2. Sorunun Çözümü

Sevgili öğrenciler, bu soruda verilen dört farklı sıralamayı dikkatlice inceleyerek hangisinin yanlış olduğunu bulmaya çalışacağız. Sıralamalarda, kesirlerin büyüklükleri karşılaştırılırken, aynı payda veya payın sabit olduğu durumlarda doğrudan karşılaştırma yapabiliriz. Gelin her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

Seçenek A: \( \frac{3}{11} < \frac{7}{11} < \frac{8}{11} \)
Burada tüm kesirlerin paydası aynıdır; dolayısıyla sadece paylar karşılaştırılır. \(3 < 7 < 8\) olduğundan bu sıralama doğrudur.

Seçenek B: \( \frac{9}{7} < \frac{9}{5} < \frac{9}{2} \)
Bu durumda pay sabit olup, kesir değeri paydanın küçüklüğüyle artar. Hesaplayarak;
\( \frac{9}{7} \approx 1.2857,\quad \frac{9}{5} = 1.8,\quad \frac{9}{2} = 4.5 \).
Böylece doğru sıralama \(1.2857 < 1.8 < 4.5\) şeklindedir.

Seçenek C: \( \frac{1}{3} < \frac{5}{12} < \frac{5}{6} \)
Bu kesirleri ondalık hale getirecek olursak;
\( \frac{1}{3} \approx 0.3333,\quad \frac{5}{12} \approx 0.4167,\quad \frac{5}{6} \approx 0.8333 \).
Böylece doğru sıralama sağlanmıştır.

Seçenek D: \( \frac{3}{5} < \frac{15}{4} < \frac{5}{2} \)
Bu durumda kesirleri karşılaştırmak için;
\( \frac{3}{5} = 0.6,\quad \frac{15}{4} = 3.75,\quad \frac{5}{2} = 2.5 \).
Açıkça görüyoruz ki, \(3.75\) sayısı \(2.5\)’ten büyüktür; dolayısıyla verilen sıralama \(0.6 < 3.75 < 2.5\) ifadesi yanlıştır.

Neden D Seçeneği Yanlıştır?

• \( \frac{15}{4} \) değeri, \( \frac{5}{2} \) değerinden büyüktür; ancak verilen sıralamada \( \frac{15}{4} \)’ün \( \frac{5}{2} \)’den küçük olduğu iddia edilmiştir.
• Doğru sıralama, kesirlerin büyüklüklerine göre \( \frac{3}{5} < \frac{5}{2} < \frac{15}{4} \) şeklinde olmalıdır.

Sonuç olarak, seçenekler arasında yalnızca D seçeneği yanlış bir sıralamayı göstermektedir. Bu tür sorularda, kesirlerin ortak payda veya sabit pay durumlarına dikkat etmek ve her adımı özenle kontrol etmek, matematiksel kavramların doğru anlaşılması açısından büyük önem taşır.

5. Sorunun Çözümü

Sevgili öğrenciler, bu soruda karışık kesirler ile işlem yapmayı öğreneceğiz. Soru, \( 3\frac{1}{4} – 1\frac{2}{3} \) işleminin sonucunu sormaktadır. Doğru cevabı bulmak için öncelikle karışık kesirleri uygulanabilir kesirlere çevirmemiz gerekmektedir.

Adım 1: İlk olarak, \(3\frac{1}{4}\)‘ü uygula kesirine dönüştürelim:
\(3\frac{1}{4} = \frac{3 \times 4 + 1}{4} = \frac{12 + 1}{4} = \frac{13}{4}\).

Aynı şekilde, \(1\frac{2}{3}\)‘ü de:
\(1\frac{2}{3} = \frac{1 \times 3 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}\).

Adım 2: İki kesiri çıkarabilmek için ortak payda bulmamız gerekmektedir. 4 ve 3 sayılarına en küçük ortak kat olan 12‘yi seçiyoruz.
\( \frac{13}{4}\)‘ü ortak paydaya çekersek:
\( \frac{13}{4} = \frac{13 \times 3}{4 \times 3} = \frac{39}{12}\).
Aynı şekilde, \( \frac{5}{3}\) kesirini:
\( \frac{5}{3} = \frac{5 \times 4}{3 \times 4} = \frac{20}{12}\).

Adım 3: Ortak paydalı kesirleri birbirinden çıkarıyoruz:
\( \frac{39}{12} – \frac{20}{12} = \frac{39 – 20}{12} = \frac{19}{12}\).

Adım 4: Elde ettiğimiz kesiri karışık kesir biçimine çevirelim. \( \frac{19}{12}\)’de, 12 sayısı 19 içinde 1 kez yer alır; kalan ise \(19 – 12 = 7\) olur. Bu durumda sonuç,
\( 1\frac{7}{12} \) şeklinde yazılır.

Doğru Cevap: İşlemin sonucu \(1\frac{7}{12}\) olup, seçenekler arasında doğru cevap “A” olarak verilmiştir.

Diğer Seçeneklerin Neden Yanlış Olduğunu İnceleyelim:

• Seçenek B (\(1\frac{5}{6}\)): Bu sonuç, kesir dönüşümlerinde veya ortak payda bulunurken yapılan hatalı işlemler sonucu ortaya çıkabilir. Doğru kesirleri elde edemedikçe, bu değer elde edilir.
• Seçenek C (\(2\frac{1}{12}\)): Bu seçenek, yanlışlıkla çıkarma yerine toplama yapılması veya işlem sırasının karıştırılması sonucu elde edilebilecek hatalı bir sonuçtur.
• Seçenek D (\(2\frac{5}{6}\)): Bu sonuç ise işlemin temelden yanlış uygulanmasından kaynaklanmaktadır. Karışık kesirlerin dönüştürülmesi ve çıkarma işlemi adım adım doğru yapılmadığında bu tür bir hata ortaya çıkabilir.

İşlemleri dikkatlice adım adım takip ettiğimizde, doğru cevaba ulaşmak mümkün olmaktadır. Her adımı kontrol etmek ve kesir dönüşümlerinde titiz davranmak, benzer problemlerde size büyük kolaylık sağlayacaktır. Unutmayın ki, matematikte her işlem mantığını iyi kavramak, sınavlarda ve günlük hayatta başarıya götüren önemli bir adımdır.

6. Sorunun Çözümü

Sevgili öğrenciler, bu soruda verilen dört işlemin sonucunu inceleyerek hangisinin tam sayı (yani virgülsüz, bütün sayı) olduğunu bulmamız istenmektedir. İşlemleri adım adım gözden geçirip, doğru olanı belirleyeceğiz.

Seçenek A: \( 6 \cdot 1 \frac{1}{4} \)
İlk olarak, karışık kesiri uygula kesirine çevirelim:
\( 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \).
Ardından, çarpma işlemi:
\( 6 \cdot \frac{5}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \).
Sonuç 7.5 olup, tam sayı değildir.

Seçenek B: \( 15 \cdot \frac{1}{2} \)
Bu işlemin sonucu:
\( \frac{15}{2} = 7.5 \).
Yine sonuç tam sayı değildir.

Seçenek C: \( 14 \cdot \frac{1}{6} \)
İşlem sonucu:
\( \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.333 \).
Bu değer de kesirli olup tam sayı değildir.

Seçenek D: \( 20 \cdot 2 \frac{1}{10} \)
İlk olarak, karışık kesiri uygula kesirine çevirelim:
\( 2 \frac{1}{10} = \frac{21}{10} \).
Sonrasında çarpma işlemi:
\( 20 \cdot \frac{21}{10} = \frac{420}{10} = 42 \).
Elde ettiğimiz 42 sonucu tam bir sayıdır.

Neden Diğer İşlemler Tam Sayı Değildir?

• Seçenek A ve Seçenek B‘de elde edilen \(7.5\) değeri, ondalıklı olup tam sayı olarak kabul edilmez.
• Seçenek C‘deki sonuç, kesirli bir ifade olan \(\frac{7}{3}\) şeklindedir.

Sonuç olarak, sadece Seçenek D‘de yapılan işlem tam sayı olan 42‘yi vermektedir. İşlemleri dikkatli adımlarla takip etmek, doğru cevaba ulaşmanın anahtarıdır. Başarılar dilerim!

8. Sorunun Çözümü

Sevgili öğrenciler, bu soruda verilen eşitliklerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız istenmektedir. Her bir eşitliği adım adım inceleyelim:

Seçenek A: \( 15 \div \frac{1}{3} = 45 \)
Bu eşitlikte, bölme işlemi yerine çarpma işlemi uygulanır. Çünkü bir sayıyı \(\frac{1}{3}\)’e bölmek, o sayıyı 3 ile çarpmak demektir. Yani, \(15 \times 3 = 45\) ifadesi doğrudur.

Seçenek B: \( 8 \div \frac{1}{2} = 16 \)
Burada da benzer mantık geçerlidir. Bir sayıyı \(\frac{1}{2}\)’ye bölmek, sayıyı 2 ile çarpmak anlamına gelir. Dolayısıyla, \(8 \times 2 = 16\) eşitliği doğru kabul edilir.

Seçenek C: \( 5 \div \frac{1}{3} = 15 \)
Bu işlemde de, \(5 \div \frac{1}{3} = 5 \times 3 = 15\) sonucuna ulaşılır. Yani, eşitlik matematiksel olarak doğrudur.

Seçenek D: \( 3 \div \frac{1}{3} = 1 \)
Burada ise temel kuralın uygulanması gerekir. Bir sayıyı \(\frac{1}{3}\)’e bölmek, aslında o sayıyı 3 ile çarpmak demektir. Bu durumda,
\(3 \div \frac{1}{3} = 3 \times 3 = 9\) elde edilmelidir. Ancak verilen eşitlikte sonuç olarak \(1\) yazılmıştır. Bu nedenle eşitlik yanlıştır.

Neden Seçenek D Yanlıştır?

• İşlem Kuralı: Bir sayıyı \(\frac{1}{n}\)’ye bölmek, o sayının \(n\) ile çarpılması demektir.
• Doğru Uygulama: \( 3 \div \frac{1}{3} = 3 \times 3 = 9 \) olmalıdır, fakat eşitlikte \(1\) verilmiştir.
• Hata: Bu durum, bölme işleminde kesirin tersini almadan hatalı sonuç elde edilmesinden kaynaklanmaktadır.

Sonuç olarak, Seçenek A, B ve C matematiksel işlem kurallarına uygun sonuçlar verirken, sadece Seçenek D‘deki eşitlik hatalıdır. Bu tür sorularda, kesirlerle yapılan bölme işlemlerinde ters çevirme işleminin önemini aklınızda bulundurmanız gerekmektedir. İşlem basamaklarını dikkatle uygulayarak doğru sonucu elde etmek, matematikte başarılı olmanın temel yollarından biridir.

10. Sorunun Çözümü

Sevgili öğrenciler, bu soruda oran-orantı konusunu kullanarak kitabın toplam sayfa sayısını bulmamız istenmektedir. Soruda, Yağmur’un kitabının \(\frac{7}{15}\)‘ini okuduğu ve 10 sayfa daha okuduğunda kitabın yarısını okumuş olacağı belirtilmiştir. Amacımız, kitap sayfa sayısını \(x\) olarak belirleyip denklemi kurmak ve adım adım çözmektir.

Adım 1: Denklemin Kurulması
Yağmur’un okuduğu sayfa sayısı: \( \frac{7}{15}x \).
10 sayfa daha okuduğunda okuduğu toplam sayfa: \( \frac{7}{15}x + 10 \).
Soruda, bu miktarın kitabın yarısı yani \( \frac{1}{2}x \) olduğu söylenmektedir. Bu durumda denklemi şu şekilde kurarız:
\( \frac{7}{15}x + 10 = \frac{1}{2}x \)

Adım 2: Denklemin Çözümü
Kesirlerle çalışırken ortak payda bulmak işimizi kolaylaştırır. 15 ve 2 sayılarının en küçük ortak katı 30’dur. Bu durumda:
\( \frac{7}{15}x = \frac{14}{30}x \) ve \( \frac{1}{2}x = \frac{15}{30}x \).
Denklemi ortak paydayla yazarak:
\( \frac{14}{30}x + 10 = \frac{15}{30}x \).
Her iki taraftan \( \frac{14}{30}x \)’i çıkarırsak:
\( 10 = \frac{15}{30}x – \frac{14}{30}x = \frac{1}{30}x \).
Bu durumda:
\( x = 10 \times 30 = 300 \).

Adım 3: Sonuç ve Seçeneklerin Değerlendirilmesi
Elde ettiğimiz sonuç \( x = 300 \) sayfadır. Yani kitap 300 sayfadır ve doğru cevap “C” seçeneğidir.

Diğer Seçeneklerin Neden Yanlış Olduğunu İnceleyelim:

• Seçenek A (200): Kitap 200 sayfa olsaydı, okunan sayfa \( \frac{7}{15} \times 200 \approx 93.33 \) olurdu. 10 sayfa eklenince yaklaşık 103.33 sayfa okunurdu ki, bu kitabın yarısı olan 100 sayfadan farklıdır.
• Seçenek B (240): 240 sayfa için \( \frac{7}{15} \times 240 \approx 112 \) sayfa okunur. 10 sayfa eklenince 122 sayfa olur, ancak kitabın yarısı 120 sayfa olacaktır. Bu nedenle sonuç uyuşmaz.
• Seçenek D (360): 360 sayfalık bir kitapta \( \frac{7}{15} \times 360 = 168 \) sayfa okunur. 10 sayfa eklenince 178 sayfa bulunur, oysa kitabın yarısı 180 sayfadır. Bu da doğru sonuç vermez.

Adım adım ilerleyip, oranların doğru uygulanmasıyla kitabın toplam sayfa sayısını bulduk. Matematikte her işlemi titizlikle yapmak ve mantık zincirini takip etmek, doğru sonuca ulaşmanın temel anahtarlarındandır. Unutmayın, sorunun her bir adımını dikkatlice analiz etmek, hem sınavlarda hem de günlük yaşantınızda matematiksel düşünme yeteneğinizi güçlendirir.

11. Sorunun Çözümü

Sevgili öğrenciler, bu soruda sayı doğrusu üzerinde yer alan A noktasının hangi kesirle ifade edileceğini bulmamız istenmektedir. Sayı doğrusu, 0 ile 1 arasındaki mesafenin eşit aralıklarla bölündüğü bir çizgidir. Verilen grafik üzerinde, sayı doğrusuna 0’dan başlayarak 1’e kadar toplamda 6 nokta yerleştirilmiştir. Bu noktalar arasında 5 eşit parça oluşmaktadır. Bu durumda, her parça kitabın beşinci bölümünü temsil eder ve kesirler, bu bölümlerin sıra numaralarına göre yazılır.

Noktaların konumlandırılması şu şekildedir:

• Birinci nokta: \(0\) (veya \( \frac{0}{5} \))
• İkinci nokta: \( \frac{1}{5} \)
• Üçüncü nokta: \( \frac{2}{5} \)
• Dördüncü nokta: \( \frac{3}{5} \)
• Beşinci nokta: \( \frac{4}{5} \)
• Altıncı nokta: \(1\) (veya \( \frac{5}{5} \))

Grafik üzerinde A noktası, dördüncü işaretin üzerinde yer almaktadır. Bu nedenle A noktasının kesir ifadesi, 0’dan başlayarak 3 artarak ilerleyen \( \frac{3}{5} \) şeklinde belirlenir.

Diğer Seçeneklerin Neden Yanlış Olduğunu İnceleyelim:

• Seçenek A (\( \frac{1}{4} \)): Bu değer, sayı doğrusunun 4 eşit parçaya bölündüğü varsayımına dayanır, ancak soruda 0 ile 1 arası 5 eşit parçaya bölünmüştür.
• Seçenek B (\( \frac{2}{5} \)): Bu kesir, üçüncü işarete karşılık gelir. Ancak A noktası dördüncü işaret olduğu için bu seçenek uygun değildir.
• Seçenek C (\( \frac{3}{7} \)): Bu değer, sayı doğrusunun 7 eşit parçaya bölündüğü durumda geçerli olur. Fakat burada 5 eşit parça bulunmaktadır.

Sonuç olarak, A noktası doğru konumlandırılmış olup, doğru kesir ifadesi \( \frac{3}{5} \)‘tür. Bu da doğru cevap olarak “D” seçeneğini işaretlemektedir. Matematikte sayı doğrusu ve kesir kavramlarını iyi anlamak, ileride daha karmaşık problemleri çözmede size büyük avantaj sağlayacaktır.