Bir pizza ustası, hazırladığı daire şeklindeki pizza hamurunu merkezinden \( 120^\circ \)’lik bir açı yapacak şekilde dilimliyor. Pizzanın yarıçapı \( r = 6 \text{ cm} \) olduğuna göre, bu dilimin üst yüzey alanı kaç \( \text{cm}^2 \)’dir? (\( \pi = 3 \) alınız.)
Buna göre, kesilen pizza diliminin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
- \( 12 \)
- \( 24 \)
- \( 36 \)
- \( 108 \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Daire diliminin alanını bulmak için tüm dairenin alanını hesaplayıp merkez açının tam açıya (\( 360^\circ \)) oranını kullanmalıyız.
1. Adım: Tüm dairenin alanını \( \pi \cdot r^2 \) formülü ile hesaplayalım:
\( \text{Alan} = 3 \cdot 6^2 = 3 \cdot 36 = 108 \text{ cm}^2 \)
2. Adım: Dilimin açısı \( 120^\circ \) olduğundan, bu dilim dairenin \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \)’lük kısmıdır.
Sonuç: Dilim Alanı = \( 108 \cdot \frac{1}{3} = 36 \text{ cm}^2 \) olarak bulunur.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Yukarıdaki daire grafiğinde, 7. sınıf öğrencisi Kerem’in tabletindeki günlük ekran süresinin uygulama kategorilerine göre dağılımı gösterilmiştir.
Buna göre, “Eğitim” kategorisini gösteren dilimin merkez açısı kaç derecedir?
- \( 55^\circ \)
- \( 65^\circ \)
- \( 75^\circ \)
- \( 85^\circ \)
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir daire grafiğinde tüm merkez açıların toplamı daima \( 360^\circ \)’dir. Verilen merkez açıları toplayıp, tam açıdan çıkarmalıyız.
1. Adım: Bilinen kategorilerin (Sosyal Medya ve Oyun) merkez açılarını toplayalım: \( 160^\circ + 135^\circ = 295^\circ \). Ardından bu toplamı \( 360^\circ \)’den çıkararak bilinmeyen açıyı bulalım: \( 360^\circ – 295^\circ = 65^\circ \).
Sonuç: “Eğitim” kategorisine ait merkez açı \( 65^\circ \) olarak hesaplanır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Yukarıdaki grafikte, bir okuldaki robotik kodlama kulübünde yer alan \( 15 \) kişilik K Grubu ile \( 25 \) kişilik L Grubunun deneme sınavı puan ortalamaları gösterilmiştir.
Buna göre, bu iki gruptaki tüm öğrencilerin deneme sınavı puan ortalaması kaçtır?
- \( 70 \)
- \( 72 \)
- \( 74 \)
- \( 75 \)
3. Sorunun Çözümü
Strateji: Ortalaması verilen bir grubun toplam değerini bulmak için kişi sayısı ile ortalamayı çarpmalı, ardından elde edilen tüm toplam değerleri genel kişi sayısına bölmelisin. Unutma, farklı kişi sayısına sahip grupların ortalamaları doğrudan toplanıp ikiye bölünmez.
1. Adım: Her iki grubun toplam puanlarını ayrı ayrı hesaplayalım.
K Grubu Toplam Puanı = \( 15 \cdot 80 = 1200 \)
L Grubu Toplam Puanı = \( 25 \cdot 64 = 1600 \)
Sonuç: Genel ortalamayı bulmak için toplam puanı, toplam öğrenci sayısına bölelim.
Toplam Puan = \( 1200 + 1600 = 2800 \)
Toplam Kişi Sayısı = \( 15 + 25 = 40 \)
Genel Ortalama = $$ \frac{2800}{40} = 70 $$
Doğru cevap A seçeneğidir.
Şekildeki \( O \) merkezli çemberde \( K \) ve \( L \) noktaları çember üzerindedir.
Modelde \( m(\widehat{OKL}) = 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, \( \overparen{KL} \) yayının ölçüsü kaç derecedir?
- \( 80^\circ \)
- \( 100^\circ \)
- \( 140^\circ \)
- \( 160^\circ \)
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir çemberde merkezden çembere çizilen tüm doğrular yarıçaptır ve eşittir. Bu eşitlik \( \triangle OKL \)’yi ikizkenar üçgen yapar.
1. Adım: \( [OK] \) ve \( [OL] \) yarıçap olduklarından \( |OK| = |OL| \)’dir. Bu durumda \( \triangle OKL \) bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları eşittir: \( m(\widehat{OKL}) = m(\widehat{OLK}) = 40^\circ \) olur.
2. Adım: Üçgenin iç açılar toplamından merkez açıyı (\( O \)) bulalım: \( m(\widehat{KOL}) = 180^\circ – (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ – 80^\circ = 100^\circ \).
Sonuç: Merkez açının gördüğü yayın ölçüsü, merkez açının kendisine eşittir. Dolayısıyla \( m(\overparen{KL}) = 100^\circ \) olur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir lunaparkta bulunan dairesel dönme dolabın üzerindeki \( K \) ve \( L \) kabinleri, zemindeki \( P \) ve \( R \) noktaları arasındaki \( 80^\circ \)’lik yayı görecek şekilde konumlanmıştır.
Şekilde verilenlere göre;
\( m(\widehat{PKR}) = a \)
\( m(\widehat{PLR}) = b \)
olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaç derecedir?
Aynı yayı gören çevre açıların özelliklerini kullanarak sonucu bulunuz.
- \( 80 \)
- \( 120 \)
- \( 160 \)
- \( 40 \)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Çemberde aynı yayı gören tüm çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir ve bu ölçü, gördükleri yayın ölçüsünün yarısı kadardır.
1. Adım: \( K \) noktası çemberin üzerinde olduğundan \( \widehat{PKR} \) bir çevre açıdır. Gördüğü \( PR \) yayının ölçüsü \( 80^\circ \) ise:
\( a = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \)
2. Adım: Aynı şekilde \( L \) noktası da aynı \( 80^\circ \)’lik yayı gören bir çevre açıdır:
\( b = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \)
Sonuç: Bizden istenen \( a + b \) toplamı:
\( a + b = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ \) bulunur.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Kerem, tabletindeki çizim uygulamasında merkezi \( O \) noktası olan bir çember çizmiştir. Çember üzerindeki \( A \), \( B \) ve \( C \) noktalarını birleştirerek şekildeki modeli oluşturmuştur.
Modelde \( s(\widehat{OAB}) = 50^\circ \) ve \( s(\widehat{OCB}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, \( s(\widehat{AOC}) = x \) kaç derecedir?
- \( 110^\circ \)
- \( 120^\circ \)
- \( 140^\circ \)
- \( 150^\circ \)
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Çemberin merkezinden çember üzerindeki noktalara çizilen tüm doğru parçaları (yarıçap) birbirine eşittir. Bu eşitlikler bize ikizkenar üçgenler sağlar.
1. Adım: \( [OA] \), \( [OB] \) ve \( [OC] \) yarıçap olduğu için \( |OA| = |OB| = |OC| \)’dir. Bu durumda \( \triangle OAB \) ve \( \triangle OBC \) ikizkenar üçgenlerdir.
2. Adım: \( \triangle OAB \) ikizkenar üçgeninde taban açıları eşittir: \( s(\widehat{OBA}) = s(\widehat{OAB}) = 50^\circ \). Tepe açısı: \( s(\widehat{AOB}) = 180^\circ – (50^\circ + 50^\circ) = 80^\circ \).
3. Adım: \( \triangle OBC \) ikizkenar üçgeninde taban açıları eşittir: \( s(\widehat{OBC}) = s(\widehat{OCB}) = 60^\circ \). Tepe açısı: \( s(\widehat{BOC}) = 180^\circ – (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ \).
Sonuç: İstenen \( x \) açısı bu iki tepe açısının toplamıdır: \( 80^\circ + 60^\circ = 140^\circ \). Doğru cevap C seçeneğidir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Aşağıdaki görselde, bir okul bahçesine çizilen koşu pistinin krokisi verilmiştir. Pist; ortada bir dikdörtgen ve iki uçta birbirine eş iki yarım daireden oluşmaktadır.
Buna göre, bu koşu pistinin tam etrafında bir tur atan öğrenci kaç metre koşmuş olur? (\( \pi \)’yi \( 3 \) alınız.)
- \( 180 \)
- \( 240 \)
- \( 320 \)
- \( 360 \)
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir şeklin çevresi hesaplanırken sadece dışta kalan, sınır oluşturan kenarlar toplanır. Şeklin içinde kalan kesik çizgiler (çap uzunlukları) çevreye dahil edilmez.
1. Adım: Koşu pistinin düz kısımlarının uzunluklarını bulalım. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşittir.
Düz kısımlar toplamı: \( 60 + 60 = 120 \) m
2. Adım: İki uçtaki eş yarım daireler birleştirildiğinde bir tam daire oluşturur. Çapı \( 40 \) m olan bu dairenin çevresini hesaplayalım.
Çevre = \( \pi \cdot \text{Çap} \)
Kavisli kısımlar toplamı: \( 3 \cdot 40 = 120 \) m
Sonuç: Öğrenci, düz ve kavisli kısımların toplamı kadar yol alır.
Toplam Çevre = $$ 120 + 120 = 240 $$ metre bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Çevre uzunlukları sırasıyla \( 270 \text{ cm} \) ve \( 120 \text{ cm} \) olan iki farklı çember çizilmiştir.
Buna göre, bu çemberlerin yarıçap uzunlukları toplamı kaç santimetredir? (\( \pi = 3 \) alınız.)
- \( 65 \)
- \( 90 \)
- \( 110 \)
- \( 130 \)
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Çemberin çevre formülü \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \) şeklindedir. Verilen çevre uzunluğunu \( 2 \cdot \pi \) değerine bölerek yarıçapa ulaşabiliriz.
1. Adım: Birinci çemberin yarıçapını bulalım.
\( 2 \cdot 3 \cdot r_1 = 270 \)
\( 6 \cdot r_1 = 270 \implies r_1 = 45 \text{ cm} \)
2. Adım: İkinci çemberin yarıçapını bulalım.
\( 2 \cdot 3 \cdot r_2 = 120 \)
\( 6 \cdot r_2 = 120 \implies r_2 = 20 \text{ cm} \)
Sonuç: Yarıçapların toplamını hesaplayalım.
Toplam = $$ 45 + 20 = 65 \text{ cm} $$ bulunur.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Bir kare şeklindeki panonun içerisine, kenarlarına teğet (değen) olacak şekilde dairesel bir saat yerleştirilecektir. Panonun bir kenar uzunluğu \( 40 \text{ cm} \)’dir.
Buna göre, yerleştirilecek dairesel saatin çevre uzunluğu kaç \( \text{cm} \)’dir? (\( \pi = 3 \) alınız.)
- \( 60 \)
- \( 120 \)
- \( 160 \)
- \( 240 \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir karenin içine teğet olacak şekilde çizilen çemberin çapı (\( R \)), karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
1. Adım: Karenin kenar uzunluğu \( 40 \text{ cm} \) ise, saatin çapı \( R = 40 \text{ cm} \) olur. Çevre hesaplaması için yarıçapı bulalım:
\( r = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm} \)
2. Adım: Çemberin çevre formülünü uygulayalım:
\( \text{Çevre} = 2 \cdot \pi \cdot r \) veya direkt çap üzerinden \( \text{Çevre} = \pi \cdot R \)
\( \text{Çevre} = 3 \cdot 40 = 120 \text{ cm} \)
Sonuç: Yerleştirilecek saatin çevre uzunluğu \( 120 \text{ cm} \) olarak bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir belediye, parka yapacağı dairesel süs havuzunun taban alanını \( 75 \text{ m}^2 \) olarak planlamıştır. Bu havuzun güvenliğini sağlamak amacıyla çevresine tam bir tur şerit çekilecektir.
Buna göre, çekilecek güvenlik şeridinin uzunluğu kaç metredir? (\( \pi \)’yi 3 alınız.)
- \( 15 \)
- \( 25 \)
- \( 30 \)
- \( 150 \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Verilen alan bilgisinden \( \pi \cdot r^2 \) formülü ile yarıçapa (\( r \)) ulaşmalı, ardından \( 2 \cdot \pi \cdot r \) formülü ile çevreyi hesaplamalıyız.
1. Adım: Alan formülünü uygulayalım: \( \pi \cdot r^2 = 75 \implies 3 \cdot r^2 = 75 \implies r^2 = 25 \). Buradan yarıçap \( r = 5 \text{ m} \) bulunur. Çevreyi hesaplarsak: \( \text{Çevre} = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \text{ m} \) olur.
Sonuç: Havuzun çevresi için gereken güvenlik şeridi uzunluğu \( 30 \text{ m} \)’dir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Teknoloji ve Tasarım dersinde Ahmet, dikdörtgen şeklindeki ahşap bir plakadan birbirine eş iki adet dairesel bardak altlığı keserek çıkarıyor. Kesilen daireler ahşabın kenarlarına ve birbirine tam olarak değmektedir.
Ahşap plakanın uzun kenarı görselde verildiği gibi \( 24 \) cm’dir.
Buna göre, kesim işlemi bittikten sonra geriye kalan gri renkli atık ahşap parçasının alanı kaç santimetrekaredir? (\( \pi \)’yi \( 3 \) alınız.)
- \( 72 \)
- \( 108 \)
- \( 180 \)
- \( 216 \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Bütünün içinden bir parça çıkarıldığında kalan alanı bulmak için; dikdörtgenin alanından, çıkarılan dairelerin alanları toplamını çıkarmalıyız.
1. Adım: Dikdörtgenin kenarlarını ve dairelerin yarıçapını bulalım.
Uzun kenar \( 24 \) cm ise, yan yana duran iki eş dairenin her birinin çapı \( 24 \div 2 = 12 \) cm’dir. Bu durumda dairenin yarıçapı \( r = 6 \) cm olur. Dikdörtgenin kısa kenarı, dairenin çapına eşit olduğundan \( 12 \) cm’dir.
2. Adım: Alanları hesaplayalım.
Dikdörtgenin Alanı = \( 24 \cdot 12 = 288 \) \( \text{cm}^2 \)
Bir Dairenin Alanı = \( \pi \cdot r^2 = 3 \cdot 6^2 = 108 \) \( \text{cm}^2 \)
İki Dairenin Toplam Alanı = \( 108 \cdot 2 = 216 \) \( \text{cm}^2 \)
Sonuç: Kalan atık parça alanını bulalım.
Kalan Alan = $$ 288 – 216 = 72 $$ santimetrekare bulunur.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Şekildeki \( O \) merkezli daire 6 eş dilime ayrılmış ve bazı dilimler boyanmıştır.
Dairenin yarıçapı \( r = 12 \text{ cm} \) olduğuna göre, boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç santimetrekaredir? (\( \pi = 3 \) alınız.)
- \( 72 \)
- \( 144 \)
- \( 288 \)
- \( 432 \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Önce dairenin tamamının alanını hesaplamalı, ardından bu alanı toplam dilim sayısına bölerek bir dilimin alanını bulmalıyız. Son olarak boyalı dilim sayısı ile çarpmalıyız.
1. Adım: Tüm dairenin alanını bulalım:
\( \text{Alan} = \pi \cdot r^2 = 3 \cdot 12^2 = 3 \cdot 144 = 432 \text{ cm}^2 \)
2. Adım: Daire 6 eş dilime ayrıldığına göre bir dilimin alanı:
\( 432 \div 6 = 72 \text{ cm}^2 \)
Sonuç: Şekilde 2 adet boyalı dilim bulunmaktadır. Toplam boyalı alan:
\( 2 \cdot 72 = 144 \text{ cm}^2 \) bulunur.
Doğru cevap B seçeneğidir.