadesi ve 8 sabiti yanlış konumda; “2 kat +3” ve “-5” terimleri yok.
• D (\(2x + 3 > y – 5\)) – Doğru: Tam olarak “kadınların sayısının 2 katının 3 fazlası, erkeklerin sayısının 5 eksiğinden büyüktür” ifadesinin matematiksel karşılığıdır.

Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

14. Sorunun Çözümü

Soru Metni: \(3(x – 1) < 2x + 1\) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayıyı bulmamız isteniyor. Gerçek bir matematik öğretmeni edasıyla adım adım inceleyelim:

Aşama 1 – Parantez açma:
\(3(x – 1) = 3x – 3\), dolayısıyla eşitsizlik şöyle olur: \(3x – 3 < 2x + 1\).

Aşama 2 – x terimlerini bir tarafa toplama:
Her iki taraftan 2x çıkaralım: \(3x – 2x – 3 < 1\) ⇒ \(x – 3 < 1\).

Aşama 3 – Sabit terimi izole etme:
Her iki tarafa +3 ekleyelim: \(x – 3 + 3 < 1 + 3\) ⇒ \(x < 4\).

Sonuç olarak, eşitsizliği sağlayan tüm tam sayılar \(\dots, 1, 2, 3\) şeklindedir. Bu kümenin en büyük elemanı 3’tür.

• A (2) – Yanlış: 2 < 4 doğru, ancak daha büyük bir tam sayı mevcuttur.
• B (3) – Doğru: 3 < 4 koşulunu sağlar ve listedeki en büyük tam sayıdır.
• C (4) – Yanlış: 4 < 4 yanlış; eşitsizlikte «küçüktür» olduğu için eşitlik kabul edilmez.
• D (5) – Yanlış: 5 < 4 koşulu bozar; dolayısıyla uygun değildir.

Öğrenciler, eşitsizlik çözerken önce parantezi açıp, sonra x terimlerini ve sabit terimleri izole ederek kritik değeri bulmalı, ardından açıklığa kavuşturdukları değer aralığındaki tam sayılar içinden en büyük veya en küçüğü belirlemelidir. Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.

15. Sorunun Çözümü

Soru Metni: Verilen KLM açısı bir geniş açıdır, yani ölçüsü 90° ile 180° arasında olmalıdır. Açının ölçüsü \(5x + 25\) olarak verilmiş.

Aşama 1 – Geniş açı tanımı:
Geniş açı koşulu: \(90^\circ < 5x + 25 < 180^\circ\).

Aşama 2 – Alt sınırı bulma:
\(5x + 25 > 90\) ⇒ \(5x > 90 – 25\) ⇒ \(5x > 65\) ⇒ \(x > 13\).

Aşama 3 – Üst sınırı bulma:
\(5x + 25 < 180\) ⇒ \(5x < 180 - 25\) ⇒ \(5x < 155\) ⇒ \(x < 31\).

Böylece x için uygun aralık, 13 ile 31 arasındadır; eşitlikler dahil edilmez çünkü açı ne tam 90° ne de tam 180° olabilir.

• A (\(x < 180^\circ\)) – Yanlış: Yalnızca üst sınır verilmiş, alt sınır dikkate alınmamış.
• B (\(x > 90^\circ\)) – Yanlış: x’in 90’dan büyük olması denkleme uymaz; buradaki eşitsizlik açının ölçüsüne ait.
• C (\(13^\circ \leq x \leq 31^\circ\)) – Yanlış: Eşitlikler (≤) doğru değil; sınır değerler 90° veya 180°’e eşit açı yapmaz.
• D (\(13^\circ < x < 31^\circ\)) – Doğru: Hem alt hem üst sınırı doğru şekilde ifade eder.

Öğrenciler, üçgen ve açı problemlerinde açı türünü doğru sınıflandırıp eşitsizlikleri adım adım çözerek aralığı belirlemelidir. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.