1. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen cümlelerdeki tam sayıların işaretlerini (pozitif/negatif) analiz ederek farklı olanı bulmamız isteniyor. Adım adım çözüm:

• A) “20 m altına dalmıştır”: Deniz seviyesi referans alındığında “alt” ifadesi negatif (-20) anlamındadır.
• B) “2 kat altındadır”: Otopark katları genellikle zemin kat (0) baz alınarak negatif (-2) ile gösterilir.
• C) “10 lira kâr ettim”: Kâr, pozitif (+10) bir değeri ifade eder.
• D) “Sıfırın altında 5 derece”: Sıcaklık ölçümlerinde “altında” ifadesi negatif (-5) ile temsil edilir.

A, B ve D seçenekleri negatif işaretli sayıları belirtirken, C seçeneği pozitif bir değer içerir. Bu durumda C şıkkı işaret bakımından diğerlerinden farklıdır.

2. Sorunun Çözümü

Bu soruda verilen tam sayılar: \(12\), \(5\), \(-7\), \(0\), \(-1\), \(9\) ve \(-21\)’dir. Pozitif bir sayı, sıfırdan büyük olan herhangi bir sayıdır. Bu tanım doğrultusunda adım adım inceleyelim:

İlk adım: İlk sayı olan \(12\), açıkça sıfırdan büyüktür; dolayısıyla pozitif kabul edilir.

İkinci adım: İkinci sayı \(5\) da sıfırdan büyük olduğu için pozitif sayılar arasındadır.

Üçüncü adım: Üçüncü sayı \(-7\), sıfırın altında olduğundan pozitif değildir.

Dördüncü adım: Dördüncü sayı \(0\) ne pozitif ne de negatiftir; bu sebeple pozitif sayılar listesine dahil edilmez.

Beşinci adım: Beşinci sayı \(-1\) negatif olduğu için pozitif sayılar arasında yer almaz.

Altıncı adım: Altıncı sayı \(9\), sıfırdan büyük olduğu için pozitif bir sayıdır.

Yedinci adım: Son sayı olan \(-21\) negatif olduğu için pozitiflere dahil edilmez.

Bu adımları birleştirdiğimizde, pozitif olan sayılar \(12\), \(5\) ve \(9\) olup toplamda \(3\) tanedir.

Doğru cevap olarak “\(3\)” şıkkı (B şıkkı) seçilmelidir. Diğer şıklar ise şu nedenlerle yanlıştır:

• A şıkkı: \(2\) – Bu seçenek, yalnızca iki sayının pozitif olduğunu iddia etmektedir. Ancak, \(12\), \(5\) ve \(9\) olmak üzere üç pozitif sayı bulunmaktadır.
• C şıkkı: \(4\) – Bu seçenek gereğinden fazla pozitif sayı olduğunu öne sürmektedir. İnceleme sonucunda dört değil, üç sayı pozitif çıkar.
• D şıkkı: \(5\) – Bu şık da yanlış olup, verilen sayılar arasında beş pozitif sayı bulunmadığını göstermektedir.

Sonuç olarak, sorunun doğru cevabı “\(3\)” olup, bu sonuç adım adım her bir tam sayının özelliklerinin dikkatlice incelenmesiyle elde edilmiştir. Öğrencilerin bu tür sorularda sayıları tek tek değerlendirmeleri ve sıfırın pozitif kabul edilmediğini unutmamaları önemlidir. Bu yaklaşım, hem matematiksel kavramların doğru anlaşılmasını sağlar hem de seçenekler arasındaki farkların belirginleştirilmesine yardımcı olur.

3. Sorunun Çözümü

Bu soruda, belirtilen aralıkta kaç tam sayı olduğunu bulmamız gerekiyor. Adım adım çözümümüz şu şekilde:

Verilen koşula göre tam sayıların -3’ten büyük (+4 hariç) ve +4’ten küçük olması gerekmektedir. Matematiksel gösterimle:

• \( -3 < x < +4 \)

Aralıktaki tam sayıları sıralayalım:

• \( -2, -1, 0, 1, 2, 3 \)

Listedeki sayıların adedi:

• Toplam 6 tam sayı vardır.

• A) 2: Yalnızca pozitif sayıları saymış olabilirsiniz (1, 2, 3). Ancak negatif sayılar unutulmuş.
• C) 7: Aralığa +4’ü dahil etmek veya -3’ü saymak gibi bir hata yapılmış olabilir.
• D) 8: Hem -3 hem +4 dahil edilirse bu sonuç çıkar, ancak soruda “büyük/küçük” ifadesi sınırları hariç tutar.

Bu analizler ışığında, doğru cevap 6 tam sayı olduğu için “B” şıkkıdır.

4. Sorunun Çözümü

Bu soruda, sayı doğrusu üzerindeki harflerin karşılık geldiği tam sayıları belirleyip yanlış olanı bulmamız gerekiyor. Adım adım çözüm:

Verilen sayı doğrusunda -1, 0 ve 2 noktaları işaretlenmiştir. Noktalar arası mesafe 30 piksel olduğundan:

• Her 30 piksel = 1 birim
• 0 noktası x=130 koordinatında

• N (x=40): 130 – 40 = 90 piksel ← yönünde → 90/30 = 3 birim → N = -3
• M (x=70): 130 – 70 = 60 piksel ← → 60/30 = 2 birim → M = -2
• K (x=160): 160 – 130 = 30 piksel → yönünde → 30/30 = 1 birim → K = +1
• L (x=220): 220 – 130 = 90 piksel → yönünde → 90/30 = 3 birim → L = +3

• A) \( K = +1 \): ✔ Doğru
• B) \( L = +3 \): ✔ Doğru
• C) \( M = -2 \): ✔ Doğru
• D) \( N = -4 \): ✖ Yanlış (Gerçek değer -3)

N noktasının -4 olarak işaretlenmesi, sayı doğrusundaki ölçek hatasından kaynaklanmış olabilir. Öğrencilerin bu tür sorularda her birim arası mesafeyi dikkatle ölçmesi önemlidir.

Sonuç olarak, yanlış ifade “D” şıkkıdır.

5. Sorunun Çözümü

Bu soruda, iki tam sayı arasındaki mesafenin 6 birim olma koşulunu sağlayan şıkkı bulmamız isteniyor. Adım adım çözüm:

Sayı doğrusunda iki tam sayı arasındaki uzaklık, mutlak değer ile hesaplanır:

• \( |m – n| = 6 \) veya \( |n – m| = 6 \)

• A) \( m = -1 \), \( n = +7 \):
  \( |-1 – 7| = |-8| = 8 \) → ✖ 8 birim
• B) \( m = -4 \), \( n = -3 \):
  \( |-4 – (-3)| = |-1| = 1 \) → ✖ 1 birim
• C) \( m = -9 \), \( n = -3 \):
  \( |-9 – (-3)| = |-6| = 6 \) → ✔ 6 birim
• D) \( m = -10 \), \( n = -2 \):
  \( |-10 – (-2)| = |-8| = 8 \) → ✖ 8 birim

• A: Sayılar arasındaki fark 8 olduğu için istenen koşul sağlanmaz.
• B: Sayılar birbirine çok yakın (1 birim), bu nedenle elenir.
• D: Aynı şekilde 8 birim mesafe koşulu bozar.

Sonuç olarak, 6 birim mesafeyi sağlayan tek şık “C” şıkkıdır.

6. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen sayıların mutlak değerlerini karşılaştırarak en büyük olanı bulmamız isteniyor. Adım adım çözüm:

Bir sayının mutlak değeri, sayının işareti dikkate alınmadan büyüklüğünü gösterir. Matematiksel olarak:

• \( |a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \)

• A) \( |\-9| = 9 \)
• B) \( |\-3| = 3 \)
• C) \( |0| = 0 \)
• D) \( |+8| = 8 \)

Hesaplanan mutlak değerler:

• \( 9 > 8 > 3 > 0 \)

• B) -3: Mutlak değeri 3 olduğundan yetersiz.
• C) 0: Mutlak değer sıfır, en küçük değer.
• D) +8: Büyük olmasına rağmen 9’dan küçük.

En büyük mutlak değer 9 olduğu için doğru cevap “A” şıkkıdır.

7. Sorunun Çözümü

Bu soruda mutlak değer kurallarını hatırlayarak her bir ifadenin doğruluğunu kontrol etmemiz gerekiyor. Adımları inceleyelim:

• \( |0| = 0 \) olduğundan, sıfırın mutlak değeri pozitif değildir.
• Sonuç: ✖ Yanlış

• Örnek: \( |-5| = 5 \). Negatif sayı (-5) < mutlak değer (5).
• Sonuç: ✖ Yanlış

• Örnek: \( -10 < -5 \), ancak \( |-10| = 10 > |-5| = 5 \).
• Sonuç: ✔ Doğru

• A) Yalnız I: I yanlış olduğu için elenir.
• C) I ve III: I yanlış olduğu için geçersiz.
• D) I, II ve III: I ve II yanlış olduğu için elenir.

Yalnızca III. ifade doğru olduğundan, doğru cevap “B” şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda, rakamları farklı olan iki basamaklı en küçük tam sayının mutlak değerini bulmamız isteniyor. Adım adım çözüm:

İki basamaklı tam sayılar arasında en küçük olanlar negatif sayılardır. Ancak rakamları farklı olmalıdır:

• -99: Rakamları aynı olduğu için geçersiz.
• -98: Rakamları farklı (9 ve 8) → geçerli.

Seçilen sayının mutlak değeri:

• \( |-98| = 98 \)

• A) 10: İki basamaklı en küçük pozitif sayı, ancak negatifler daha küçüktür.
• B) 12: Pozitif ve daha büyük bir değer.
• C) 97: Rakamları farklı pozitif bir sayı, ancak mutlak değer 97.
• D) 98: Rakamları farklı en küçük negatif sayının mutlak değeri.

Rakamları farklı en küçük iki basamaklı tam sayı -98 olduğu için mutlak değeri 98‘dir. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( K \) tam sayısının mutlak değeri \( 3 \)’ten küçük olduğuna göre, \( K \)’nin alabileceği farklı değerlerin sayısı sorulmaktadır. Matematiksel olarak ifade edersek, \( |K| < 3 \) eşitsizliği, \( K \)’nin \(-3\) ile \(3\) arasında, fakat \(-3\) ve \(3\)’ü dahil etmeyeceğini belirtir. Bu durum, \( K \)’nin alabileceği tam sayı değerlerinin sınırlarını belirler.

Adım adım inceleyelim:

• \( K = -2 \): \(|-2| = 2\) olup, \(2 < 3\) koşulunu sağlar.
• \( K = -1 \): \(|-1| = 1\) olup, \(1 < 3\) koşulunu sağlar.
• \( K = 0 \): \(|0| = 0\) olup, \(0 < 3\) koşulunu sağlar.
• \( K = 1 \): \(|1| = 1\) olup, \(1 < 3\) koşulunu sağlar.
• \( K = 2 \): \(|2| = 2\) olup, \(2 < 3\) koşulunu sağlar.

Bu beş seçenek dışında, \(-3\) veya \(3\) gibi sınır değerler eşitsizliği sağlamaz çünkü eşitsizlik sıkı olup, eşitliği kabul etmez. Dolayısıyla, \( K \)’nin alabileceği farklı değerlerin sayısı 5 olarak bulunur.

Doğru cevap olarak, “\( 5 \)” şıkkı (D şıkkı) seçilmelidir. Şimdi diğer seçeneklerin neden yanlış olduğunu açıklayalım:

• A şıkkı: \( 2 \) – Bu seçenek yalnızca iki değer olduğunu iddia eder. Ancak yapılan ayrıntılı sayımda beş geçerli değer bulunduğundan bu şık yanlıştır.
• B şıkkı: \( 3 \) – Üç değer olduğunu belirtmekte, fakat bu sayımda üçten daha fazla uygun değer bulunmaktadır.
• C şıkkı: \( 4 \) – Dört değer olduğunu öne süren bu seçenek de, gerçek sayım olan beş değeri yansıtmamaktadır.

Sonuç olarak, mutlak değer eşitsizlikleri çözülürken sınırların dahil edilmediğini unutmamak gerekir. Bu yaklaşım, özellikle tam sayılarla ilgili problemlerde kritik önem taşır. Öğrenciler, bu tür sorularda adım adım ilerleyerek, eşitsizliğin hangi değerleri kapsadığını dikkatlice belirlemelidir. Bu yöntem, matematiksel düşünme becerilerinin gelişimine katkıda bulunacak ve benzer problemlerde hatasız sonuçlar elde etmelerini sağlayacaktır.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda, elimizde dört adet ifade bulunmaktadır: \( | -15 |, | -4 |, 0, (+3) \). Öğrencilerden bu sayıların doğru sıralanışını belirlemeleri istenmektedir. İlk bakışta ifadelerin mutlak değer içeren kısımları değerlendirilmelidir. Mutlak değer tanımına göre, bir sayının mutlak değeri o sayının pozitif halini temsil eder.

Öncelikle, her bir ifadeyi sayısal değere çevirelim:

• \( | -15 | \): Bu ifadenin değeri \(15\)’tir.
• \( | -4 | \): Bu ifadenin değeri \(4\)’tür.
• \( 0 \): Değeri \(0\)’dır.
• \( (+3) \): Değeri \(3\)’tür.

Doğru sıralamayı yapmak istersek, en büyük sayıdan başlayarak değerleri azalan şekilde dizmeliyiz: en büyük \(15\), sonra \(4\), ardından \(3\) ve en küçük \(0\)’dır. Yani beklenen doğru sıralama, \( | -15 | > | -4 | > (+3) > 0 \) şeklinde olmalıdır.

Ancak, seçeneklerde dikkat edilmesi gereken bir nokta vardır. Seçenekler şu şekilde verilmiştir:

• A şıkkı: \( (+3) > 0 > (-4) > | -15 | \)
• B şıkkı: \( (+3) > 0 > | -15 | > (-4) \)
• C şıkkı: \( | -15 | > (+3) > 0 > (-4) \)
• D şıkkı: \( | -15 | > (-4) > (+3) > 0 \)

Gerçekte, \( | -4 | \)’ün değeri \(4\)’tür; fakat seçeneklerde bu ifade yanlışlıkla \(-4\) şeklinde verilmiştir. Bu yazım hatası göz önüne alındığında, diğer şıklar sayıların yerleşimi bakımından hatalıdır. Örneğin:

• A şıkkı en büyük değerin \( | -15 | \) yani \(15\) olması gerekirken, en üstte \(+3\)’ü koyarak tamamen ters bir sıralama ortaya koymaktadır.
• B şıkkı ise \( | -15 | \)’yi üçüncü sıraya alarak sıralamada uyumsuzluk yaratır.
• D şıkkı \( | -15 | \)’yi en büyük kabul etse de, ikinci sırada \(-4\)’ü alarak \(+3\)’den büyük olduğunu iddia eder; bu da matematiksel olarak yanlıştır.

Verilen cevap anahtarına göre doğru seçenek C şıkkıdır. Bu durumda, soruda beklenen mantıksal sıralama, \( | -15 | > (+3) > 0 > (-4) \) şeklinde belirtilmiştir. Öğrencilere tavsiyem, mutlak değer içeren ifadeleri değerlendirirken hem mutlak değeri hem de seçeneklerde yer alan yazım hatalarına dikkat etmeleridir. Bu tür sorularda, her bir ifadenin değeri dikkatlice hesaplanmalı ve seçeneklerin mantıksal sıralaması incelenmelidir.

11. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen ifadeler içerisinden hangisinin yanlış olduğunu belirlememiz istenmektedir. Her bir seçeneği tek tek inceleyerek doğru ve yanlış ifadeleri ayıralım:

• A şıkkı: \( | -13 | = 13 \). Burada, mutlak değer tanımına göre, herhangi bir sayının işareti dikkate alınmadan büyüklüğü alınır. Dolayısıyla \(-13\)’ün mutlak değeri 13’tür. Bu ifade matematiksel olarak doğrudur.
• B şıkkı: \( | 5 | = 5 \). Pozitif bir sayı olan 5’in mutlak değeri yine 5’tir. Bu ifade de doğrudur.
• C şıkkı: \( | -12 | = 12 \). Benzer şekilde, \(-12\)’nin mutlak değeri 12 olarak hesaplanır. Bu ifade de doğru kabul edilir.
• D şıkkı: \( -| 100 | = 100 \). İlk bakışta kafa karıştırıcı gelebilir ancak burada dikkat edilmesi gereken nokta, mutlak değer ifadesidir. Öncelikle, \( | 100 | = 100 \) olduğu için, bu ifadenin aslında yazılması gereken şekli \( -100 \)’dür. Yani negatif işaretin etkisiyle sonuç \(-100\) olmalıdır. Ancak verilen ifade \(100\)’ü göstermektedir. Bu nedenle, yanlış olan ifade tam da bu seçenektir.

Sonuç olarak, seçenekler arasında sadece D şıkkı yanlıştır. Çünkü matematiksel olarak, \( -| 100 | \) ifadesi, önce \( | 100 | \) işlemi sonucunda \(100\)’ü verir ve bu değerin önüne konulan negatif işaret sonucu \(-100\)’ü oluşturur. Fakat seçenek, \(100\) olarak verilmiştir. Bu nedenle doğru cevap, “\( -| 100 | = 100 \)” ifadesinin yanlışlığından ötürü D şıkkıdır.

Öğrenciler, mutlak değer konusunu incelerken bu tür ifadelerdeki işaretlerin ve parantez kullanımının önemini unutmamalıdır. Her zaman, mutlak değeri alınan sayı pozitif hale gelir; ancak dışarıda bulunan negatif işaret, sonuç üzerinde etkili olur. Bu durum, matematiksel ifadelerin doğru anlaşılması için kritik bir noktadır.

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda verilen tam sayılar: \( -7 \), \( 0 \), \( +12 \), \( -3 \), \( -21 \) ve \( +9 \)’dur. Soru, bu sayılardan kaç tanesinin \( -4 \)’ten küçük olduğunu sormaktadır. Bir sayının \( -4 \)’ten küçük olabilmesi için, o sayının değeri \( -4 \)’ten daha düşük olmalıdır. Şimdi adım adım her bir sayıyı inceleyelim:

• \( -7 \): \( -7 < -4 \) olduğu için bu sayı kriteri sağlamaktadır.
• \( 0 \): \( 0 \) sayısı, \( -4 \)’ten büyük olduğundan şartı sağlamaz.
• \( +12 \): \( +12 \) da pozitif olup \( -4 \)’ten büyüktür.
• \( -3 \): \( -3 \), \( -4 \)’ten büyük olduğundan uygun değildir.
• \( -21 \): \( -21 < -4 \) olduğundan bu sayı da istenen şartı karşılar.
• \( +9 \): \( +9 \) pozitif olup, \( -4 \)’ten büyüktür.

Yapılan incelemede, sadece \( -7 \) ve \( -21 \) sayılarının \( -4 \)’ten küçük olduğu belirlenmiştir. Dolayısıyla, toplamda \(2\) sayı bu koşulu sağlar.

Doğru cevap olarak “\(2\)” şıkkı (A şıkkı) seçilmelidir. Bu cevabı destekleyen nedenler ve diğer seçeneklerin yanlış olma sebepleri şu şekildedir:

• B şıkkı: \(3\) – Bu seçenek, üç sayının \( -4 \)’ten küçük olduğunu iddia etmektedir. Ancak, detaylı incelemede yalnızca iki sayı bu koşulu sağlamaktadır.
• C şıkkı: \(4\) – Bu şık, verilen sayılar arasında dört tanesinin \( -4 \)’ten küçük olduğunu öne sürer, fakat gerçek sayım bu durumu desteklemez.
• D şıkkı: \(5\) – Bu seçenek, beş sayının \( -4 \)’ten küçük olduğunu belirtir, ki bu da matematiksel olarak hatalıdır.

Sonuç olarak, her bir sayının \( -4 \)’le karşılaştırılması sonucunda, sadece \( -7 \) ve \( -21 \)’in bu koşulu sağladığı görülmüştür. Bu detaylı analiz, doğru cevabın “\(2\)” olduğunu açıkça ortaya koymaktadır. Öğrencilerin bu tür sorularda, sayıların sıralamasını ve işaretlerinin etkisini göz önünde bulundurarak dikkatli bir karşılaştırma yapmaları büyük önem taşır. Bu yöntem, matematiksel kavramların sağlam temeller üzerine inşa edilmesi açısından da oldukça yararlıdır.