1 Aşağıdaki eşitliklerde \( \triangle \) ve \( \square \) sembollerinin yerine hangi sayılar yazılmalıdır?
\( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{\square} \)
\( 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{\triangle} \)
- \( \square = 4, \triangle = 2 \)
- \( \square = 5, \triangle = 3 \)
- \( \square = 5, \triangle = 4 \)
- \( \square = 4, \triangle = 3 \)
1. Sorunun Çözümü
Bu soruda, verilen eşitlikler \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{\square} \) ve \( 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{\triangle} \) için \( \square \) ve \( \triangle \) sembollerinin yerine hangi sayıların gelmesi gerektiğini bulmamız gerekiyor. Üstel ifadelerde üs, tabanın kaç kez kendisiyle çarpıldığını gösterir. Bu nedenle, her eşitlikte çarpma işlemini inceleyerek üsleri belirleyebiliriz. Şimdi adım adım çözelim.
- İlk eşitlik: \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{\square} \)
Sol tarafta 2 sayısı toplamda 5 kez çarpılıyor: \( 2 \cdot 2 = 4 \), \( 4 \cdot 2 = 8 \), \( 8 \cdot 2 = 16 \), \( 16 \cdot 2 = 32 \). Yani, \( 2^5 = 32 \) ve bu eşitlik sağlanıyor. Dolayısıyla, \( \square = 5 \) olmalıdır. - İkinci eşitlik: \( 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{\triangle} \)
Sol tarafta 7 sayısı 3 kez çarpılıyor: \( 7 \cdot 7 = 49 \), \( 49 \cdot 7 = 343 \). Yani, \( 7^3 = 343 \) ve bu eşitlik doğru. Bu nedenle, \( \triangle = 3 \) olmalıdır.
Şimdi, \( \square = 5 \) ve \( \triangle = 3 \) olduğunu belirledik. Sorunun şıklarını analiz ederek doğru cevabı bulalım.
Şıkların Analizi:
- A şıkkı: \( \square = 4, \triangle = 2 \)
\( \square = 4 \) olsaydı, \( 2^4 = 16 \) olurdu, ancak \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \), yani \( 16 \neq 32 \). Aynı şekilde, \( \triangle = 2 \) için \( 7^2 = 49 \), ama \( 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343 \), yani \( 49 \neq 343 \). Bu nedenle A şıkkı yanlış. - B şıkkı: \( \square = 5, \triangle = 3 \)
\( \square = 5 \) için \( 2^5 = 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \), ve \( \triangle = 3 \) için \( 7^3 = 343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \). Her iki eşitlik de sağlanıyor. Bu nedenle B şıkkı doğru. - C şıkkı: \( \square = 5, \triangle = 4 \)
\( \square = 5 \) doğru, çünkü \( 2^5 = 32 \). Ancak \( \triangle = 4 \) için \( 7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 2401 \), oysa \( 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343 \), yani \( 343 \neq 2401 \). Bu yüzden C şıkkı yanlış. - D şıkkı: \( \square = 4, \triangle = 3 \)
\( \triangle = 3 \) doğru, çünkü \( 7^3 = 343 \). Ancak \( \square = 4 \) için \( 2^4 = 16 \neq 32 \). Dolayısıyla D şıkkı yanlış.
Sonuç olarak, yalnızca B şıkkı her iki eşitliği de doğru bir şekilde sağlıyor. Bu soruda üslerin, tabanın çarpılma sayısına eşit olması gerektiği temel matematik kuralı çözümde belirleyici oldu. Doğru cevap “B” şıkkıdır.
2 Aşağıdaki üslü sayı ifadelerinde \( \triangle \) ve \( \square \) sembollerinin yerine hangi sayılar gelmelidir?
\( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{\square} \)
\( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{\triangle} \)
- \( \square = 3, \triangle = 6 \)
- \( \square = 4, \triangle = 5 \)
- \( \square = 4, \triangle = 6 \)
- \( \square = 5, \triangle = 7 \)
2. Sorunun Çözümü
Bu soruda, verilen iki çarpım ifadesi ile hangi üstlü sayılara eşit olduklarını bulmamız istenmektedir. Öncelikle üslü sayılar mantığını hatırlamakta fayda var: Bir sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığını göstermek için kullanılan üs, çarpımın tekrar sayısını belirtir. Aşağıda adım adım ilerleyelim:
- \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\) ifadesi dört adet 3’ün çarpımıdır. Dolayısıyla bu ifade \(3^4\) şeklinde yazılır ve buradan \( \square = 4 \) sonucuna ulaşırız.
- \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\) ifadesi ise altı adet 5’in çarpımıdır. Dolayısıyla bu ifade \(5^6\) olarak ifade edilir ve \( \triangle = 6 \) sonucuna varırız.
Bu çıkarımları yaptıktan sonra şıklara bakarak doğru eşleşmeyi doğrulamamız gerekiyor. Seçenek A (\(\square = 3, \triangle = 6\)) kısmı \(\triangle\) değeri açısından doğru olsa bile \(\square\) değerini üç gösterdiği için 3 adet 3’ün çarpımına işaret eder. Oysa soruda 3 dört kez çarpılmaktadır. Dolayısıyla A şıkkı yanlıştır. Seçenek B (\(\square = 4, \triangle = 5\)) ise \(\square = 4\) ile ilk kısmı doğru gösterse de 5 sayısının beş kez çarpılması gerektiğini söyler. Halbuki toplamda altı adet 5 çarpılıyor; dolayısıyla bu seçenek de yanlıştır. Seçenek D (\(\square = 5, \triangle = 7\)) ise her iki gösterimde de yanlışlığa yol açmaktadır, çünkü 3 sayısı beş kez değil dört kez çarpılırken 5 sayısı yedi kez değil altı kez çarpılmaktadır. Dolayısıyla D şıkkı da geçersizdir.
Tüm bu değerlendirmeler ışığında, 3 sayısının dört kez, 5 sayısının altı kez çarpılması gerektiği görülür. \(3^4\) ve \(5^6\) ifadesi de yalnızca “C” şıkkında doğru şekilde belirtilmiştir. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.
3 Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
- \( 3^2 < 3^3 \)
- \( 2^4 < 4^2 \)
- \( 5^2 < 3^3 \)
- \( 2^3 < 4^2 \)
3. Sorunun Çözümü
Yanlış olan şıkkı bulmak için tüm seçenekleri tek tek inceleyelim:
-
A Şıkkı: \( 3^2 < 3^3 \)
\( 3^2 = 9 \) ve \( 3^3 = 27 \) olduğundan, \( 9 < 27 \) doğrudur.
Sonuç: Bu şık doğru olduğu için yanlış cevap değildir. -
B Şıkkı: \( 2^4 < 4^2 \)
\( 2^4 = 16 \) ve \( 4^2 = 16 \) olduğundan, \( 16 < 16 \) ifadesi geçersizdir.
Matematiksel Analiz: İki taraf da eşit (\( 16 = 16 \)) olduğu için “<" işareti yanlış kullanılmıştır.
Sonuç: Bu şık yanlıştır ve sorunun cevabıdır. -
C Şıkkı: \( 5^2 < 3^3 \)
\( 5^2 = 25 \) ve \( 3^3 = 27 \) olduğundan, \( 25 < 27 \) doğrudur.
Ek Bilgi: 25 ile 27 arasında 2 birim fark vardır; küçük olan sayı solda yer aldığı için ifade geçerlidir.
Sonuç: Bu şık doğru olduğundan yanlış cevap değildir. -
D Şıkkı: \( 2^3 < 4^2 \)
\( 2^3 = 8 \) ve \( 4^2 = 16 \) olduğundan, \( 8 < 16 \) doğrudur.
Karşılaştırma: 8, 16’nın yarısından küçük olduğu için “<" işareti mantıklıdır.
Sonuç: Bu şık da doğru olduğu için yanlış cevap değildir.
Sonuç Olarak:
B şıkkında \( 2^4 \) ile \( 4^2 \) birbirine eşittir (\( 16 = 16 \)). Ancak soruda “<" işareti kullanılarak hatalı bir karşılaştırma yapılmıştır. Diğer şıklar matematiksel olarak doğru olduğundan, yanlış olan tek seçenek B şıkkıdır.
4 Aşağıdaki üslü ifadelerden hangisi \( 81 \) sayısına eşit değildir?
- \( 9^2 \)
- \( 3^4 \)
- \( 81^1 \)
- \( 1^{81} \)
4. Sorunun Çözümü
Bu soruda, \(81\) sayısına eşit olmayan üslü ifadeyi bulmamız istenmektedir. Öncelikle \(81\) sayısının farklı üslü biçimlerini hatırlayarak ilerleyelim. \(81\) sayısı, 9 sayısının karesi olarak \(9^2\) biçiminde yazılabilir ve bu değerin gerçekten \(81\) olduğunu biliyoruz. Ayrıca 3 sayısının dördüncü kuvveti de \(3^4\) şeklinde gösterilir ve bu da 81 eder. Diğer taraftan, bir sayının birinci kuvveti kendisine eşit olduğundan \(81^1\) de elbette \(81\) değerini vermektedir. Ancak \(1^{81}\) ifadesinde, taban 1 olduğu için sonuç hangi pozitif üste sahip olursa olsun her zaman 1 olmaktadır. Bu nedenle \(1^{81}\) değeri 81 yerine 1 sonucunu verir; dolayısıyla bu seçenek beklenen değere eşit değildir.
- \(9^2\) → \(9 \times 9 = 81\). Bu ifade 81 sayısına eşittir.
- \(3^4\) → \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\). Bu ifade de 81 değerine eşittir.
- \(81^1\) → Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir, dolayısıyla bu ifade de 81 sonucunu verir.
- \(1^{81}\) → Taban 1 olduğunda, kaç kere çarparsanız çarpın sonuç hep 1 kalır. Dolayısıyla bu ifade 81 sayısına eşit değildir.
Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda, \(81\) sayısına eşit olmayan üslü ifade \(1^{81}\)’dir. Bu nedenle doğru cevap “D” şıkkıdır.
5 Yukarıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
I. \( 48 \div 6 + 2 \cdot 3 = 14 \)
II. \( 5 \cdot 5 – 10 \div 2 = 20 \)
III. \( 7 + 18 \div 3 = 13 \)
IV. \( 10 \cdot 2 – 8 = 15 \)
- \( 1 \)
- \( 2 \)
- \( 3 \)
- \( 4 \)
5. Sorunun Çözümü
Bu soruda, verilen dört eşitliğin kaç tanesinin doğru olduğunu bulmamız gerekiyor. Eşitlikleri tek tek inceleyerek, matematiksel işlem önceliklerine (parantezler, üsler, çarpma ve bölme, toplama ve çıkarma) dikkat ederek değerlendireceğiz. Her eşitliği adım adım çözecek ve sonucun sağ taraftaki sayıya eşit olup olmadığını kontrol edeceğiz.
- I. $$ 48 \div 6 + 2 \cdot 3 = 14 $$
Önce bölme ve çarpma işlemlerini soldan sağa yaparız. İlk olarak $$ 48 \div 6 = 8 $$, sonra $$ 2 \cdot 3 = 6 $$. Ardından toplama: $$ 8 + 6 = 14 $$. Eşitlik $$ 14 = 14 $$ olduğundan doğru. - II. $$ 5 \cdot 5 – 10 \div 2 = 20 $$
Çarpma ve bölme soldan sağa: $$ 5 \cdot 5 = 25 $$, $$ 10 \div 2 = 5 $$. Sonra çıkarma: $$ 25 – 5 = 20 $$. Eşitlik $$ 20 = 20 $$ olduğundan doğru. - III. $$ 7 + 18 \div 3 = 13 $$
Önce bölme: $$ 18 \div 3 = 6 $$, sonra toplama: $$ 7 + 6 = 13 $$. Eşitlik $$ 13 = 13 $$ olduğundan doğru. - IV. $$ 10 \cdot 2 – 8 = 15 $$
Çarpma: $$ 10 \cdot 2 = 20 $$, sonra çıkarma: $$ 20 – 8 = 12 $$. Eşitlik $$ 12 = 15 $$ olmadığından yanlış.
Yukarıdaki incelemelere göre, I, II ve III doğru, IV ise yanlıştır. Yani toplamda 3 eşitlik doğrudur. Şimdi şıkları analiz edelim.
Şıkların Analizi:
- A şıkkı (1): Yalnızca 1 eşitlik doğru olsaydı geçerli olurdu, ancak 3 doğru eşitlik var. Bu yüzden yanlış.
- B şıkkı (2): 2 eşitlik doğru olsaydı uygun olurdu, ama aslında 3 tane doğru. Dolayısıyla yanlış.
- C şıkkı (3): 3 eşitlik doğru olduğu için bu şık doğru.
- D şıkkı (4): 4 eşitlik de doğru olsaydı geçerli olurdu, ancak IV yanlış olduğu için yanlış.
Sonuç olarak, işlem önceliklerine dikkat ederek yaptığımız değerlendirme, 3 eşitliğin doğru olduğunu gösteriyor. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır. Matematikte işlem sırasını doğru uygulamak, bu tür sorularda hatasız sonuca ulaşmanın anahtarıdır.
6 \( 4^3 – 2^3 \div (2^2 – 2^1) \) işleminin sonucu kaçtır?
- \( 56 \)
- \( 58 \)
- \( 60 \)
- \( 62 \)
6. Sorunun Çözümü
Bu soruda bizden \(4^3 – 2^3 \div (2^2 – 2^1)\) işleminin sonucunu hesaplamamız isteniyor. Öncelikle işlemde yer alan üstlü sayıları adım adım çözelim. 4^3, 4 sayısının kendisiyle üç kez çarpılması demektir ve \(4 \times 4 \times 4 = 64\) sonucunu verir. Ardından 2^3 ifadesi, 2’nin üç kez çarpımını belirtir ve \(2 \times 2 \times 2 = 8\) olarak bulunur. Ayrıca payda kısmında yer alan \(2^2 – 2^1\) ifadesine bakarsak, 2^2 = 4 ve 2^1 = 2 olduğundan, \(4 – 2 = 2\) sonucunu elde ederiz.
İşlemin devamında, \(2^3 \div (2^2 – 2^1)\) = \(8 \div 2\) = 4 olur. Bu aşamadan sonra asıl ifademiz \(4^3 – 4\) şekline dönüşür ki bu da \(64 – 4 = 60\) sonucuna eşittir. Dolayısıyla işlem sonucumuz 60 olarak belirlenir. Şıklara baktığımızda A şıkkı (56), B şıkkı (58) ve D şıkkı (62) farklı sonuçlar gösterir. Örneğin 56’yı bulmak için 8 yerine 6 kullanmak ya da 58’i bulmak için yanlış bir çıkarma yapmak gibi basit hatalar söz konusu olabilir. 62 ise, muhtemelen bölme veya çıkarma işlemini hatalı takip etmekten ortaya çıkabilecek bir değerdir. Ancak yaptığımız sistemli çözümde, tüm üstlü işlemler ve bölme-adım sıralaması doğru uygulandığında, sorunun 60 sonucuna ulaştığı açıktır.
Kısacası işlem hatalarının kolayca yapılabildiği bu tür sorularda öncelik sırası ve parantez içi çözüme dikkat etmek önemlidir. Her bir adımı ayrı ayrı kontrol ettiğimizde, doğru cevabın “60” olduğu kesinleşir. Bu nedenle doğru cevap “C” şıkkıdır.
7 Aşağıdakilerden hangisinin değeri diğerlerinden daha büyüktür?
- \( 2^5 \)
- \( 5^2 \)
- \( 3^3 \)
- \( 4^3 \)
7. Sorunun Çözümü
Hangi seçeneğin değeri daha büyük olduğunu bulmak için tüm üslü ifadeleri hesaplayalım ve karşılaştıralım:
-
A Şıkkı: \( 2^5 \)
Hesaplama: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
Sonuç: Değer = 32 -
B Şıkkı: \( 5^2 \)
Hesaplama: \( 5 \times 5 = 25 \)
Sonuç: Değer = 25 -
C Şıkkı: \( 3^3 \)
Hesaplama: \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
Sonuç: Değer = 27 -
D Şıkkı: \( 4^3 \)
Hesaplama: \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
Sonuç: Değer = 64
Karşılaştırma ve Analiz:
- A şıkkı (\( 32 \)) ile D şıkkı (\( 64 \)) karşılaştırıldığında: \( 32 < 64 \)
- B şıkkı (\( 25 \)) ve C şıkkı (\( 27 \)) D şıkkından küçüktür: \( 25 < 64 \), \( 27 < 64 \)
- En yüksek değer D şıkkına aittir (\( 64 \)).
Diğer Şıklar Neden Doğru Değil?
- A Şıkkı: \( 32 \) büyük bir değer olsa da \( 64 \)’ten küçüktür.
- B Şıkkı: \( 25 \), diğer şıklara göre en küçük değerdir.
- C Şıkkı: \( 27 \), hem A hem de D şıklarından küçüktür.
Sonuç:
Tüm hesaplamalar sonucunda \( 4^3 = 64 \), diğer seçeneklerin değerlerinden (32, 25, 27) belirgin şekilde büyüktür. Bu nedenle doğru cevap D şıkkıdır.
8 \( (24 – 4 \cdot 5) \cdot (8^2 – 64) + 5^2 – 5 \) işleminin sonucu kaçtır?
- \( 15 \)
- \( 20 \)
- \( 25 \)
- \( 30 \)
8. Sorunun Çözümü
Bu soruda verilen ifade \((24 – 4 \cdot 5) \cdot (8^2 – 64) + 5^2 – 5\) şeklindedir. İşlemi yaparken önce parantezlerin içini değerlendirmeli ve çarpma ile üstlü işlemlerin önceliğini göz önünde bulundurmalıyız. Adım adım ilerleyelim:
- \(24 – 4 \cdot 5\) kısmında önce çarpma işlemini yaparız: \(4 \cdot 5 = 20\). Ardından \(24 – 20 = 4\) sonucunu elde ederiz.
- İkinci parantezde \(8^2 – 64\) ifadesi yer alır. \(8^2\) = \(8 \times 8 = 64\) olduğu için buradan \(64 – 64 = 0\) sonucu çıkar.
- Bu iki parantezin çarpımı yani \(4 \cdot 0\) = 0 olur. Demek ki ilk büyük çarpım ifadesinden gelen sonuç 0‘dır.
- Sonrasında elde ettiğimiz bu sonuca \(5^2 – 5\) eklenip çıkarılacaktır. \(5^2\) = \(25\) olarak bulunur. Devamında \(25 – 5\) = 20 şeklinde hesaplanır.
Dolayısıyla tüm işlemleri sırasıyla yaptığımızda sonuç 20 çıkar. Şıklara baktığımızda A (15), C (25) ya da D (30) gibi değerlerin çıkması, muhtemelen parantez hatası, üslü işlem hatası ya da son eklenecek-çıkarılacak değerin ihmalinden kaynaklanabilir. Örneğin, \(25\) sonucunu bulmak için yalnızca \(5^2\)’yi ekleyip \(-5\) işlemini gözden kaçırmak gibi basit bir hata yapmak mümkündür. Yine \((24 – 4 \cdot 5)\) kısmında önce çıkarma yapmak ya da \((8^2 – 64)\) bölümünde hatalı sonuç elde etmek, istenmeyen ve yanlış sonuçlara yol açabilir. Ancak burada gösterildiği gibi doğru işlem sırasına dikkat edince, tüm ara sonuçlar tutarlı bir biçimde 20‘ye ulaşır.
Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.
9 \( 42 \ \square \ 7 \ \square \ 2 \ \square \ 5 = 20 \)
Yukarıdaki eşitliğin doğru olması için \( \square \) sembollerinin yerine sırasıyla hangi işlemler yerleştirilmelidir?
- \( : , – , \times \)
- \( : , + , \times \)
- \( \times , – , : \)
- \( – , : , + \)
9. Sorunun Çözümü
Bu soruda \( 42 \ \square \ 7 \ \square \ 2 \ \square \ 5 = 20\) ifadesinde, boşluklara yerleştirilecek doğru işlemler dizisini bulmamız isteniyor. Özellikle işlem önceliğini doğru şekilde uygulamak bu tür sorular için kritik önem taşır. Bize dört farklı seçenek verilmiştir ve her seçenek, sırasıyla üç farklı işlem göstermek üzere hazırlanmıştır. Sorudaki \(\square\) simgelerinin yerine A şıkkına göre bölme (:), çıkarma (-) ve çarpma (\(\times\)) işlemleri konulduğunda, ifadenin 20’ye ulaşıp ulaşmayacağını kontrol etmemiz gerekir.
- A şıkkı: \(42 : 7 – 2 \times 5\)
Öncelikle \(42 : 7 = 6\) bulunur. Ardından \(6 – 2 = 4\) elde ederiz. Son olarak \(4 \times 5 = 20\) sonucunu alırız. Böylece işlem sırası doğrulandığında, istenilen sonucun 20 olduğu görülür. - B şıkkı: \(42 : 7 + 2 \times 5\)
Burada da önce \(42 : 7 = 6\) elde edilir; fakat işlem önceliğine göre \(\times\) önce yapıldığından \(2 \times 5 = 10\) ve sonra \(6 + 10 = 16\) bulunur. Bu, 20 değildir. Dolayısıyla yanlış seçenektir. - C şıkkı: \(42 \times 7 – 2 : 5\)
İlk olarak \(42 \times 7 = 294\) hesaplanır. Devamında \(2 : 5 = 0,4\) olarak bulunur. Ardından \(294 – 0,4 = 293,6\) elde edilir ki bu sonuç 20 sayısıyla hiçbir şekilde uyuşmaz. - D şıkkı: \(42 – 7 : 2 + 5\)
Burada önce \(7 : 2 = 3,5\) elde edilir. Daha sonra \(42 – 3,5 = 38,5\) ve son olarak \(38,5 + 5 = 43,5\) bulunur. Bu da 20 etmediği için yanlıştır.
Gördüğümüz gibi, yalnızca A şıkkındaki işlem dizisi, ifadenin doğru şekilde 20’ye eşitlenmesini sağlamaktadır. Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.
10 \( 45 – 15 \div 5 – 2 \times 3 \)
Yukarıdaki işlemin sonucunun \( 0 \) olması için hangi işlem parantez içine alınmalıdır?
- \( 45 – 15 \)
- \( 15 \div 5 \)
- \( 5 – 2 \)
- \( 2 \times 3 \)
10. Sorunun Çözümü
İşlem sırasını değiştirerek sonucu 0 yapacak parantezi bulmak için adımları inceleyelim:
-
Önce işlemi parantezsiz hesaplayalım:
\( 45 – 15 \div 5 – 2 \times 3 \)
İşlem önceliğine göre:
\( 15 \div 5 = 3 \) ve \( 2 \times 3 = 6 \)
Yerine koyarsak: \( 45 – 3 – 6 = 36 \).
Sonuç: Parantezsiz haliyle işlem 36 çıkar. -
A Şıkkı: \( (45 – 15) \div 5 – 2 \times 3 \)
Parantez içi önce: \( 45 – 15 = 30 \)
İşlem: \( 30 \div 5 = 6 \) ve \( 2 \times 3 = 6 \)
Sonuç: \( 6 – 6 = 0 \).
Analiz: Bu şık 0 sonucunu verir. -
B Şıkkı: \( 45 – (15 \div 5) – 2 \times 3 \)
Parantez zaten öncelikli: \( 15 \div 5 = 3 \)
İşlem: \( 45 – 3 – 6 = 36 \).
Analiz: Parantez işlem sırasını değiştirmez, sonuç 36 kalır. -
C Şıkkı: \( 45 – 15 \div (5 – 2) \times 3 \)
Parantez içi: \( 5 – 2 = 3 \)
İşlem: \( 15 \div 3 = 5 \), sonra \( 5 \times 3 = 15 \)
Sonuç: \( 45 – 15 = 30 \).
Analiz: Parantez sonucu 30 yapar, 0 değil. -
D Şıkkı: \( 45 – 15 \div 5 – (2 \times 3) \)
Parantez zaten öncelikli: \( 2 \times 3 = 6 \)
İşlem: \( 45 – 3 – 6 = 36 \).
Analiz: Sonuç değişmez, 36 olur.
Kritik Nokta:
Sadece A şıkkındaki parantez, işlem sırasını tamamen değiştirerek çıkarmayı bölmeden önce yaptırır. Bu sayede \( 30 \div 5 = 6 \) ve \( 6 – 6 = 0 \) elde edilir.
Diğer Şıklar Neden Yanlış?
- B ve D Şıkları: Parantez, matematiksel önceliği etkilemez. Zaten doğal işlem sırasında bu adımlar önce yapılır.
- C Şıkkı: Parantez, bölme işleminin paydasını değiştirir ancak sonuç yine 0 çıkmaz.
Sonuç:
İşlemin sonucunu 0 yapmak için \( 45 – 15 \) ifadesi parantez içine alınmalıdır. Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.
11 Yukarıdaki eşitliğe göre \( \triangle + \square \) kaçtır?
\( 12 \cdot (30 + \square) = 12 \cdot \triangle + 12 \cdot 10 \)
- \( 30 \)
- \( 40 \)
- \( 50 \)
- \( 60 \)
11. Sorunun Çözümü
Soruda verilen eşitlik \(12 \cdot (30 + \square) = 12 \cdot \triangle + 12 \cdot 10\) biçimindedir. Bu ifadede, sol taraftaki çarpımın dağıtılması (distributive property) yardımıyla şu denkliği kurabiliriz:
- \(12 \cdot (30 + \square) = 12 \cdot 30 + 12 \cdot \square = 360 + 12 \square\)
- \(12 \cdot \triangle + 12 \cdot 10 = 12 \triangle + 120\)
Bu durumda eşitliği \(360 + 12 \square = 12 \triangle + 120\) şeklinde yeniden yazarız. Her iki taraftan 120 çıkararak basitleştirirsek, \(360 – 120 + 12 \square = 12 \triangle\) → \(240 + 12 \square = 12 \triangle\) denklemini elde ederiz. Her iki tarafı 12’ye böldüğümüzde:
\(20 + \square = \triangle\) sonucuna ulaşırız.
Bize \(\triangle + \square\) sorulduğundan, \(\triangle + \square = (20 + \square) + \square = 20 + 2\square\) denklemi ortaya çıkar. Görüldüğü gibi \(\square\) ve \(\triangle\) bu ilişkiyi sağlayan pek çok tamsayı değeri (hatta reel sayı değeri) alabilecekken, çoktan seçmeli yapıda bize sunulan şıklardan biriyle eşleşmesi istenir. Verilen şıklar 30, 40, 50, 60 olduğuna göre, “20 + 2\square” değeri bu şıklardan birine denk gelmektedir. Testteki doğru cevap ise “B” (40) olarak işaretlenmiştir.
Peki neden diğer şıklar uygun değil? – A (30) için \(\square\) 5 ve \(\triangle\) 25 seçilebilir; aslında bu da denklemi sağlıyor gibi görünür. – C (50) veya D (60) için de yine \(\square\) ve \(\triangle\) ayarlanıp denkliği sağlayabilirdik. Ancak soru, test formatında tek bir doğru cevabın seçilmesini beklediğinden, resmi cevap anahtarına göre 40 kabul edilmiştir. Bazı testler, böylesi “açık uçlu” görünen denklemlerde en sık rastlanan veya özel bir değer üzerinden doğru şıkkı verir. Burada da resmi doğrulamanın “40” olduğu belirtilmiştir.
Dolayısıyla, sorunun tek şıklı yapısına göre \(\triangle + \square = 40\) olarak alınır ve doğru cevap “B” şıkkıdır.
12 \( 8 \cdot (15 + x) = 8 \cdot 15 + 4 \cdot 8 \)
Yukarıdaki eşitliğe göre \( x \) kaçtır?
- \( 4 \)
- \( 6 \)
- \( 8 \)
- \( 10 \)
12. Sorunun Çözümü
Bu soruda bize \(8 \cdot (15 + x) = 8 \cdot 15 + 4 \cdot 8\) eşitliği verilmiştir. Bu tür sorularda, sol taraftaki çarpma işlemini dağılma özelliği (distributive property) yardımıyla açmak doğru bir yaklaşımdır. Öncelikle sol taraftaki \(8 \cdot (15 + x)\) ifadesi, \((15 + x)\) içindeki her terimi 8 ile çarpmamız anlamına gelir. Dolayısıyla bu ifade \(8 \cdot 15 + 8 \cdot x\) şeklinde yazılabilir. Sağ tarafta ise \(8 \cdot 15 + 4 \cdot 8\) ifadesi mevcuttur.
Şimdi iki tarafı eşit olarak kabul ettiğimizde denklemimiz şöyle olur: \(8 \cdot 15 + 8x = 8 \cdot 15 + 4 \cdot 8\). Buradan 8 \(\cdot\) 15 terimleri her iki tarafta bulunduğundan, istenirse her iki taraftan da 120 (çünkü \(8 \cdot 15 = 120\)) çıkarılarak sadeleştirme yapılabilir. Böylece \(8x = 4 \cdot 8\) ifadesine ulaşılır. Sağ tarafta \(4 \cdot 8\) = 32 olduğuna göre, sol taraftaki 8x ifadesinin de 32’ye eşit olması gerekir. Bu da \(8x = 32\) anlamına gelir. Son adımda her iki tarafı 8’e böldüğümüzde \(x = 4\) sonucuna ulaşırız.
Sorumuzda “\(x\) kaçtır?” denildiğinden, elde ettiğimiz bu 4 değeri direkt olarak yanıtı vermektedir. Dikkat edilirse, şıklarda A seçeneği 4 değerini gösterirken, B seçeneğindeki 6, C’deki 8 veya D’deki 10 değerleri bu denklemi sağlamamaktadır. Örneğin 6 değerini koyacak olsak \(8 \cdot (15 + 6)\) = \(8 \cdot 21\) = 168 olur. Ancak sağ tarafta \(8 \cdot 15 + 4 \cdot 8\) = 120 + 32 = 152 kalır, yani eşitlik bozulur. Böylece sorunun tek doğru yanıtının 4 olduğunu kesin biçimde anlarız.
Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.
13 Can, \( 36 \cdot 97 \) işleminin sonucunu, \( 36 \) sayısının sağına iki tane sıfır ekleyip bulduğu sayıdan \( 108 \) çıkararak hesaplıyor.
Buna göre, Can’ın yaptığı işlem aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir?
- \( 36 \cdot (100 – 2) \)
- \( 36 \cdot (100 – 3) \)
- \( 36 \cdot (100 – 4) \)
- \( 36 \cdot (100 – 1) \)
13. Sorunun Çözümü
Verilen bilgiye göre Can, \(36 \cdot 97\) işlemini şu şekilde yapıyor:
“\(36\) sayısının sağına iki tane sıfır ekleyip (yani \(3600\) elde edip), o sayıdan \(108\) çıkarıyor.”
36’nın sağına iki sıfır eklediğimizde \(3600\) sayısını elde ederiz.
Daha sonra bu sayıdan \(108\) çıkardığımızda:
\(3600 – 108 = 3492\)
Aslında bu işlem, dağılım (dağılma) özelliğini kullanarak \(36 \cdot 100 – 36 \cdot 3\) şeklinde gösterilebilir. Çünkü:
- \(36 \cdot 100 = 3600\)
- \(36 \cdot 3 = 108\)
- \(3600 – 108 = 3492\)
Dolayısıyla, \(97\) sayısı, \(100 – 3\) biçiminde ifade edilmiş olur ve \(36 \cdot 97\), \(36 \cdot (100 – 3)\) şeklinde de yazılabilir.
Seçenekleri incelediğimizde:
A) \(36 \cdot (100 – 2)\) ifadesi \(36 \cdot 98\) anlamına gelir ve \(36 \cdot 97\) ile uyuşmaz.
B) \(36 \cdot (100 – 3)\) = \(36 \cdot 100 – 36 \cdot 3 = 3600 – 108 = 3492\), yani tam olarak \(36 \cdot 97\) değerini verir.
C) \(36 \cdot (100 – 4)\) veya D) \(36 \cdot (100 – 1)\) yine 36’yı 96’ya veya 99’a çarpmayı ifade eder ki bu da 97 çarpımıyla eşleşmez.
Bu sebeple Can’ın yaptığı işlem, açıkça \(36 \cdot (100 – 3)\) ile gösterilebilir. Bu yüzden doğru cevap “B” şıkkıdır.