2. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen küme tanımlamalarından hangisinin boş küme ifade ettiğini bulacağız. Matematikte bir küme, belirli koşullara uyan elemanların topluluğu olarak tanımlanır. Eğer verilen koşulları sağlayan hiçbir eleman yoksa, o küme boş küme olarak kabul edilir. Şimdi seçenekleri adım adım değerlendirelim:

• A. \( \{ x \in \mathbb{Z} : x^2 = 9 \text{ ve } x > 5 \} \): Öncelikle \( x^2 = 9 \) denklemi, \( x \) için \( 3 \) ve \(-3\) çözümlerini verir. Ancak, ek olarak verilen \( x > 5 \) koşulu hiçbir durumda sağlanamaz. Çünkü ne \( 3 \) ne de \(-3\) bu koşula uymaktadır. Bu nedenle, bu tanım boş küme oluşturur.
• B. \( \{ x \in \mathbb{N} : x^2 < 10 \} \): Doğal sayılar arasında \( x^2 < 10 \) koşulunu sağlayan \( x \) değerleri vardır. Örneğin, \( x = 1 \) (\(1^2 = 1\)), \( x = 2 \) (\(2^2 = 4\)) ve \( x = 3 \) (\(3^2 = 9\)) gibi değerler bu koşulu karşılar. Dolayısıyla, bu küme boş değildir.
• C. \( \{ \text{Asal sayı olan çift sayılar} \} \): Matematikte asal sayı tanımına göre, yalnızca bir çift asal sayı bulunmaktadır: \(2\). Bu durumda, küme en az \( \{2\} \) elemanını içerir ve boş küme değildir.
• D. \( \{ x \in \mathbb{Z} : x^2 = 25 \text{ ve } x < 0 \} \): \( x^2 = 25 \) denklemi \( x = 5 \) veya \( x = -5 \) sonuçlarını verir. Ancak verilen \( x < 0 \) koşulu yalnızca \(-5\)'i kapsar. Bu nedenle küme \( \{-5\} \) olarak tanımlanır ve boş değildir.

Yukarıdaki açıklamalardan anlaşılacağı üzere, yalnızca A seçeneğinde tanımlanan koşullar altında hiçbir \( x \) değeri hem \( x^2 = 9 \) denklemini hem de \( x > 5 \) koşulunu sağlayamadığından, bu tanım boş küme ifadesini kullanmaktadır. Diğer seçeneklerde ise belirtilen koşullara uygun en az bir eleman bulunmaktadır. Bu nedenle, matematiksel kavramların kesinlik ve belirlenebilirlik ilkelerine dikkat edilerek yapılan analiz sonucunda, doğru cevap “A” şıkkıdır. Öğrenciler, bu tür sorularda verilen koşulları tek tek değerlendirerek hangi seçeneklerin boş küme oluşturduğunu belirlemelidir.

3. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen kümelerin eleman sayılarını karşılaştırarak hangisinin diğerlerinden farklı olduğunu bulmamız isteniyor. Matematikte bir kümenin eleman sayısı, o kümenin içerdiği benzersiz öğelerin sayısını ifade eder. Seçeneklerde verilen ifadelerden üçü asal sayıların çarpanları üzerinden, biri ise bir kelimenin harfleri üzerinden tanımlanmıştır. Her bir ifadeyi dikkatlice inceleyip, eleman sayılarını hesaplayarak ilerleyelim:

• A. {36 sayısının asal çarpanları}: 36 sayısı, \(36 = 2^2 \times 3^2\) şeklinde yazılabilir. Bu durumda, asal çarpanlar \(2\) ve \(3\)‘tür. Yani, bu küme \(\{2, 3\}\) olarak tanımlanır ve eleman sayısı 2dir.
• B. {14 sayısının asal çarpanları}: 14 sayısı, \(14 = 2 \times 7\) şeklinde ifade edilir. Bu durumda, asal çarpanlar \(2\) ve \(7\)‘dir. Küme \(\{2, 7\}\) elde edilir ve eleman sayısı 2dir.
• C. {“DENİZ” kelimesinin harfleri}: Burada, “DENİZ” kelimesinde yer alan harfler ele alınmaktadır. Kelimenin harfleri \( \{D, E, N, İ, Z\} \) şeklinde sıralanır. Her harf benzersiz olduğundan, bu kümenin eleman sayısı 5‘tir.
• D. {22 sayısının asal çarpanları}: 22 sayısı, \(22 = 2 \times 11\) şeklinde yazılır. Bu durumda, asal çarpanlar \(2\) ve \(11\)‘dir. Dolayısıyla, küme \(\{2, 11\}\) elde edilir ve eleman sayısı 2‘dir.

Yukarıdaki incelemelere göre, seçenek A, B ve D’de verilen kümelerin her birinin eleman sayısı 2 iken, seçenek C’de verilen “DENİZ” kelimesinin harflerinden oluşan kümenin eleman sayısı 5‘tir. Bu durum, seçenek C’nin eleman sayısının diğerlerinden farklı olduğunu açıkça göstermektedir. Bu analizi yaparken, asal çarpanların doğru hesaplanması ve kelime içerisindeki harflerin tekrarsızlığının göz önünde bulundurulması gerekmektedir. Öğrenciler, bu tür sorularda her seçeneği dikkatlice inceleyerek, temel matematiksel kavramları (asal sayı, çarpan, küme eleman sayısı) doğru şekilde uygulamalıdır.

Sonuç olarak, diğer kümelerle kıyaslandığında “DENİZ” kelimesinin harflerinden oluşan kümenin eleman sayısı farklıdır. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.

4. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \(A = \{30\) sayısının asal olmayan bölenleri\(\}\) kümesinin elemanları üzerinden verilen seçeneklerin hangisinin yanlış olduğunu bulmamız istenmektedir. İlk olarak, \(30\) sayısının tüm pozitif bölenlerini inceleyelim. Matematiksel olarak, \(30\) sayısının bölenleri;

\(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,\) ve \(30\)’dur.

Burada asal sayı tanımına göre, sadece kendisi ve 1’e bölünebilen, 1’den farklı sayılar asal kabul edilir. Dolayısıyla, bölenler arasından asal olanlar \(2, 3\) ve \(5\)’dir. Bu durumda, asal olmayan bölenler;

\(1, 6, 10, 15,\) ve \(30\)’dur. Yani \(A = \{1, 6, 10, 15, 30\}\) şeklinde ifade edilebilir.

Şimdi, seçenekleri teker teker değerlendirelim:

• A. \(1 \in A\): \(1\) sayısı, asal sayı tanımına dahil olmadığından kesinlikle \(A\) kümesinde yer alır. Bu ifade doğrudur.
• B. \(6 \in A\): \(6\) sayısı, bileşik bir sayı olduğu için \(A\) kümesinde bulunur. Bu ifade de doğru kabul edilir.
• C. \(5 \in A\): \(5\) sayısı, asal sayılar arasında yer alır. Dolayısıyla \(A\) kümesinde bulunmaması gerekir. Bu ifade yanlıştır.
• D. \(15 \in A\): \(15\) sayısı, asal olmayan bileşik bir sayı olduğu için \(A\) kümesinde yer alır. Bu ifade doğru kabul edilir.

Yapılan bu detaylı değerlendirmede, yalnızca seçenek C’de yer alan \(5 \in A\) ifadesi hatalıdır. Öğrenciler, asal sayıların tanımını ve bölenlerin özelliklerini doğru şekilde analiz ederek, hangi sayıların kümede yer alması gerektiğini kavrayabilirler. Bu tür sorularda, her bir sayının asal mı bileşik mi olduğunun tespiti, doğru cevaba ulaşmada temel adımlardan biridir. Sonuç olarak, sorunun doğru cevabı “C” şıkkıdır.

5. Sorunun Çözümü

Selin’in yıl sonu karne notları şu şekildedir: Matematik: 88, Fizik: 73, Kimya: 95, Tarih: 78, Edebiyat: 92. Bu notlar üzerinden verilen ifadeleri adım adım inceleyerek hangi ifadelerin doğru olduğunu belirleyeceğiz.

• I. 90’dan yüksek not aldığı derslerden oluşan kümenin eleman sayısı 3’tür.

  Bu ifadede 90’dan yüksek not alan dersler belirlenmeye çalışılmıştır. 90’dan yüksek ifadesi, notun 90’ın üzerinde olması gerektiğini belirtir. Selin’in notları arasında yalnızca Kimya (95) ve Edebiyat (92) bu koşulu sağlar; Matematik (88), Fizik (73) ve Tarih (78) bu gruba girmez. Dolayısıyla, bu küme 2 ders içerdiğinden ifade yanlıştır.

• II. 80’den yüksek not aldığı derslerden oluşan küme \( \{\text{Matematik, Kimya, Edebiyat}\} \)’dir.

  80’den yüksek not alan dersler, not değeri 80’ın üstünde olanları kapsar. Bu durumda, Matematik (88), Kimya (95) ve Edebiyat (92) dersleri bu şartı karşılar. Fizik (73) ve Tarih (78) ise bu kümeye dahil değildir. Böylece, ifade doğru olarak tanımlanmıştır.

• III. 75’den düşük not aldığı derslerden oluşan kümenin eleman sayısı 1’dir.

  75’den düşük not, yalnızca not değeri 75’in altında olan dersleri ifade eder. Selin’in notları arasında yalnızca Fizik (73) bu kriteri karşılamaktadır; diğer dersler (Matematik: 88, Kimya: 95, Tarih: 78, Edebiyat: 92) bu gruba dahil değildir. Bu nedenle, kümenin eleman sayısı 1 olup ifade doğrudur.

Yapılan bu değerlendirmede, sadece II ve III ifadelerinin doğru olduğu, I ifadesinin ise yanlış olduğu görülmektedir. Öğrenciler, not aralıklarını ve verilen şartları dikkatlice analiz ederek hangi derslerin belirli kriterlere uyduğunu anlamalıdır. Bu tür sorularda, koşulların titizlikle incelenmesi ve her bir dersin not değerinin doğru şekilde değerlendirilmesi büyük önem taşır. Sonuç olarak, sorunun doğru cevabı “D” şıkkı olup, doğru ifadeler II ve III‘tür.

6. Sorunun Çözümü

Bu soruda, \( A = \{\text{‘PROGRAM’ kelimesinin harfleri}\} \) kümesi tanımlanmıştır. Küme tanımında önemli olan nokta, her elemanın benzersiz kabul edilmesidir; yani, bir harf birden fazla geçse dahi, küme gösteriminde yalnızca bir kere yer alır. “PROGRAM” kelimesi sırasıyla P, R, O, G, R, A, M harflerini içerir. Burada, tekrarlanan R harfi yalnızca bir kere sayılarak, küme \(\{P, R, O, G, A, M\}\) olarak ifade edilir. Böylece, A kümesinin eleman sayısı 6‘dır.

• I. A kümesinin eleman sayısı 6’dır.

  Yukarıdaki açıklamaya göre, tekrarlanan harfler bir kez alındığından, bu ifade doğrudur.

• II. Liste yöntemiyle gösterimi \( A = \{P, R, O, G, A, M\} \)’dir.

  Liste yöntemiyle gösterimde, kümenin elemanları tekil olarak yazılır. Bu gösterimde, “PROGRAM” kelimesinin harfleri tekrarsız şekilde sıralandığından, ifade doğru kabul edilir.

• III. Venn şeması yöntemi ile gösterimde, her harf için ayrı bir daire kullanılır.

  Venn şemasında, genellikle bir küme tek bir daire ile temsil edilir ve bu dairenin içine kümenin elemanları yazılır. Her harf için ayrı daire kullanmak standart bir gösterim yöntemi değildir. Bu sebeple, ifade yanlıştır.

Yapılan bu değerlendirmede, İlk iki ifade (I ve II) doğru olup, üçüncü ifade (III) yanlış olarak belirlenmiştir. Öğrenciler, küme gösteriminde tekrar eden elemanların tekil olarak sayılması gerektiğini ve Venn şeması kullanımının temel prensiplerini kavramalıdır. Sonuç olarak, sorunun doğru cevabı “C” şıkkı, yani I ve II ifadelerinin doğru olduğu şeklinde yorumlanır.

7. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen kümeler üzerinden birleşim, kesişim ve eleman sayısı işlemleri incelenecektir. A kümesi \( \{2, 4, 6, 8\} \), B kümesi \( \{4, 8, 10\} \) ve C kümesi \( \{2, 6, 12\} \) şeklinde tanımlanmıştır. Her seçeneği adım adım değerlendirelim:

• A. 2 ∈ (A ∪ C)

  A ve C kümelerinin birleşimi, her iki kümede bulunan tüm elemanların tekrarsız biçimde bir araya getirilmesiyle elde edilir. \( A \cup C = \{2, 4, 6, 8, 12\} \) olur. Bu kümede 2 sayısı yer aldığı için ifade doğrudur.

• B. 4 ∈ (A ∩ B)

  A ve B kümelerinin kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanları içerir. \( A \cap B = \{4, 8\} \) şeklinde bulunur. Dolayısıyla, 4 sayısının bu kesişimde bulunması doğru bir ifadedir.

• C. s(A ∪ C) = 6

  Yukarıda belirttiğimiz üzere \( A \cup C = \{2, 4, 6, 8, 12\} \) olup, bu kümenin eleman sayısı \( s(A \cup C) = 5 \)’tir. Bu nedenle, eleman sayısının 6 olduğu ifadesi yanlıştır.

• D. s(B ∩ C) = 0

  B ve C kümelerinin kesişiminde ortak eleman bulunmamaktadır. B kümesi \( \{4, 8, 10\} \) ve C kümesi \( \{2, 6, 12\} \) olduğundan, \( B \cap C = \varnothing \) ve eleman sayısı 0’dır. Bu ifade doğrudur.

İncelemeden de anlaşılacağı üzere, seçenek A, B ve D doğru bilgiler verirken; seçenek C’de yer alan \( s(A \cup C) = 6 \) ifadesi, doğru eleman sayısının 5 olması gerektiği gerçeğini göz ardı etmektedir. Öğrenciler, küme işlemleri yaparken birleşim ve kesişim işlemlerinin temel prensiplerine dikkat etmelidir. Bu analiz neticesinde, soruda yanlış olan ifade “C” şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen Venn şeması üzerinden kümeler A ve B’nin elemanları belirlenmiş ve verilen seçeneklerin doğruluğu incelenmektedir. Şemada yer alan metinler ve konumlandırmalar dikkatle değerlendirildiğinde, elemanların hangi bölgelere ait olduğu anlaşılmaktadır. Şemada:

• A Bölgesi (Sadece A): 4 sayısı, A kümesinin yalnızca A’ya ait kısmında yer almaktadır.
• Kesişim (A ∩ B): 3 ve 7 sayıları, iki dairenin ortak alanında konumlandırılmıştır; bu nedenle hem A hem de B kümesine aittir.
• B Bölgesi (Sadece B): 9 ve 5 sayıları ise B kümesinin yalnızca B’ye ait kısmında bulunmaktadır.

Bu bilgilere göre kümeler şu şekilde ifade edilebilir:

\( A = \{4,\,3,\,7\} \) ve \( B = \{3,\,7,\,9,\,5\} \). Buna göre, birleşim kümesi \( A \cup B = \{3,\,4,\,7,\,9,\,5\} \) olup eleman sayısı \( s(A \cup B) = 5 \)’tir; kesişim kümesi ise \( A \cap B = \{3,\,7\} \) şeklinde, eleman sayısı \( s(A \cap B) = 2 \)’dir.

• A. 4 ∈ (A ∪ B): Birleşim kümesinde \(4\) sayısı yer alır; ifade doğru.
• B. 9 ∈ A: \(9\) sayısı yalnızca B kümesinde bulunduğu için, A kümesinde yer almaz; bu ifade yanlıştır.
• C. s(A ∪ B) = 5: Birleşim kümesinde 5 farklı eleman bulunduğundan, ifade doğrudur.
• D. s(A ∩ B) = 2: Kesişim kümesinde \(3\) ve \(7\) olmak üzere 2 eleman bulunduğundan, ifade doğrudur.

Yapılan bu değerlendirme sonucunda, yalnızca seçenek B “9 ∈ A” ifadesi yanlıştır. Öğrenciler, Venn şeması üzerinden kümelerin eleman dağılımını doğru bir şekilde belirleyerek, birleşim ve kesişim kavramlarını uygulamalıdır. Bu analiz, kümelerin temel özelliklerini kavrama açısından oldukça önemlidir. Sonuç olarak, soruda yanlış olan ifade “B” şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, A ve B kümeleri şu şekilde tanımlanmıştır:
\( A = \{\text{‘KÜTÜPHANE’ kelimesinin harfleri}\} \) ve \( B = \{\text{‘KÜLTÜR’ kelimesinin harfleri}\} \). Amacımız, her bir kümenin eleman sayısını ve aralarındaki ilişkiyi belirleyerek, verilen ifadelerden hangisinin doğru olduğunu tespit etmektir.

• Adım 1: A Kümesinin İncelenmesi

  “KÜTÜPHANE” kelimesi harfleri incelendiğinde; K, Ü, T, Ü, P, H, A, N, E şeklinde sıralanır. Tekrarlanan Ü harfi sadece bir kere sayılır. Bu nedenle, A = \(\{K, Ü, T, P, H, A, N, E\}\) olur ve bu kümenin eleman sayısı s(A) = 8‘dir.

• Adım 2: B Kümesinin İncelenmesi

  “KÜLTÜR” kelimesinde yer alan harfler; K, Ü, L, T, Ü, R şeklindedir. Burada da tekrarlanan Ü harfi sadece bir kere alınır. Böylece, B = \(\{K, Ü, L, T, R\}\) elde edilir ve eleman sayısı s(B) = 5‘tir.

• Adım 3: Kesişim ve Birleşim İncelemesi

  Kesişim \( A \cap B \): İki kümenin ortak elemanları belirlenir. A kümesinde \( \{K, Ü, T, P, H, A, N, E\} \) ve B kümesinde \( \{K, Ü, L, T, R\} \) yer almaktadır. Ortak harfler K, Ü, T olup, s(A ∩ B) = 3‘tür.
  Birleşim \( A \cup B \): Her iki kümede yer alan tüm farklı harflerin birleşimi alınır. Bu durumda, \( A \cup B = \{K, Ü, T, P, H, A, N, E, L, R\} \) olur ve s(A ∪ B) = 10‘dur.

Seçenekleri değerlendirdiğimizde:
A: s(A) = 8 → Doğru, çünkü “KÜTÜPHANE” kelimesinin benzersiz harfleri tam olarak 8 tanedir.
B: s(B) = 6 → Yanlış, çünkü “KÜLTÜR” kelimesinde 6 değil, 5 farklı harf bulunmaktadır.
C: s(A ∩ B) = 4 → Yanlış, çünkü iki kümenin kesişiminde sadece 3 ortak harf vardır.
D: s(A ∪ B) = 9 → Yanlış, çünkü birleşimde toplam 10 farklı harf mevcuttur.

Öğrenciler, kümelerde tekrarlanan elemanların yalnızca bir kez sayılması gerektiğini unutmamalıdır. Bu temel prensip, doğru eleman sayılarının belirlenmesinde kritik rol oynar. Yapılan analiz sonucunda, verilen ifadeler arasında yalnızca s(A) = 8 ifadesi doğru olduğu için, sorunun doğru cevabı “A” şıkkıdır.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda, bir ressamın Doğa Temalı Resim ve Geometri Temalı Resim için açık artırmaya başvuran katılımcılar tablo halinde verilmiştir. Katılımcıların listesinden, her iki resim için başvuranlar ayrı ayrı kümeler olarak tanımlanabilir. Burada;

• A Kümesi (Doğa Temalı Resim): Tabloya göre Ayhan Demir, Banu Yılmaz, Derya Öz, Funda Çelik ve Gökhan Acar bu resme başvurmuştur. Dolayısıyla, \( A = \{\text{Ayhan Demir, Banu Yılmaz, Derya Öz, Funda Çelik, Gökhan Acar}\} \) ve s(A) = 5.
• B Kümesi (Geometri Temalı Resim): Bu sütunda başvuranlar; Banu Yılmaz, Cem Aksoy, Emre Kara, Funda Çelik ve Hale Şimşek olup, \( B = \{\text{Banu Yılmaz, Cem Aksoy, Emre Kara, Funda Çelik, Hale Şimşek}\} \) şeklinde tanımlanır. Böylece s(B) = 5 elde edilir.
• Kesişim: Her iki resme de başvuran katılımcılar \( A \cap B \) olarak, \( A \cap B = \{\text{Banu Yılmaz, Funda Çelik}\} \) ve s(A ∩ B) = 2 şeklinde bulunur.
• Birleşim: Tabloda yer alan tüm katılımcılar, yani \( A \cup B \) kümesi, \( A \cup B = \{\text{Ayhan Demir, Banu Yılmaz, Cem Aksoy, Derya Öz, Emre Kara, Funda Çelik, Gökhan Acar, Hale Şimşek}\} \) olup, s(A ∪ B) = 8‘dir.

Seçenekleri incelediğimizde:

• A: \( s(A) = 5 \) → Bu ifade, Doğa Temalı Resim başvuranlarının sayısını doğru yansıttığından doğrudur.
• B: \( s(B) = 4 \) → Ancak Geometri Temalı Resim için hesaplanan katılımcı sayısı 5’tir; dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
• C: \( s(A ∩ B) = 2 \) → Ortak başvuru yapanların sayısı 2 olduğu için ifade doğrudur.
• D: \( s(A ∪ B) = 8 \) → Tüm katılımcıların sayısı 8 olduğundan bu ifade de doğrudur.

Yapılan bu detaylı analiz sonucunda, verilen ifadeler arasında s(B) = 4 ifadesi, gerçek değer olan 5 yerine 4 verilmiş olduğundan yanlış kabul edilmektedir. Dolayısıyla, soruda doğru olarak işaretlenmesi gereken (yanlış olan ifadeyi belirten) seçenek “B” şıkkıdır.