1. Sorunun Çözümü

Bu soruda, kare şeklinde çizilmiş alanın ölçümleri ve çemberin konumlandırılması dikkate alınmaktadır. Verilen bilgilere göre, çemberin çizildiği karenin kenar uzunluğu 6 cm olup, bu karenin çevresi şu şekilde hesaplanır:
\[ P = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \]

Burada önemli nokta, çemberin kareyle nasıl ilişkili olduğudur. Eğer çember kareye tam oturuyorsa, yani çemberin sınırları kare kenarlarıyla aynı noktada buluşuyorsa, çemberin çapı da 6 cm olacaktır. Dolayısıyla, çemberin yarıçapı:
\[ r = \frac{6 \text{ cm}}{2} = 3 \text{ cm} \] şeklinde bulunur.

Öğretici Açıklama:

• Kare Ölçümleri: Kare kenar uzunluğu 6 cm olduğundan, çevresi 24 cm’dir. Bu ölçü, çemberin çizildiği alanın tamamını tanımlar.
• Çemberin Konumu: Çember, kareye tam oturuyorsa, çemberin kenarları kare kenarlarıyla kesişir. Bu durumda çemberin çapı da 6 cm olur.
• Yarıçapın Hesaplanması: Çemberin yarıçapı, çapın yarısıdır; yani 6 cm çapın yarısı alınırsa 3 cm elde edilir.

Neden Diğer Ölçümler Yanlıştır?

• A) 3 cm: Bu değer doğrudan çemberin yarıçapı olarak hesaplanabilir; aslında doğru yarıçap 3 cm’dir. Ancak soru, çemberin konumlandığı karenin çevresi üzerinden hesap yapmaya yönelik olduğundan bu ölçü, çemberin çizildiği kareyle ilişkili hesaplamayı vurgular.
• B) 4 cm: 4 cm, çemberin yarıçapı için kullanılabilecek bir değer değildir çünkü kareye tam oturan bir çemberde yarıçap, karenin kenar uzunluğunun yarısı (yani 3 cm) olmalıdır.
• C) 5 cm: 5 cm değeri, kare kenar uzunluğu 6 cm iken, çemberin yarıçapı 3 cm iken ortaya çıkmayan, mantıksız bir ölçüdür.

Sonuç olarak, çemberin çizildiği karenin çevresi 24 cm olup, kareye tam oturan çemberin çapı 6 cm ve yarıçapı 3 cm olarak hesaplanır.
Pi yerine \(3\) alındığında, çemberin çevresi:
\[ C = 2 \times 3 \times 3 = 18 \text{ cm} \] şeklinde bulunur.

Bu nedenle, doğru hesaplamaya göre çemberin yarıçapı 3 cm, çevresi ise 18 cm’dir.

2. Sorunun Çözümü

Bu soruda, kareli kâğıt üzerinde verilen K, L, M ve N noktalarının, O merkezli çizilecek bir çemberin konumları belirlenmektedir. Soruda, bu dört noktadan ikisinin çember üzerinde yer aldığı belirtilmiştir. Çemberin üzerinde bulunan noktalar, merkezden ölçülen sabit bir mesafeye (yani yarıçap r‘ye) sahiptir.

Verilen bilgiler doğrultusunda, O merkezine olan uzaklıklar şu şekildedir:

• K noktası: 3 birim
• M noktası: 2 birim
• N noktası: 3 birim
• L noktası: 4 birim

Bu verilere göre, çember üzerinde yer alan noktaların merkezden olan uzaklığı eşit olmalıdır. Gözlemlediğimiz gibi, K ve N noktalarının O‘ya olan uzaklıkları her ikisi de 3 birimdir. Bu durum, çemberin yarıçapının 3 birim olduğunu göstermektedir.

Diğer yandan, M noktasının O‘ya olan uzaklığı 2 birim olduğu için, bu nokta çemberin iç bölgesinde kalır. L noktasının ise O‘ya olan uzaklığı 4 birimdir; bu, çemberin yarıçapı olan 3 birimden daha fazla olduğu için L noktası çemberin dış bölgesinde yer alır.

Neden Diğer Şıklar Yanlış?

• A) K: K noktası 3 birim uzaklıkta olup, çemberin üzerinde yer alır; dolayısıyla dış bölgede değildir.
• C) M: M noktası 2 birim uzaklıkta olduğundan, merkezden daha yakın olup çemberin içinde kalır.
• D) N: N noktası da 3 birim uzaklıkta olup, çemberin üzerinde yer alır.

Sonuç olarak, çemberin yarıçapı 3 birim olarak belirlenmiştir. Bu durumda, L noktasının O‘ya olan uzaklığı 4 birim olup, çemberin dış bölgesinde yer alır.

Bu nedenle doğru cevap “B” şıkkıdır.

3. Sorunun Çözümü

Bu soruda, çevresi 32 cm olan bir karenin içerisine çizilebilecek en büyük çember‘in yarıçapı hesaplanmaktadır. İlk olarak, karenin çevresinin 4 kenarın toplamı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, karenin bir kenarının uzunluğunu bulmak için:

\[ \text{Kenar uzunluğu} = \frac{32 \text{ cm}}{4} = 8 \text{ cm} \]

Kare içine çizilebilecek en büyük çember, karenin içine tam oturan yani kenarlarının tamamına teğet olan çemberdir. Bu durumda, çemberin çapı karenin bir kenar uzunluğuna eşit olur. Dolayısıyla:

\[ \text{Çemberin çapı} = 8 \text{ cm} \]

Çemberin yarıçapı ise çapın yarısıdır:

\[ r = \frac{8 \text{ cm}}{2} = 4 \text{ cm} \]

Öğretici Açıklama:

• Kare Ölçüsü: Verilen karenin çevresi 32 cm olduğundan, her bir kenar 8 cm’dir. Bu, çemberin çizilebileceği maksimum alanı belirler.
• Çemberin Konumu: En büyük çember, karenin içine tam oturur ve tüm kenarlara teğet olur. Bu da demektir ki, çemberin çapı karenin kenar uzunluğuna eşit olmalıdır.
• Yarıçap Hesabı: Çemberin yarıçapı, çapın yarısıdır; dolayısıyla 8 cm’lik çapın yarısı 4 cm’dir.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• B) 5 cm: 5 cm yarıçap, 10 cm çap eder. Bu durumda çember, 8 cm’lik karenin kenar uzunluğunu aşarak kare dışına taşar.
• C) 6 cm: 6 cm yarıçap, 12 cm çap demektir ki, bu da kareye sığmaz.
• D) 7 cm: 7 cm yarıçap, 14 cm çap oluşturur; bu da kesinlikle karenin ölçülerine uymaz.

Sonuç olarak, verilen karenin içerisine çizilebilecek en büyük çemberin yarıçapı \( 4 \text{ cm} \)‘dir. Bu hesaplama, çemberin tam olarak karenin içine oturması ve kenarlara teğet olması kuralına dayanmaktadır.

Bu nedenle doğru cevap “A” şıkkıdır.

4. Sorunun Çözümü

Bu soruda, “Aşağıdakilerden hangisi bir daire modeli olabilir?” sorusu yer almaktadır. Seçenekler: A) Yüzük, B) Simit, C) Madeni Para, D) Bilezik. Soruya göre doğru cevap Madeni Para olarak belirlenmiştir.

Öğretici Açıklama: Her seçenek, üretim veya tasarım açısından temelde bir çember (daire) şeklinde üretilmektedir. Ancak “çember” olmanın ötesinde, ideal daire tanımına uygunluk; yani merkezden sabit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu mükemmel simetrik yapı elde etmek önemlidir. İşte bu noktada madeni para öne çıkmaktadır.

• Yüzük: Yüzükler de daire formundadır; ancak tasarımda kullanılan kişisel ölçüler, ergonomi ve stil unsurları nedeniyle bazen hafif oval formlar gösterebilir. Bu yüzden, ideal daire modeline tam oturmamaktadır.
• Simit: Simit de esasen çember şeklinde üretilir, fakat geleneksel üretim sürecinde hamurun el işçiliğine bağlı olarak yüzeyde düzensizlikler olabilir. Bu da simidin ideal geometrik daire olmasını engeller.
• Bilezik: Bilezikler, esnek malzemelerden üretilmekte olup, kullanım esnasında hafifçe şekil değiştirebilmektedir. Bu durum, onların mükemmel bir daire formunu korumalarını zorlaştırır.

Buna karşın, Madeni Para üretiminde yüksek hassasiyetle hazırlanan kalıplar kullanılır. Üretim sürecinde, paranın tüm kenarları merkezden sabit uzaklıkta olacak şekilde kesilir ve bu sayede mükemmel simetrik bir daire elde edilir.

Yani, diğer şıkların hepsi temelde çember özelliğine sahip olsa da, Madeni Para ideal daire modeline en yakın olanıdır. Bu nedenle, diğer seçeneklerin çember özelliği gösterdiği halde, geometrik kesinlik açısından en üstün olanı madeni paradır.

Sonuç olarak, üretim ve tasarım açısından ideal daire modelini en net yansıtan seçenek “C) Madeni Para”dır.

5. Sorunun Çözümü

Bu soruda, yarıçapı 4 cm olan bir çemberin uzunluğu (çevresi) hesaplanmaktadır. Çemberin çevresini bulmak için kullanılan temel formül:
\( C = 2 \pi r \)
şeklindedir. Normalde, \(\pi\)’nin değeri yaklaşık 3.14 olsa da, bu soruda \(\pi\) yerine 3 alınması istenmiştir.

Bu durumda, verilen değerleri formüle yerine koyarsak:

\[ C = 2 \times 3 \times 4 \] \[ C = 24 \text{ cm} \]

Yani, yarıçapı 4 cm olan çemberin çevresi 24 cm olarak hesaplanır.

Öğretici Adım Adım Açıklama:

• Adım 1: Çemberin çevresini bulmak için \( C = 2 \pi r \) formülünü kullanın.
• Adım 2: Verilen yarıçap \( r = 4 \) cm’dir.
• Adım 3: Soruda, \(\pi\)’nin değeri olarak 3 alınması istenmiştir.
• Adım 4: Formülde yerine koyarsak: \( C = 2 \times 3 \times 4 \).
• Adım 5: Hesaplama sonucunda \( C = 24 \) cm elde edilir.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• A) 8 cm: Bu değer, 4 cm yarıçaplı bir çember için çok düşük kalmaktadır. Çemberin çevresi, yarıçapın iki katı ile \(\pi\)’nin çarpımıdır; dolayısıyla 8 cm kesinlikle yetersizdir.
• B) 12 cm: 12 cm değeri, hesaplamada yer alan 2, 3 ve 4 sayılarının çarpımından elde edilen 24 cm ile uyuşmamaktadır.
• C) 18 cm: 18 cm, yine doğru hesaplamadan farklı bir sonuç ortaya koyar. Gerçek hesaplama 2 x 3 x 4 = 24 cm sonucunu vermektedir.
• D) 24 cm: Doğru cevap olan 24 cm, yapılan hesaplamadan elde edilen sonuçtur.

Sonuç olarak, yarıçapı 4 cm olan çemberin çevresi, \( 24 \text{ cm} \)‘dir. Bu hesaplama, çemberin çevre formülü \( C = 2 \pi r \) kullanılarak ve \(\pi\) yerine 3 alınarak yapılmıştır.

6. Sorunun Çözümü

Bu soruda, 132 cm uzunluğundaki bir tel, eşit iki parçaya ayrılarak her biriyle iki adet çember çizilmesi sağlanmaktadır. Telin eşit parçalara ayrılması durumunda, her bir parçanın uzunluğu:

\[ \frac{132 \text{ cm}}{2} = 66 \text{ cm} \]

Elde edilen her bir parça, çemberin çevresini oluşturur. Yani, her bir çemberin çevresi 66 cm‘dir. Çemberin çevresini bulmak için kullanılan formül:

\[ C = 2 \pi r \]

şeklindedir. Ancak soruda, \(\pi\) yerine 3 alınması gerektiği belirtilmiştir. Dolayısıyla formülümüz:

\[ 66 = 2 \times 3 \times r = 6r \]

Denklemi çözmek için:

\[ r = \frac{66}{6} = 11 \text{ cm} \]

Öğretici Adım Adım Açıklama:

• Adım 1: Telin toplam uzunluğu 132 cm olduğundan, eşit iki parçaya bölündüğünde her parça 66 cm olur.
• Adım 2: Her parçanın oluşturduğu çemberin çevresi 66 cm olarak belirlenir.
• Adım 3: Çemberin çevresi formülü \( C = 2 \pi r \) kullanılarak, fakat \(\pi\) yerine 3 alındığında formül \( 66 = 6r \) haline gelir.
• Adım 4: Denklemi çözerek \( r = 66/6 = 11 \text{ cm} \) sonucuna ulaşılır.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• A) 7 cm: 7 cm yarıçap, çemberin çevresini \( 2 \times 3 \times 7 = 42 \text{ cm} \) yapar; bu da 66 cm ile uyumlu değildir.
• C) 14 cm: 14 cm yarıçap, çemberin çevresini \( 2 \times 3 \times 14 = 84 \text{ cm} \) yapar; bu da telin uzunluğundan çok daha fazladır.
• D) 18 cm: 18 cm yarıçap, \( 2 \times 3 \times 18 = 108 \text{ cm} \) çevre verir, ki bu değer de 66 cm ile uyuşmaz.

Sonuç olarak, verilen bilgilere göre, her bir çemberin yarıçapı 11 cm‘dir.

Bu nedenle doğru cevap “B) 11” şıkkıdır.

7. Sorunun Çözümü

Bu soruda, kare şeklinde çizilmiş bir alanın içerisindeki üç yarım çemberden oluşan bir şeklin çevresinin hesaplanması istenmektedir. Dış karenin, her kenarı 8 kareden oluştuğu ve bu nedenle çevresinin 8 × 4 = 32 cm olduğu belirtilmiştir. Ancak, çizimdeki yarım çemberlerin çizim başlangıç noktaları kareye tam oturmamakta; sol, üst ve sağ kenarlardan 1 cm içeride, alt kenardan ise 2 cm içeriden başlanmaktadır.

Bu bilgiler ışığında, şeklin oluşturulmasında kullanılan yayların ölçüleri şu şekilde hesaplanır:

• Üst Yarım Çember: Üst kenarda, sol ve sağ kenardan 1 cm boşluk bırakıldığında, yarım çemberin çapı 8 – 1 – 1 = 6 cm olur. Dolayısıyla yarıçapı \( r = 3 \) cm olur ve yarım çemberin yay uzunluğu, \( \pi r \) formülüyle;
  \( \pi r = 3 × 3 = 9 \) cm (burada \(\pi\) yerine 3 alıyoruz) bulunur.
• Yan Çeyrek Daireler: Sol ve sağ kenarlardan 1 cm içeride başlayan diğer iki parça, kare alt kenarındaki ekstra 1 cm fark nedeniyle aslında çemberin tam yarım dairesiyle birleşen, iki çeyrek daire olarak düşünülebilir. Her bir çeyrek dairenin yay uzunluğu, tam çemberin çevresinin çeyreği olarak hesaplanır:
  Tam çemberin çevresi \( = 2\pi r = 2×3×3 = 18 \) cm olduğuna göre, her bir çeyrek dairenin yay uzunluğu \( = \frac{18}{4} = 4.5 \) cm olur.

Toplam Çevre Hesabı: Şeklin çevresi, üst yarım çemberin yay uzunluğu ile sol ve sağ çeyrek dairelerin yay uzunluklarının toplamıdır:
\( 9 \text{ cm} + 4.5 \text{ cm} + 4.5 \text{ cm} = 18 \text{ cm} \).

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• A) 14 cm: Bu değer, yarım çember ve çeyrek dairelerin yay uzunluklarının toplamından çok daha düşüktür.
• B) 16 cm: 16 cm de, doğru hesaplamada elde edilen 18 cm’ye ulaşmaz; yay uzunlukları bu değere uymamaktadır.
• D) 20 cm: 20 cm, hesaplamada bulunan 18 cm’den fazla olup, verilen çizim başlangıç noktalarıyla uyumlu değildir.

Sonuç: Verilen ölçülere ve çizim kuralına göre, şeklin çevresi toplamda 18 cm olarak hesaplanır. Bu hesaplama, üst yarım çemberin 9 cm ve her iki yan çeyrek dairenin 4.5 cm’lik yay uzunluklarının toplamından elde edilmiştir.

Bu nedenle, doğru cevap “C) 18”‘dir.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda, bir otomobilin 720 m yol gidebilmesi için, çapı 80 cm olan bir tekerleğin kaç tam tur dönmesi gerektiği hesaplanmaktadır. Hesaplamada, tüm ölçü birimlerini aynı cins yapmak önemlidir.

Adım 1: Otomobilin yolunu santimetre cinsine çevirelim:

\[ 720 \text{ m} = 720 \times 100 = 72000 \text{ cm} \]

Adım 2: Tekerleğin çevresini hesaplamak için çemberin çevre formülünü kullanırız. Normalde \( C = \pi \times d \) formülü geçerlidir, ancak soruda \(\pi\) yerine 3 alınması istendiği için:

\[ C = 3 \times 80 = 240 \text{ cm} \]

Adım 3: Tekerleğin her tam dönüşünde 240 cm yol kat ettiği bilindiğine göre, otomobilin toplam 72000 cm yol alabilmesi için tekerleğin kaç tam tur döndüğünü bulmak üzere, toplam mesafeyi tekerleğin çevresine böleriz:

\[ \text{Tur Sayısı} = \frac{72000 \text{ cm}}{240 \text{ cm}} = 300 \]

Öğretici Açıklama:

• Adım 1: Otomobilin gideceği mesafe 720 m olup, bu değeri santimetreye çevirerek 72000 cm elde ettik.
• Adım 2: Tekerleğin çapı 80 cm olduğundan, çevresini \( C = \pi \times d \) formülüyle, \(\pi\) yerine 3 alınarak 240 cm olarak bulduk.
• Adım 3: Toplam mesafeyi tekerleğin çevresine böldüğümüzde, tekerleğin 300 tam tur döndüğünü hesapladık.
• Adım 4: Bu hesaplama, tekerleğin her dönüşünde alınan mesafe ile toplam yol arasındaki orantıyı ortaya koymaktadır.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• A) 150 tur: Bu değer, toplam mesafenin yarısı kadar tur döndüğünü öne sürer ki, doğru hesaplamada 300 tur gerekmektedir.
• C) 420 tur: 420 tur, verilen ölçülerle uyumsuz olup, tekerleğin çevresi göz önünde bulundurulduğunda çok yüksek bir değer sunar.
• D) 600 tur: 600 tur, mesafe ve tekerlek çevresi arasındaki orantıya tamamen ters düşen, abartılı bir değerdir.

Sonuç olarak, tekerleğin 300 tam tur dönmesi gerekmektedir.

Bu nedenle doğru cevap “B) 300” şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, kareli kâğıt üzerinde yer alan K, L, M, N ve O noktaları verilmiştir. Bir öğrenci, pergelini iki ucu arasındaki uzaklık 3 birim olacak şekilde açarak, iğneli ucunu kare üzerindeki O noktasına yerleştirip, merkezi O olan bir çember çiziyor. Bu durumda, çemberin yarıçapı 3 birim olur.

Verilen noktalara göre, O‘ya olan uzaklıklar şu şekildedir:

• K: 3 birim,
• M: 2 birim,
• N: 3 birim,
• L: 4 birim.

Matematiksel tanımlara göre, bir çemberin çevresini oluşturan noktalar, merkezden tam olarak yarıçap kadar uzaklıktadır. Yani, K ve N noktaları çemberin sınırında yer alır. M noktası, merkezden 2 birim uzaklıkta olduğundan çemberin iç bölgesinde kalır. L ise 4 birim uzaklıkta olduğundan, çemberin dışındadır.

Öğretici Açıklama:
Burada önemli olan, çemberin iç bölgesinin nasıl tanımlandığıdır. Bazı matematiksel tanımlarda, çemberin iç bölgesi (daire) açık küme olarak ele alınır; yani kenar üzerindeki noktalar (K ve N) iç bölgeye dahil edilmez. Ancak, pek çok uygulamada çemberin iç bölgesi kapalı küme olarak kabul edilir; bu durumda sınırdaki noktalar da (mesafesi tam 3 birim olan K ve N) iç bölgeye dahil sayılır.

Soruda verilen seçenekler, iki noktanın birlikte çemberin iç bölgesinde yer alıp almadığını sorgulamaktadır. Eğer iç bölgeyi kapalı küme olarak kabul edersek, K, M ve N tümü çemberin iç bölgesine dahildir; ancak L dışındadır. Bu durumda, seçenekler arasından M (kesinlikle içte, 2 birim) ile birlikte, N (veya K, 3 birim) çemberin iç bölgesinde yer almaktadır.

Seçenekleri incelediğimizde:

• A) K ve L: Burada L, 4 birim uzaklıkta olduğundan dışındadır.
• B) M ve K: Hem M (2 birim) hem de K (3 birim) çemberin kapalı iç bölgesinde kabul edilebilir; ancak seçeneklerde çemberin sınırındaki noktaların hangisinin tercih edileceği netleştirilmemiştir.
• C) M ve N: Bu seçenekte M, çemberin açık iç bölgesinde yer alırken; N, çemberin sınırında bulunur. Kapalı iç bölge tanımına göre, her ikisi de iç bölgeye dahildir.
• D) N ve L: N, sınırda yer alsa da, L dışındadır.

Genel kabul, özellikle benzer sorularda, çemberin iç bölgesini kapalı daire olarak ele almadır. Bu durumda, çemberin iç bölgesine yalnızca merkezden yarıçaptan daha kısa mesafedeki noktalar girer; yani, sadece M kesinlikle içte kalır. Ancak seçenekler, iki nokta içeren çiftler sunmaktadır. Bu belirsizlik içinde, sınırdaki noktaların (3 birim uzaklıkta olan K ve N) çemberin iç bölgesine dahil olup olmadığı tartışmalıdır.

Sorunun bağlamında ve önceki benzer sorulardaki yaklaşıma dayanarak, çemberin iç bölgesine yalnızca kesin olarak 2 birim uzaklıktaki M noktası girdiği kabul edilirse, doğru cevap seçenekleri arasında sadece tek bir nokta içeren çift bulunmaz. Fakat, eğer kapalı iç bölge kabul edilirse, K ve N de iç bölgeye dahildir. Bu durumda, seçenekler arasından “C) M ve N” seçeneği, M‘nin açıkça içte kalması ile birlikte, N‘nin de (kapalı iç bölge kabul edilirse) iç bölgeye dahil olduğunu ifade ettiği için tercih edilebilir.

Sonuç olarak, verilen ölçülere göre; M kesinlikle çemberin iç bölgesinde yer alırken, N (3 birim uzaklıkta) kapalı iç bölge tanımında iç sayılır.

Bu nedenle, doğru cevap olarak “C) M ve N” seçeneği belirlenir.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda, uzunluğu 96 cm olan bir çemberin üzerinde yer alan iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla ne kadar olabileceği sorulmaktadır. Matematiksel olarak, bir çember üzerindeki iki nokta arasındaki en büyük mesafe, çemberin çapına eşittir. Yani, merkezden geçen ve çemberin iki ucunu birleştiren en uzun kiriş, çapı oluşturur.

Çemberin çevresi (C) 96 cm olarak verilmiştir. Çemberin çevresi, genel olarak
\( C = 2\pi r \)
formülü ile hesaplanır. Ancak, bu soruda \(\pi\)’nin yerine 3 alınması istenmiştir.

Adım 1: Çevre formülünden yarıçapı (r) bulalım:

\[ r = \frac{C}{2 \times 3} = \frac{96}{6} = 16 \text{ cm} \]

Adım 2: Çember üzerindeki en büyük mesafe, yani çap, yarıçapın iki katıdır:

\[ \text{Çap} = 2 \times 16 = 32 \text{ cm} \]

Öğretici Açıklama:

• Kare Adım: Çemberin çevresi 96 cm olarak verilmiştir.
• Yarıçap Hesabı: Çevre formülü \( C = 2\pi r \) kullanılarak, ve \(\pi\)’nin yerine 3 alınarak, yarıçap \( r = \frac{96}{6} = 16 \) cm bulunur.
• Çapın Hesaplanması: Çemberin çapı, yarıçapın iki katıdır; dolayısıyla \( 2 \times 16 = 32 \) cm elde edilir.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• A) 8 cm: Bu değer, çemberin çapından çok daha küçüktür.
• B) 16 cm: Bu değer çemberin yarıçapını ifade eder; fakat en büyük mesafe yarıçapın iki katı, yani çapı olmalıdır.
• C) 24 cm: Bu değer, hesaplamalar sonucu ortaya çıkmamakta; çemberin çapı doğru şekilde hesaplandığında 32 cm bulunur.

Sonuç olarak, uzunluğu 96 cm olan bir çemberde, üzerinde yer alan iki nokta arasındaki en fazla mesafe, yani çemberin çapı 32 cm‘dir.

Bu nedenle doğru cevap “D) 32”‘dir.

11. Sorunun Çözümü

Bu soruda, kenar uzunluğu 18 cm olan bir karenin çevresi ile aynı uzunlukta olan bir çemberin yarıçapı hesaplanmaktadır. İlk olarak, karenin çevresini bulmamız gerekmektedir.

Bir karenin çevresi, dört kenarının toplamına eşittir. Dolayısıyla:

\[ P = 4 \times 18 = 72 \text{ cm} \]

Çemberin çevresi de karenin çevresi ile aynı olduğuna göre, çemberin çevresi 72 cm’dir. Çemberin çevresi, genel olarak \[ C = 2\pi r \] formülü ile hesaplanır. Ancak soruda \(\pi\)’nin yerine 3 alınması istenmiştir. Bu durumda formül şu şekilde sadeleşir:

\[ C = 2 \times 3 \times r = 6r \]

Adım Adım Hesaplama:

• Adım 1: Karenin çevresi \(4 \times 18 = 72 \text{ cm}\) olarak bulunur.
• Adım 2: Çemberin çevresi formülü, \(\pi\)’nin yerine 3 alınarak \(C = 6r\) haline gelir.
• Adım 3: Çemberin çevresinin karenin çevresine eşit olduğu bilgisiyle, \(6r = 72\) denklemi kurulur.
• Adım 4: Denklemi çözmek için, \(r = \frac{72}{6} = 12 \text{ cm}\) bulunur.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• A) 9 cm: Bu değer, doğru hesaplamadan elde edilen 12 cm yarıçap değerinin oldukça altındadır.
• C) 16 cm: 16 cm yarıçaplı bir çemberin çevresi \(6 \times 16 = 96 \text{ cm}\) olur, bu da verilen 72 cm çevre ile uyuşmaz.
• D) 18 cm: 18 cm yarıçap, \(6 \times 18 = 108 \text{ cm}\) çevre eder; bu da çevre olarak 72 cm’den çok daha fazladır.

Sonuç olarak, kenar uzunluğu 18 cm olan karenin çevresi 72 cm iken, aynı çevreye sahip çemberin yarıçapı \( \frac{72}{6} = 12 \text{ cm} \) olarak hesaplanır.

Bu nedenle doğru cevap “B) 12”‘dir.

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda, ABCD dikdörtgeninin içinde bulunan iki eş çember, dikdörtgenin kenarlarına ve birbirlerine teğet olacak şekilde yerleştirilmiştir. Çemberlerin uzunluklarının toplamı 216 cm olarak verilmiş ve hesaplamalarda \(\pi\)‘nin yerine 3 alınması istenmiştir. Amacımız, bu bilgilerden yola çıkarak dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğunu bulmaktır.

İlk olarak, iki çemberin toplam çevresinin 216 cm olması durumunda, her bir çemberin çevresi:
\[ C_{\text{çember}} = \frac{216}{2} = 108 \text{ cm} \]

Çemberin çevresi formülü:
\[ C = 2\pi r \]
olmak üzere, \(\pi = 3\) alındığında:
\[ 108 = 2 \times 3 \times r = 6r \] şeklinde yazılır.

Denklemi çözerek:
\[ r = \frac{108}{6} = 18 \text{ cm} \]

Her çemberin çapı \(2r\)’dir, yani:
\[ \text{Çap} = 2 \times 18 = 36 \text{ cm} \]

Dikdörtgenin uzun kenarı, çemberlerin yan yana konumlandığı durumda, her iki çemberin çaplarının toplamına eşit olacaktır. Çünkü çemberler, dikdörtgenin uzun kenarına teğet ve birbirlerine de teğet yerleştirilmiştir. Bu durumda:
\[ \text{Uzun kenar} = 36 \text{ cm} + 36 \text{ cm} = 72 \text{ cm} \]

Öğretici Açıklama:

• Adım 1: Toplam çevre 216 cm olduğundan, her bir çemberin çevresi 108 cm’dir.
• Adım 2: Çemberin çevresi formülü \(C = 2\pi r\) kullanılarak, \(\pi = 3\) alındığında \(108 = 6r\) denklemi elde edilir ve buradan \(r = 18 \text{ cm}\) bulunur.
• Adım 3: Her çemberin çapı, \(2r = 36 \text{ cm}\) olarak hesaplanır.
• Adım 4: Dikdörtgenin uzun kenarı, yan yana konumlandırılmış iki çemberin çaplarının toplamı olduğundan \(36 + 36 = 72 \text{ cm}\) olarak bulunur.

Neden Diğer Seçenekler Yanlıştır?

• B) 48 cm: Bu değer, çemberlerin çaplarının toplamı yerine farklı ölçüm yöntemleriyle elde edilmiş yanlış bir sonuçtur.
• C) 36 cm: 36 cm, yalnızca bir çemberin çapını ifade eder; ancak iki çemberin toplamı alınmalıdır.
• D) 18 cm: Bu değer, çemberin yarıçapını gösterir, fakat dikdörtgenin uzun kenarı için iki çemberin çapının toplamı gereklidir.

Sonuç olarak, verilen çemberlerin yerleşimi ve toplam çevre bilgilerine göre, dikdörtgenin uzun kenarı 72 cm‘dir.

Bu nedenle doğru cevap “A) 72”‘dir.