1. Sorunun Çözümü

Bu soruda, tekrarlı çarpma ile üstlü gösterim arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Bir sayının kendisiyle n kere çarpımı, o sayının üslü olarak yazımında ^n şeklinde ifade edilir. Şimdi her bir eşitliği adım adım inceleyelim:

• I. Eşitlik: \( \displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 \)
  Burada sol tarafta 5 sayısı 4 kez çarpılıyor, yani \( \displaystyle 5^4 \).
  Yanlış, çünkü \( \displaystyle 5^4 \neq 5^3 \).
• II. Eşitlik: \( \displaystyle 12 \cdot 12 \cdot 12 = 12^2 \)
  Sol tarafta 12 sayısı 3 kez çarpılıyor, yani \( \displaystyle 12^3 \).
  Yanlış, çünkü \( \displaystyle 12^3 \neq 12^2 \).
• III. Eşitlik: \( \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 \)
  Sol tarafta 3 sayısı 5 kez çarpılıyor, yani tam olarak \( \displaystyle 3^5 \).
  Doğru, çünkü \( \displaystyle 3^5 = 3^5 \).
• IV. Eşitlik: \( \displaystyle 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^5 \)
  Sol tarafta 8 sayısı 6 kez çarpılıyor, yani \( \displaystyle 8^6 \).
  Yanlış, çünkü \( \displaystyle 8^6 \neq 8^5 \).

Yukarıdaki adımlardan gördüğümüz gibi, yalnızca III. eşitlik tekrarlı çarpma ile üslü gösterimin eşleştiği durumu verir.

Bu nedenle doğru cevap “III” şıkkıdır.

2. Sorunun Çözümü

Bu soruda, üstlü ifadelerin iki farklı yazılış biçiminin birbirine eşit olup olmadığını kontrol edeceğiz. Her bir eşitlikte sol ve sağ tarafı ayrı ayrı hesaplayarak karşılaştıracağız. Adım adım inceleyelim:

• I. Eşitlik: \( \displaystyle 9^1 = 1^9 \)
  Sol: \( \displaystyle 9^1 = 9 \)
  Sağ: \( \displaystyle 1^9 = 1 \)
  Yanlış, çünkü \( \displaystyle 9 \neq 1 \).
• II. Eşitlik: \( \displaystyle 7^2 = 2^7 \)
  Sol: \( \displaystyle 7^2 = 49 \)
  Sağ: \( \displaystyle 2^7 = 128 \)
  Yanlış, çünkü \( \displaystyle 49 \neq 128 \).
• III. Eşitlik: \( \displaystyle 4^2 = 2^4 \)
  Sol: \( \displaystyle 4^2 = 16 \)
  Sağ: \( \displaystyle 2^4 = 16 \)
  Doğru, çünkü her iki taraf da \( \displaystyle 16 \) değerine sahiptir.
• IV. Eşitlik: \( \displaystyle 3^1 = 1^3 \)
  Sol: \( \displaystyle 3^1 = 3 \)
  Sağ: \( \displaystyle 1^3 = 1 \)
  Yanlış, çünkü \( \displaystyle 3 \neq 1 \).

Özetle, yalnızca III. eşitlik her iki tarafta da aynı değeri verdiği için doğrudur. Bu nedenle doğru cevap “III” şıkkıdır.

3. Sorunun Çözümü

Bu soruda, üs kavramı ve özellikle herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti konusunu ele alacağız. Üs kurallarına göre, 0’dan farklı herhangi bir reel sayının sıfırıncı kuvveti her zaman 1 değerini verir. Adım adım inceleyelim:

• Üs tanımı: Eğer \( \displaystyle a \) sıfırdan farklı bir sayı ise, \( \displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ kez}} \) şeklinde tanımlanır.
• Çıkarma kuralı: Üstleri çıkarma kuralına göre \( \displaystyle a^m \div a^n = a^{m-n} \). Burada \( m = n \) alınırsa, \( \displaystyle a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0 \) ve sol tarafta \( \displaystyle a^n \div a^n = 1 \) olur. Dolayısıyla \( \displaystyle a^0 = 1 \).
• Uygulama: Soruda \( \displaystyle 98^0 \) ifadesi var. Çünkü 98 sayısı sıfırdan farklıdır, üst kuralları gereği \( \displaystyle 98^0 = 1 \).

Bu temel kuralı akılda tutarak, farklı sayılar için de aynı sonuca ulaşırız: \( \displaystyle 5^0 = 1,\; 10^0 = 1,\; (-3)^0 = 1 \) vb. Dolayısıyla doğru cevap 1 değerini veren “B” şıkkıdır.

4. Sorunun Çözümü

Bu soruda iki üstlü ifade arasındaki karşılaştırmayı yapmamız isteniyor. Karşılaştırma işlemlerinde, ifadelerin değerlerini ayrı ayrı hesaplayıp sonra büyüklük, küçüklük veya eşitlik durumu belirlenir. Bizden istenen: \( \displaystyle 6^3 \; ……. \; 8^2 \) ifadesinde noktalı yere hangi sembolün (<, :, =, >) geleceğini bulmak.

• Adım 1: \( \displaystyle 6^3 \) ifadesinin hesaplanması:
  \( \displaystyle 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216 \).
• Adım 2: \( \displaystyle 8^2 \) ifadesinin hesaplanması:
  \( \displaystyle 8^2 = 8 \times 8 = 64 \).
• Adım 3: Sonuçların karşılaştırılması:
  \( \displaystyle 216 \) ile \( \displaystyle 64 \) sayıları kıyaslandığında
  216, 64’ten büyüktür.

Bu nedenle doğru sembol > (büyüktür) işaretidir. Cevap “D” şıkkında verilen > sembolüdür.

5. Sorunun Çözümü

Bu soruda, üstlü ifadelerin değerlerini bulup toplama işlemi yapacağız. Özellikle sıfırıncı kuvvet ve üçüncü kuvvet kurallarına dikkat edeceğiz. Adım adım inceleyelim:

• Üs kuralı (sıfırıncı kuvvet): Eğer \( \displaystyle a \) sıfırdan farklı bir sayı ise, \( \displaystyle a^0 = 1 \).
  Burada \( \displaystyle 10^0 = 1 \).
• Üs kuralı (üçüncü kuvvet): \( \displaystyle a^3 = a \times a \times a \).
  Burada \( \displaystyle 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \).
• Toplama işlemi: Şimdi bulduğumuz değerleri toplayalım:
  \( \displaystyle 10^0 + 10^3 = 1 + 1000 = 1001 \).

Sonuç olarak, \( \displaystyle 10^0 + 10^3 = 1001 \). Bu nedenle doğru cevap “1001” değerini veren “C” şıkkıdır.

6. Sorunun Çözümü

Bu soruda, iki farklı üstlü ifadenin değerlerini bularak aralarındaki çıkarma işlemini gerçekleştireceğiz. Önce her bir üstlü ifadeyi adım adım hesaplayalım, ardından sonuçları birbirinden çıkartalım. Matematik öğretmeni edasıyla basit ve anlaşılır bir şekilde ilerleyelim:

• Adım 1 – \( \displaystyle 2^5 \) değerinin bulunması:
  \( \displaystyle 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \).
  İlk iki çarpma: \( 2 \times 2 = 4 \).
  Sonra \( 4 \times 2 = 8 \), ardından \( 8 \times 2 = 16 \), son olarak \( 16 \times 2 = 32 \).
  Yani \( \displaystyle 2^5 = 32 \).
• Adım 2 – \( \displaystyle 3^3 \) değerinin bulunması:
  \( \displaystyle 3^3 = 3 \times 3 \times 3 \).
  İlk çarpma: \( 3 \times 3 = 9 \).
  Sonra \( 9 \times 3 = 27 \).
  Yani \( \displaystyle 3^3 = 27 \).
• Adım 3 – Çıkarma işlemi:
  Şimdi bulduğumuz değerleri kullanarak:
  \( \displaystyle 2^5 – 3^3 = 32 – 27 \).
  Bu işlemin sonucu: \( 32 – 27 = 5 \).

Özetle, üstlü ifadeleri doğru hesaplayıp ardından çıkarmayı gerçekleştirdiğimizde \( \displaystyle 2^5 – 3^3 = 5 \) sonucuna ulaşırız. Bu nedenle doğru cevap 5 değerini veren “D” şıkkıdır.

7. Sorunun Çözümü

Bu soruda, iki üstlü ifadenin birbirine bölümünü hesaplayacağız. Öncelikle hem \( \displaystyle 9^2 \) hem de \( \displaystyle 3^3 \) ifadelerinin değerlerini bulup sonra bölme işlemini gerçekleştireceğiz. Aynı zamanda üs kurallarını kullanarak daha kısa bir yoldan da sonuca ulaşabiliriz. Aşağıda her iki yöntemi adım adım inceleyelim:

• Adım 1 – Değerleri hesaplayarak:
  \( \displaystyle 9^2 = 9 \times 9 = 81 \)
  \( \displaystyle 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
  Sonra bölme: \( \displaystyle 81 \div 27 = 3 \).
• Adım 2 – Üs kurallarıyla kısaltarak:
  9 sayısı 3’ün karesi olduğuna göre, \( \displaystyle 9 = 3^2 \).
  Öyleyse \( \displaystyle 9^2 = (3^2)^2 = 3^{2\cdot2} = 3^4 \).
  Böylece \( \displaystyle \frac{9^2}{3^3} = \frac{3^4}{3^3} = 3^{4-3} = 3^1 = 3 \).

İster doğrudan değerlerle hesaplayın, ister üs kurallarıyla kısaltma yapın, her iki yöntemde de sonuç aynı: 3. Bu nedenle doğru cevap “3” değerini veren “B” şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen dört önermeden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Her bir ifade için hem matematiksel tanım hem de karşılaştırma kurallarını uygulayacağız. Aşağıda her bir önermeyi adım adım inceleyelim:

• I. Önerme: \( \displaystyle 7^0 < 9^0 \)
  \( \displaystyle 7^0 = 1 \) ve \( \displaystyle 9^0 = 1 \) (sıfırıncı kuvvet kuralı)
  Burada \(1 < 1\) ifadesi yanlıştır, çünkü eşit iki sayı arasındaki küçüktür ilişkisi sağlanmaz.
• II. Önerme: \( \displaystyle 2^4 = 4^2 \)
  \( \displaystyle 2^4 = 16 \) ve \( \displaystyle 4^2 = 16 \)
  Bu eşitlik doğrudur, çünkü her iki taraf da 16 eder.
• III. Önerme: \( \displaystyle 3^3 > 5^2 \)
  \( \displaystyle 3^3 = 27 \) ve \( \displaystyle 5^2 = 25 \)
  Burada \(27 > 25\) olduğundan önerme doğrudur.
• IV. Önerme: \( \displaystyle 1^4 = 1^6 \)
  \( \displaystyle 1^4 = 1 \) ve \( \displaystyle 1^6 = 1 \)
  1’in herhangi bir kuvveti her zaman 1 olduğu için eşitlik doğrudur.

Yukarıdaki inceleme gösteriyor ki yalnızca I. önerme yanlışlık içermektedir. Bu nedenle doğru cevap, yanlış olan I. önermeyi işaretleyen “A” şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, iki ayrı üstlü ifadenin değerini hesaplayıp sonrasında toplama işlemi gerçekleştireceğiz. Adım adım ilerleyerek hem kavramı pekiştirecek hem de işlemi kolayca yapabileceğiz.

• Adım 1 – \( \displaystyle 2^2 \) değerini bulun:
  \( \displaystyle 2^2 = 2 \times 2 = 4 \)
• Adım 2 – \( \displaystyle 5^2 \) değerini bulun:
  \( \displaystyle 5^2 = 5 \times 5 = 25 \)
• Adım 3 – Bulunan değerleri toplayın:
  \( \displaystyle 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \)

Görüldüğü gibi, her bir üslü ifadeyi doğru hesapladıktan sonra toplama işlemine kolayca ulaşırız. Sonuç olarak \( \displaystyle 2^2 + 5^2 = 29 \) olduğu için doğru cevap “29” değerini veren “C” şıkkıdır.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda bize \( \displaystyle X = 2 \) ve \( \displaystyle Y = 11 \) değerleri veriliyor. Ardından \( \displaystyle Y^X \) ifadesinin ne anlama geldiğini bulmamız isteniyor. Öncelikle üs kavramını hatırlayalım:

• Üs tanımı: \( \displaystyle a^n \) ifadesi, \( \displaystyle a \) sayısının kendisiyle n kere çarpılması demektir. Yani \[ \displaystyle a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ kez}}. \]
• Değerlerin yerine konması: Soruda \( \displaystyle Y^X = 11^2 \) olacaktır. Burada taban \( \displaystyle 11 \), üst ise \( \displaystyle 2 \)’dir.
• Hesaplama: \( \displaystyle 11^2 = 11 \times 11 \). Bu çarpmanın sonucu \[ 11 \times 11 = 121. \]

Seçenekleri incelediğimizde:

• A şıkkı: 2 sayısının 11 kez çarpımı → \( \displaystyle 2^{11} \),
• B şıkkı: 11 + 11 → toplama işlemi,
• C şıkkı: 2 × 11 → çarpma işlemi ama üs değil,
• D şıkkı: 11 × 11 → tam olarak \( \displaystyle 11^2 \).

Dolayısıyla doğru seçenek, \( \displaystyle 11^2 = 11 \times 11 = 121 \) yapan “D” şıkkıdır.

11. Sorunun Çözümü

Bu soruda, iki farklı üstlü ifadenin değerlerini hesaplayıp ardından çarpma işlemi yapacağız. İşlemlerimizi adım adım ve anlaşılır şekilde inceleyelim:

• Adım 1 – \( \displaystyle 7^1 \) değerinin bulunması:
  Üst kuralına göre, \( \displaystyle a^1 = a \).
  Dolayısıyla \( \displaystyle 7^1 = 7 \).
• Adım 2 – \( \displaystyle 2^3 \) değerinin bulunması:
  Üçüncü kuvvet tanımı: \( \displaystyle a^3 = a \times a \times a \).
  Burada \( \displaystyle 2^3 = 2 \times 2 \times 2 \).
  İlk çarpma: \( 2 \times 2 = 4 \).
  İkinci çarpma: \( 4 \times 2 = 8 \).
  Sonuç olarak \( \displaystyle 2^3 = 8 \).
• Adım 3 – Çarpma işlemi:
  Şimdi bulduğumuz değerleri çarpalım:
  \( \displaystyle 7^1 \times 2^3 = 7 \times 8 \).
  \( 7 \times 8 = 56 \).

Özetle, önce üstlü ifadeleri doğru hesaplayıp sonra çarpma işlemine geçtiğimizde \( \displaystyle 7^1 \times 2^3 = 56 \) sonucunu elde ederiz. Bu nedenle doğru cevap 56 değerini veren “A” şıkkıdır.

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda, iki ayrı üstlü ifadenin çarpımını hesaplayacağız. Özellikle birinci kuvvet ve dördüncü kuvvet kurallarını kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1 – \( \displaystyle 4^1 \) değerinin bulunması:
  Üst kuralına göre \( \displaystyle a^1 = a \).
  Dolayısıyla \( \displaystyle 4^1 = 4 \).
• Adım 2 – \( \displaystyle 2^4 \) değerinin bulunması:
  Dördüncü kuvvet tanımı: \( \displaystyle a^4 = a \times a \times a \times a \).
  Burada \( \displaystyle 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \).
  İlk çarpma: \( 2 \times 2 = 4 \), sonra \( 4 \times 2 = 8 \), ardından \( 8 \times 2 = 16 \).
  Sonuç olarak \( \displaystyle 2^4 = 16 \).
• Adım 3 – Çarpma işlemi:
  Şimdi bulduğumuz değerleri birbiriyle çarpalım:
  \( \displaystyle 4^1 \times 2^4 = 4 \times 16 \).
  \( 4 \times 16 = 64 \).

Özetle, önce her iki üslü ifadeyi doğru hesaplayıp ardından çarpma işlemi yaptığımızda \( \displaystyle 4^1 \times 2^4 = 64 \) sonucuna ulaşırız. Bu nedenle doğru cevap “64” değerini veren “C” şıkkıdır.

13. Sorunun Çözümü

Bu soruda, onluk tabanlı üslü ifade olan \( \displaystyle 10^b \)’nin ondalık gösteriminde kaç adet sıfır bulunduğunu belirleyip buna göre b değerini bulacağız. Matematikte, 10’un kuvvetleri özel bir kural izler ve bu kuralı bilmek, soruyu hızlıca çözmemizi sağlar.

• Üs ve sıfır ilişkisi:
  Genel olarak \( \displaystyle 10^n \) ifadesi, ondalık sistemde 1 rakamını takiben tam olarak n adet 0 ile yazılır. Örneğin, \( \displaystyle 10^3 = 1000 \) ve burada 3 tane sıfır vardır.
• Verilen bilgi:
  Soruda “\( \displaystyle 10^b \) sayısının sonunda 7 tane sıfır” olduğu belirtiliyor. Yani ondalık yazımında toplamda 7 adet “0” yer alıyor.
• Sonucun çıkarılması:
  Yukarıdaki kuralı uyguladığımızda, sıfır sayısı direkt olarak üs değerine eşit olur. Dolayısıyla \[ \displaystyle b = 7. \]

Bu nedenle doğru cevap, \( \displaystyle 10^7 \)’nin 7 sıfır içerdiği göz önünde bulundurulduğunda “7” değerini veren “B” şıkkıdır.

14. Sorunun Çözümü

Bu soruda üç ayrı önerme veriliyor ve hangilerinin doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Her bir önermeyi teker teker ele alıp, üstlü ifadeler ve basamak sayısı kavramlarını kullanarak inceleyeceğiz.

• 1. Önerme: \( \displaystyle 2^3 = 3^2 \)
  \( \displaystyle 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
  \( \displaystyle 3^2 = 3 \times 3 = 9 \)
  Yanlış, çünkü \(8 \neq 9\).
• 2. Önerme: \( \displaystyle 10^5 \)’in değeri 6 basamaklıdır.
  \( \displaystyle 10^5 = 100000 \).
  Bu sayı “1” ve beş tane “0” içerir; toplamda 6 basamaklıdır.
  Doğru.
• 3. Önerme: \( \displaystyle 2^2 + 2^2 = 4^2 \)
  \( \displaystyle 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \)
  \( \displaystyle 4^2 = 16 \)
  Yanlış, çünkü \(8 \neq 16\).

İncelemelerimize göre yalnızca 2. önerme doğru çıkmıştır. Bu nedenle doğru cevap “Yalnız 2” yani “A” şıkkıdır.

15. Sorunun Çözümü

Bu soruda, onluk tabandaki üslü ifadelerin basamak sayısını belirleyeceğiz. Genel kural olarak, \( \displaystyle 10^n \) ifadesi, ondalık gösterimde 1 rakamını takiben tam olarak n adet sıfır ile yazılır. Böylece toplam basamak sayısı n + 1 olur. Adım adım tüm seçenekleri inceleyelim:

• I. Seçenek: \( \displaystyle 10^9 \)
  \( \displaystyle 10^9 = 1 \underbrace{0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0}_{9 \text{ sıfır}} \)
  Toplam basamak sayısı \(9 + 1 = 10\).
• II. Seçenek: \( \displaystyle 10^{10} \)
  \( \displaystyle 10^{10} = 1 \underbrace{0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0}_{10 \text{ sıfır}} \)
  Toplam basamak sayısı \(10 + 1 = 11\).
• III. Seçenek: \( \displaystyle 10^{11} \)
  \( \displaystyle 10^{11} = 1 \underbrace{0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0}_{11 \text{ sıfır}} \)
  Toplam basamak sayısı \(11 + 1 = 12\).
• IV. Seçenek: \( \displaystyle 10^{12} \)
  \( \displaystyle 10^{12} = 1 \underbrace{0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0}_{12 \text{ sıfır}} \)
  Toplam basamak sayısı \(12 + 1 = 13\).

İncelemelerimiz sonucunda yalnızca III. seçenek olan \( \displaystyle 10^{11} \), toplamda 12 basamaklı bir sayıyı verir. Bu nedenle doğru cevap “III” yani “C” şıkkıdır.