4. Sorunun Çözümü

Bu soruda, bir doğrunun \(x\) eksenine dik olması isteniyor. \(x\) ekseni, yatay doğrultuda giden eksen olduğundan, bu eksene dik bir doğru dikey olmalıdır. Dikey doğrular ise \(x = \text{sabit}\) formuyla ifade edilir ve her noktada \(x\) değeri aynı kalır. Aşağıda tüm seçenekleri bu kritere göre adım adım inceleyelim:

1. A şıkkı: \( x = -7 \)
   Bu denklem, her noktada \(x\) değerini -7 sabitinde tutar. Grafiği tam olarak dikey bir doğrudur ve \(x\) eksenine diktir. ⇒ Doğru
2. B şıkkı: \( y = 2x \)
   Bu, orijinden geçen ve eğimi 2 olan bir doğrudur. Ne yatay ne de dikey; dolayısıyla dikey olmadığı için yanlıştır.
3. C şıkkı: \( y = x + 2 \)
   Eğimi 1 ve y-kesişimi 2 olan bu doğru da eğik bir doğrudur. Dikey olmaz; ⇒ Yanlış
4. D şıkkı: \( x – y = 4 \)
   Bunu \(y\) cinsinden yazarsak: \( y = x – 4 \). Eğimi 1 olan eğik bir doğrudur; dikey değildir. ⇒ Yanlış

Özetle, dikey doğrular ancak \(x = \text{sabit}\) şeklinde ifade edilir. Bu nedenle seçenekler arasında yalnızca \(x = -7\) ifadesi, grafiği \(x\) eksenine dik bir doğru oluşturur. Diğer tüm denklemler eğimli doğrular olduğundan bu kritere uymaz. Dolayısıyla doğru cevap “A” şıkkıdır.

5. Sorunun Çözümü

Emre’nin başlangıçta sahip olduğu bilye sayısı 600 adettir ve her geçen gün 1 bilye arkadaşına vererek bu miktarı azaltmaktadır. Geçen gün sayısını \(x\), kalan bilye miktarını ise \(y\) ile gösterdiğimize göre, aralarındaki ilişkiyi bulmak için aşağıdaki adımları izleyelim:

• Adım 1: Başlangıç değeri 600.
• Adım 2: Her gün 1 bilye azaldığından, toplam azalış \(x\) gün için \(x\) bilyedir.
• Adım 3: Kalan miktar = Başlangıç miktarı − Azalış miktarı ⇒ \(y = 600 – x\).

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyerek neden C şıkkının doğru, diğerlerinin ise yanlış olduğunu görelim:

• A şıkkı: \( x – y = 600 \)
  Bu denklem \(y\)’yi yalnızca \(y = x – 600\) şeklinde ifade eder. Eğer \(x = 1\) olsaydı, \(y = 1 – 600 = -599\) olurdu; oysa bilye sayısı negatif olamaz. ⇒ Yanlış
• B şıkkı: \( y = 600x \)
  Bu denklem her geçen gün bilye sayısının katlanarak arttığını söyler; ancak burada bilye azalmakta, artmamaktadır. ⇒ Yanlış
• C şıkkı: \( y = 600 – x \)
  Başlangıçtaki 600 bilyeden her gün 1 bilye eksiliyor. Dolayısıyla kalan miktar \(600\)’den \(x\) çıkarılarak bulunur. Tam olarak beklenen ilişki budur. ⇒ Doğru
• D şıkkı: \( y = x – 600 \)
  Bu denklem ise bilye miktarının, geçen gün sayısının 600 fazlası olduğunu savunur. Örneğin \(x=1\) için \(y=-599\) çıkar, bu da gerçekçi değildir. ⇒ Yanlış

Sonuç olarak, doğru bilye-azalış ilişkisini veren denklem \(y = 600 – x\) olduğundan, doğru cevap “C” şıkkıdır.

6. Sorunun Çözümü

Bu soruda; 6 çift terliğin toplam fiyatı 70 TL olarak verilmiştir. Satılan çift sayısını \(x\), elde edilen geliri ise \(y\) ile gösterdiğimize göre, bir çift terliğin birim fiyatını bulmalı ve ardından bu birim fiyatı \(x\) ile çarparak ilişki denklemini oluşturmalıyız.

• Adım 1: Toplam 6 çift için 70 TL ödeniyorsa, 1 çiftin fiyatı \[ \displaystyle \frac{70}{6}\ \text{TL} \] olur.
• Adım 2: Eğer \(x\) çift satıldıysa, toplam gelir \[ y = \left(\displaystyle \frac{70}{6}\right) \times x \] biçiminde hesaplanır.

Şimdi şıkları inceleyerek neden D şıkkının doğru, diğerlerinin ise uygun olmadığını görelim:

• A şıkkı: \( y = \displaystyle \frac{70}{6 \cdot x} \)
  Bu formül, gelirin çarpma yerine bölme ile azaldığını söyler; ancak satılan çift arttıkça gelir artmalıdır. ⇒ Yanlış
• B şıkkı: \( y = 70 \cdot x \)
  Burada her bir çift 70 TL gibi hesaplanmış; oysa 6 çiftin toplamı 70 TL’dir. ⇒ Yanlış
• C şıkkı: \( y = \displaystyle \frac{70.6}{x} \)
  “70.6” ifadesi anlamsızdır ve bölme mantığı da yanıltıcıdır. ⇒ Yanlış
• D şıkkı: \( y = \left( \displaystyle \frac{70}{6} \right) \cdot x \)
  Bir çiftin ücreti \(\tfrac{70}{6}\) TL olduğundan, satılan çift sayısı ile çarpmak mantıklıdır. ⇒ Doğru

Sonuç olarak, terlik başına ücreti doğru şekilde hesaba katan \(y = \bigl(\tfrac{70}{6}\bigr)x\) denklemi, ilişkiyi tam olarak yansıttığından doğru cevap “D” şıkkıdır.

7. Sorunun Çözümü

Bu problemde, Ülken’in her gün düzenli olarak 6 saat spor yaptığı; geçen zamanın gün cinsinden \(x\), toplam spor süresinin ise saat cinsinden \(y\) ile gösterildiği belirtilmiştir. Doğrusal ilişkiyi ifade eden temel denklem:

• Adım 1: Günlük spor süresi sabittir: 6 saat/gün.
• Adım 2: Toplam süreyi bulmak için, günlük süre ile geçen gün sayısını çarparız.
• Adım 3: Böylece ilişki denklemi: \(y = 6 \times x\) olur.
• Adım 4: Soruda 10. gün sonundaki toplam süre sorulduğu için \(x = 10\) değerini denkleme yerine koyarız.
• Adım 5: Hesaplama: \(y = 6 \times 10 = 60\) saat.

Şimdi verilen şıkları tek tek inceleyerek doğru olanı belirleyelim:

• A şıkkı: (10, 60)
  Doğru ilişkiyi ve hesaplamayı yansıtır: \(x=10\) için \(y=60\). ⇒ Doğru
• B şıkkı: (5, 60)
  Burada \(x=5\) kabul edilmiş ancak 5 günün sonunda \(y=6×5=30\) saat edilmelidir; 60 yanlış eşleştirmedir. ⇒ Yanlış
• C şıkkı: (10, 30)
  \(x=10\) doğru, fakat toplam süre \(6×10=60\) saat olur; 30 hatalıdır. ⇒ Yanlış
• D şıkkı: (6, 10)
  Burada hem gün sayısı hem de saat sayısı yer değiştirilmiş; \(x\) ve \(y\) eksenleri doğru kullanılmamış. ⇒ Yanlış

Sonuç olarak, Ülken’in 10 gün sonunda toplam 60 saat spor yaptığı ilişkisini doğru gösteren sıralı ikili (10, 60) olduğundan, doğru cevap “A” şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soru, bir doğrunun eğimini bulmaya yönelik klasik bir cebir problemidir. Eğimi \(y = mx + b\) formundaki bir doğru için \(m\) ile ifade ederiz. Soruda verilen denklem \( y = a x – 9 \) biçimindedir; burada \(a\) katsayısı, doğrunun eğimini gösterir. Eğimin \(-4\) olduğu söyleniyor. Aşağıdaki adımlarla ilerleyelim:

• Adım 1: Genel doğru denklemi: \( y = m x + b \).
• Adım 2: Verilen denklemdeki \(m\) yerine \(a\) gelmektedir: \( y = a x – 9 \).
• Adım 3: Eğimin \(m\) değeri, doğrunun “x” değişkeninin katsayısıdır. Dolayısıyla \(m = a\).
• Adım 4: Soruda eğim \(-4\) olarak verildiğine göre, \(a = -4\) olmalıdır.

Şıkları incelediğimizde:

• A şıkkı: \(\displaystyle -\tfrac{1}{4}\)
  Bu değer eğimi \(-0{,}25\) yapar; verilen eğimle uyuşmaz. ⇒ Yanlış
• B şıkkı: \(-4\)
  Doğrudan soruda verilen eğimle tam örtüşmektedir. ⇒ Doğru
• C şıkkı: \(\displaystyle \tfrac{1}{4}\)
  Bu pozitif \(\,0{,}25\) eğimidir; fakat soruda eğim negatif olarak verilmiştir. ⇒ Yanlış
• D şıkkı: \(4\)
  Bu da pozitif eğim gösterir ve kesinlikle negatif eğim koşulunu sağlamaz. ⇒ Yanlış

Sonuç olarak, doğrunun eğim değeri \(-4\) olduğu için doğru cevap “B” şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, dik açısı L noktasında olan KLM üçgeninde KL ve LM kenarları, dik kenarlar olarak verilmiştir. Kenar uzunlukları KL = 4 ve LM = 6 olduğuna göre, hipotenüs KM’nin eğimini bulmamız isteniyor.

• Adım 1: Koordinat düzleminde L noktasını orijin kabul edebiliriz.
  • LM yatay kenar olsun: M = \((6,0)\).
  • KL dikey kenar olsun: K = \((0,4)\).
• Adım 2: İki nokta arası eğim formülü: \[ \displaystyle \text{eğim} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{M} – y_{K}}{x_{M} – x_{K}} \]
• Adım 3: Değerleri yerine koyarsak: \[ \Delta y = 0 – 4 = -4,\quad \Delta x = 6 – 0 = 6 \] Dolayısıyla \[ \text{eğim} = \displaystyle \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}. \]
• Adım 4: Şıklarda işaret gözükmediği için, eğimin mutlak değeri olarak bakıldığında \(\tfrac{2}{3}\) ifadesi uygun olacaktır.

Şıkların neden yanlış olduğuna kısaca bakalım:

• A şıkkı: \(\displaystyle \tfrac{6}{\sqrt{52}}\) – Bu, hipotenüs uzunluğunun bileşen oranı değil, farklı bir orandır. ⇒ Yanlış
• B şıkkı: \(\displaystyle \tfrac{4}{\sqrt{52}}\) – Yine hipotenüs ile ilgili oran; eğim formülüne uymaz. ⇒ Yanlış
• C şıkkı: \(\displaystyle \tfrac{2}{3}\) – Eğimin mutlak değeri \(\tfrac{2}{3}\) olduğu için bu seçenek doğrudur.
• D şıkkı: \(\displaystyle \tfrac{3}{2}\) – Bu, eğimin ters oranıdır; gerçek eğim büyüklüğü \(\tfrac{2}{3}\) olarak hesaplanmıştır. ⇒ Yanlış

Sonuç olarak, verilen dik üçgende KM doğrusu için eğimin mutlak değeri \(\tfrac{2}{3}\) olduğundan, doğru cevap “C” şıkkıdır.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda, doğrusu \(y = 7x + 5\) olan bir doğru veriliyor ve eğiminin ne olduğu soruluyor. Genel doğrusal denklem \(y = mx + b\) şeklindedir; burada \(m\) eğim, \(b\) ise y-kesiti değeridir. Aşağıdaki adımlarla eğimi belirleyelim:

• Adım 1: Denklemi genel forma uyarlayalım: \(y = mx + b\).
• Adım 2: Verilen denklemde \(m\) ile gösterilen katsayı 7’dir, çünkü \(7x\) terimi doğrunun eğimidir.
• Adım 3: Dolayısıyla eğim \(m = 7\) olarak bulunur.

Şimdi diğer şıkların neden yanlış olduğuna bakalım:

• A şıkkı: \(-7\)
  Eğimin negatif olması, doğrunun azalan doğrusal bir yapı çizdiğini gösterir. Oysa verilen denklemde eğim pozitif 7 olduğundan bu şık yanlıştır.
• B şıkkı: \(-\tfrac{5}{7}\)
  Bu oran, kesirli ve negatif bir eğim değeri sunar. Verilen denklemde ise katsayı tam sayı ve pozitif 7 olduğundan bu da uyuşmaz.
• C şıkkı: \(7\)
  Denklemin \(x\) katsayısı tam olarak 7 olduğundan eğim de bu değerdir. ⇒ Doğru
• D şıkkı: \(\tfrac{5}{7}\)
  Bu oran, y-kesitinin \(x\) katsayısıyla karıştırılmasından kaynaklanan hatalı bir değerdir. Y-kesiti \(b=5\) olsa da bu, eğim formülünde kullanılmaz. ⇒ Yanlış

Özetle, \(y = mx + b\) formunda verilen doğru denklemlerinde eğim, \(x\) katsayısıdır. Burada bu katsayı 7 olduğu için doğru cevap “C” şıkkıdır.

11. Sorunun Çözümü

Verilen denklemde \(m\) değişkenini \(n\) cinsinden bulmak için adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Denklemimiz: \[ 4m – 5n = 12 \]
• Adım 2: \(m\) terimini yalnız bırakmak için her iki tarafa \(+5n\) ekleyelim: \[ 4m = 12 + 5n \]
• Adım 3: Şimdi \(m\)’yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 4 ile bölelim: \[ m = \displaystyle \frac{12 + 5n}{4} \]

Böylece \(m\)’nin \(n\) cinsinden eşiti \(\tfrac{12 + 5n}{4}\) olur. Şıklara bakarak neden diğerlerinin yanlış olduğuna da göz atalım:

• A şıkkı: \(\displaystyle \frac{12 + 4n}{5}\)
  Burada hem katsayı hem de bölme paydası hatalıdır; denklemden gelen \(5n\) yerine yanlışlıkla \(4n\) alınmış ve bölme işlemi de \(5\)e yapılmıştır. ⇒ Yanlış
• B şıkkı: \(\displaystyle \frac{12 + 5n}{4}\)
  Tam olarak denklemden elde ettiğimiz sonuçtur. ⇒ Doğru
• C şıkkı: \(\displaystyle \frac{12 – 5n}{4}\)
  Eksi işareti yanlış kullanılmış; \(5n\)’yi diğer tarafa eklememiz gerekirken çıkarma işlemi yapılmış. ⇒ Yanlış
• D şıkkı: \(5n + 3\)
  Burada ne bölme işlemi ne de 12 sayısı doğru şekilde hesaba katılmış; tamamen denklem dönüşümüne uymayan bir ifade. ⇒ Yanlış

Sonuç olarak, doğru cevap “B” şıkkıdır: \(m = \tfrac{12 + 5n}{4}\).

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda \(x\) değişkenini \(y\) cinsinden ifade etmemiz isteniyor. Verilen denklem:

• Adım 1: Denklemimizi yazalım:
  \(\;-7x – 2y = 14\)
• Adım 2: \(x\) terimini yalnız bırakmak için her iki tarafa +\(2y\) ekleyelim:
  \(\;-7x = 14 + 2y\)
• Adım 3: Şimdi \(x\)’i izole etmek için her iki tarafı \(-7\) sayısına bölelim. Bölme işlemi negatif olduğu için paydada da eksi işareti kalacaktır:
  \[ x = \displaystyle \frac{14 + 2y}{-7} = -\frac{14 + 2y}{7} \]

Böylece, \(x\)’in \(y\) cinsinden ifadesi \(\displaystyle -\tfrac{14 + 2y}{7}\) olur. Şıklardaki diğer ifadelerin neden yanlış olduğuna da bakalım:

• B şıkkı: \(\displaystyle \frac{14 – 2y}{7}\)
  Burada \(+2y\) yerine \(-2y\) alınmış; denklemden çıkarma işlemi yapılmış gibi gösteriyor. ⇒ Yanlış
• C şıkkı: \(-2 + 2y\)
  Bölme işlemi ve denklem dönüşümü tamamen atlanmış, sabit terimler ve katsayılar yanlış konumlandırılmış. ⇒ Yanlış
• D şıkkı: \(-\displaystyle \frac{14 – 2y}{7}\)
  Hem pay içerisindeki işaret yanlış, hem de işleme negatif işareti çift kullanılarak hatalı bir sonuç çıkarılmış. ⇒ Yanlış

Sonuç olarak, doğru eşitlik \(x = -\tfrac{14 + 2y}{7}\) ifadesiyle verildiğinden, doğru cevap “A” şıkkıdır.

13. Sorunun Çözümü

Aşağıdaki adımlarla denklemi adım adım çözelim ve sonuçları değerlendirelim:

1. Parantezi açma:
   \[ -4 \cdot (x + 2) = -4x – 8 \]
2. Denklemi yazma:
   \[ -4x – 8 = x + 22 \]
3. Tüm \(x\) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplama:
   • \(+4x\) ekleyelim: \[ -8 = 5x + 22 \]
   • \(-22\) çıkaralım: \[ -8 – 22 = 5x \quad\Longrightarrow\quad -30 = 5x \]
4. \(x\)’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 5’e bölelim:
   \[ x = \displaystyle \frac{-30}{5} = -6 \]

Yukarıdaki işlemler sonucunda \(x = -6\) bulunmuştur. Şimdi neden diğer şıkların uygun olmadığını görelim:

• B şıkkı (\(-4\)): Bu değer denkleme yerine konduğunda, sol taraf \(-4\cdot(-4+2)=-4\cdot(-2)=8\), sağ taraf ise \(-4+22=18\) yapar; uyumsuzdur. ⇒ Yanlış
• C şıkkı (\(4\)): Eğer \(x=4\) alınırsa, sol taraf \(-4\cdot(4+2)=-4\cdot6=-24\), sağ taraf \(4+22=26\) olur; denklem sağlanmaz. ⇒ Yanlış
• D şıkkı (\(8\)): Bu değer için sol taraf \(-4\cdot(8+2)=-4\cdot10=-40\), sağ taraf \(8+22=30\) yapar; eşitlik bozulur. ⇒ Yanlış

Tüm bu değerlendirmeler ışığında, denklemi sağlayan doğru değer \(x = -6\) olduğundan, doğru cevap “A” şıkkıdır.

14. Sorunun Çözümü

Aşağıdaki adımlarla denklemi sistematik şekilde çözelim:

1. Denklemi yazalım:
   \(7x – 3 = 5x + 11\)
2. Tüm \(x\) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa alalım:
   • \(+3\) ekleyelim: \[ 7x = 5x + 14 \]
   • \(-5x\) çıkaralım: \[ 2x = 14 \]
3. \(x\)’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2’ye bölelim:
   \[ x = \displaystyle \frac{14}{2} = 7 \]

Böylece denklemden \(x = 7\) sonucu elde edilir. Şimdi diğer şıkların neden yanlış olduğuna bakalım:

• B şıkkı (8): Eğer yerine \(x=8\) koyarsak, sol taraf \(7\cdot8 – 3 = 56 – 3 = 53\), sağ taraf ise \(5\cdot8 + 11 = 40 + 11 = 51\) olur. Eşitlik sağlanmaz. ⇒ Yanlış
• C şıkkı (9): \(x=9\) için sol taraf \(7\cdot9 – 3 = 63 – 3 = 60\), sağ taraf \(5\cdot9 + 11 = 45 + 11 = 56\) yapar; uyumsuzdur. ⇒ Yanlış
• D şıkkı (10): \(x=10\) alınırsa, sol taraf \(70 – 3 = 67\), sağ taraf \(50 + 11 = 61\) eder; denklem bozulur. ⇒ Yanlış

Sonuç olarak, verilen denklem yalnızca \(7\) değeriyle sağlanır. Doğru cevap “A” şıkkıdır.

15. Sorunun Çözümü

Aşağıdaki adımlarla, verilen eşitlikteki \(x\) değerini bulalım:

1. Eşitliği yaz:
   \(5x + 5 = 2x – 28\)
2. \(x\) terimlerini bir tarafa, sayısal terimleri diğer tarafa topla:
   • \(-2x\) çıkaralım:
     \(5x – 2x + 5 = -28\) ⇒ \(3x + 5 = -28\)
   • \(-5\) çıkaralım:
     \(3x = -28 – 5\) ⇒ \(3x = -33\)
3. \(x\)’i yalnız bırakmak için 3 ile böl:
   \[ x = \displaystyle \frac{-33}{3} = -11 \]

Elde ettiğimiz sonuç \(x = -11\)’dir. Şimdi şıkları inceleyelim:

• A şıkkı (8):
  \(x=8\) alınırsa, sol taraf \(5\cdot8+5=45\), sağ taraf \(2\cdot8-28=-12\) olur; eşitlik sağlanmaz. ⇒ Yanlış
• B şıkkı (2):
  \(x=2\) için sol taraf \(5\cdot2+5=15\), sağ taraf \(2\cdot2-28=-24\) eder; uyumsuzdur. ⇒ Yanlış
• C şıkkı (6):
  \(x=6\) seçilirse, sol taraf \(5\cdot6+5=35\), sağ taraf \(2\cdot6-28=-16\) çıkar; denklem bozulur. ⇒ Yanlış
• D şıkkı (-11):
  \(x=-11\) konulduğunda, sol taraf \(5\cdot(-11)+5=-55+5=-50\), sağ taraf ise \(2\cdot(-11)-28=-22-28=-50\) olur. ⇒ Doğru

Böylece, eşitliği sağlayan tek değer \(-11\) olduğundan doğru cevap “D” şıkkıdır.