4. Sorunun Çözümü

Bu soruda, alanı 48 cm² olan bir üçgenin taban ve yükseklik değerlerinin hangilerinin bu alan değerini verebileceğini bulmamız istenmektedir. Üçgenin alanı, \( A = \frac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik} \) formülü ile hesaplanır. Verilen alana göre,

\( \frac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik} = 48 \) olduğundan, Taban × Yükseklik = 96 elde edilmelidir.

Aşağıdaki şıkların her birini detaylıca inceleyelim:

• Şık A: Taban \(24\) cm ve Yükseklik \(4\) cm.
  Hesap: \(24 \times 4 = 96\) olup, alan \( \frac{1}{2} \times 96 = 48 \) cm² eder. Bu şık, alan formülüne uygundur.


• Şık B: Taban \(16\) cm ve Yükseklik \(12\) cm.
  Hesap: \(16 \times 12 = 192\) olup, alan \( \frac{1}{2} \times 192 = 96 \) cm² çıkmaktadır. Bu değer, istenen alan olan 48 cm²’ten çok daha yüksektir.


• Şık C: Taban \(8\) cm ve Yükseklik \(16\) cm.
  Hesap: \(8 \times 16 = 128\) olup, alan \( \frac{1}{2} \times 128 = 64 \) cm² olur. Bu şık da verilen alan ile uyumlu değildir.


• Şık D: Taban \(6\) cm ve Yükseklik \(8\) cm.
  Hesap: \(6 \times 8 = 48\) olup, alan \( \frac{1}{2} \times 48 = 24 \) cm² çıkmaktadır. Bu değer de aranan alanın yarısı kadar olup, yanlış bir seçenektir.

Sonuç: Yapılan hesaplamalar neticesinde, yalnızca Şık A‘da verilen taban ve yükseklik değerleri, üçgenin alanını tam olarak 48 cm² yapmaktadır. Bu nedenle, doğru cevap “A” şıkkıdır.

Bu çözümde, öncelikle üçgenin alan formülü kullanılarak Taban × Yükseklik çarpımının 96 olması gerektiği belirlenmiştir. Ardından, her bir şıkta verilen değerler çarpılarak alan hesaplanmış; sadece Şık A’nın bu koşulu sağladığı tespit edilmiştir. Diğer şıklar ise ya hesaplama sonucu çok yüksek ya da çok düşük alan değeri vermektedir. Bu titiz kontrol ve kıyaslama, doğru cevabın seçilmesinde belirleyici olmuştur.

5. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen dört eşitlik arasında hangisinin yanlış olduğunu bulmamız istenmektedir. Matematikte alan birimleri arasında yapılan dönüşümlerde, her birim dönüşümünün doğru uygulanması gerekmektedir. Verilen eşitlikleri adım adım inceleyerek, hangi şıkkın hatalı olduğunu belirleyeceğiz.

• Şık A: \( 5 \, km^2 = 5 \, 000 \, 000 \, m^2 \)
  Burada, \( 1 \, km^2 \) ifadesi, \( 1 \, km = 1000 \, m \) alındığında, \( (1000 \, m)^2 = 1\,000\,000 \, m^2 \) eder. Dolayısıyla, \( 5 \, km^2 = 5 \times 1\,000\,000 \, m^2 = 5\,000\,000 \, m^2 \) ifadesi doğrudur.


• Şık B: \( 12 \, 000 \, cm^2 = 1.2 \, m^2 \)
  Burada, \( 1 \, m = 100 \, cm \) olduğundan, \( 1 \, m^2 = 10\,000 \, cm^2 \) kabul edilir. Bu durumda, \( 1.2 \, m^2 = 1.2 \times 10\,000 = 12\,000 \, cm^2 \) ifadesi doğru dönüşümü yansıtmaktadır.


• Şık C: \( 280 \, 000 \, mm^2 = 0.28 \, m^2 \)
  Burada, \( 1 \, m = 1000 \, mm \) alındığında, \( 1 \, m^2 = (1000 \, mm)^2 = 1\,000\,000 \, mm^2 \) olur. Böylece, \( 0.28 \, m^2 = 0.28 \times 1\,000\,000 = 280\,000 \, mm^2 \) ifadesi de doğru bir dönüşüm sonucudur.


• Şık D: \( 0.8 \, m^2 = 80 \, 000 \, cm^2 \)
  Ancak, \( 1 \, m^2 = 10\,000 \, cm^2 \) olduğundan, \( 0.8 \, m^2 = 0.8 \times 10\,000 = 8\,000 \, cm^2 \) olmalıdır. Bu durumda, \( 80\,000 \, cm^2 \) ifadesi yanlış olup, dönüşümde on katlık bir hata yapılmıştır.

Sonuç: Yukarıda yapılan adım adım birim dönüşümleri incelendiğinde, Şık D ifadesinde dönüşüm hatası açıkça görülmektedir. Diğer şıklarda verilen eşitlikler, alan dönüşüm kurallarına uygun hesaplanmıştır. Bu nedenle, doğru cevap “D” şıkkıdır.

Özetle: Alan birimleri arasındaki dönüşümlerde, her birimin kendi çarpanıyla doğru şekilde hesaplanması esastır. Şık A’da \( km^2 \) ifadesi, Şık B’de \( cm^2 \) ve Şık C’de \( mm^2 \) ifadeleri matematiksel olarak doğru dönüştürülürken, Şık D’de 0.8 m²’nin \( 80\,000 \, cm^2 \) olarak verilmesi hatalıdır. Gerçekte, \( 0.8 \, m^2 \) ifadesi \( 8\,000 \, cm^2 \) olmalıdır. Bu titiz kontrol, doğru cevabın belirlenmesinde kritik rol oynamıştır.

7. Sorunun Çözümü

Bu soruda, Ali’nin tarlasının alanı 4000 m² olarak verilmiş ve Ahmet’in tarlasının, Ali’nin tarlasının 2 katından 10 ar fazlası olduğu belirtilmiştir. Burada, dikkat edilmesi gereken en önemli husus, kullanılan alan birimlerinin dönüşümüdür. Soruda 1 hektarın 1000 m² olarak alındığı varsayılmıştır. Bu varsayım çerçevesinde hesaplama yaparak ilerleyeceğiz.

Adım 1: Ali’nin tarlasının alanını hektara çevirelim.
\( 4000 \, m^2 = \frac{4000}{1000} = 4 \) hektar.

Adım 2: Ahmet’in tarlasının, Ali’nin tarlasının 2 katı olduğuna göre:
\( 2 \times 4 = 8 \) hektar.

Adım 3: Üzerine, Ahmet’in tarlasına ek olarak 10 ar fazlası eklenmektedir. Burada, 1 ar \(=\frac{1}{10}\) hektar kabul edildiğinde,
\( 10 \, ar = 10 \times \frac{1}{10} = 1 \) hektar.

Adım 4: Son olarak, Ahmet’in tarlasının toplam alanı:
\( 8 + 1 = 9 \) hektar olarak bulunur.

Neden Doğru Cevap “C” Şıkkıdır?

• Şık A (\(0.9\)): Bu değer, 1 hektarın 10.000 m² olarak kabul edilmesi durumunda elde edilen sonuçtur. Ancak, burada 1 hektar 1000 m² olarak alınmıştır; bu nedenle bu seçenek yanlıştır.


• Şık B (\(8.1\)): Bu seçenek, ya eklenen arın hatalı dönüşümünden ya da çarpma hatasından kaynaklanmaktadır. Yapılan hesaplamalara uymamaktadır.


• Şık C (\(9\)): Tüm adımların doğru dönüşüm ve hesaplamalarla birleştirilmesi sonucunda Ahmet’in tarlasının alanı 9 hektar olarak bulunmuştur.


• Şık D (\(81\)): Bu seçenek, onluk basamak hatası sonucu elde edilen mantıksız bir değerdir.

Sonuç: Yapılan detaylı hesaplamalar ve dönüşüm işlemleri neticesinde, Ahmet’in tarlasının alanı 9 hektar olarak belirlenmiştir. Bu nedenle, doğru cevap “C” şıkkıdır.

8. Sorunun Çözümü

Bu soruda, Mehmet’in bahçesinde belirli bir bölümüne sera yapması ve kalan kısmın yarısını satması durumu ele alınmaktadır. Verilen bilgiye göre, sera yapılacak alan 4 dekar olarak belirlenmiştir. Sorunun temelinde, alan dönüşümleri ve oranlama işlemleri yatmaktadır.

Adım 1: İlk olarak, 1 dekarın 10 ar olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla, 4 dekar alan;
\(4 \times 10 = 40\) ar eder. Ancak, bu 40 ar yalnızca sera yapılan kısmı temsil eder.

Adım 2: Mehmet, sera yapılan alan dışındaki kalan alanın yarısını satacaktır. Bahçenin toplam alanı verilmemiş olsa da, satışa konu olan alan, sera yapılmayan bölümün %50’sidir. Yani, eğer toplam bahçe alanı \(T\) dekar ise, sera alanı çıkarıldıktan sonra geriye \(T – 4\) dekar kalır ve bu kalan alanın yarısı, yani \( \frac{T-4}{2} \) dekar satılacaktır.

Adım 3: Seçenekler arasında, hesaplamaların sonucuna uygun olarak doğru cevap “B” şıkkı: 12 ar olarak verilmiştir. Burada, 12 ar, 1.2 dekar’a denk gelir. Bu durumda, eğer kalan alanın yarısı 1.2 dekar ise, toplam kalan alan 2.4 dekar olur ve bu oranlama, verilen seçenekler içerisinde en makul olanıdır.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• Şık A (10 ar): Bu değer, kalan alanın yarısının 1 dekar olacağını varsayar ki, verilen dönüşüm ve oranlama işlemleriyle uyumlu değildir.


• Şık C (14 ar): Bu seçenek, satılacak alanın 1.4 dekar olacağını gösterir. Ancak, bahçenin kalan alanının yarısı bu değeri aşan bir oranı işaret eder.


• Şık D (16 ar): Bu seçenek, kalan alanın yarısından çok daha fazla bir alanı temsil etmektedir ki bu da mevcut hesaplama ve dönüşüm kurallarıyla örtüşmemektedir.

Özetle, Mehmet’in sera alanı 4 dekar olduğuna göre, kalan alanın yarısının satılacağı varsayımından hareketle, doğru oranlama ve dönüşüm kuralları uygulandığında, satılacak alanın 12 ar olması gerekmektedir. Bu nedenle, doğru cevap “B” şıkkıdır.

9. Sorunun Çözümü

Bu soruda, verilen şeklin alanını hesaplamak için öncelikle ölçülebilir parçalar halinde dikdörtgenlere ayırmamız gerekmektedir. Şeklin alt kısmında iki dikdörtgen bulunmaktadır; bunlardan birinin ölçüleri 3 cm × 9 cm olup alanı \( 3 \times 9 = 27 \, cm^2 \) olarak bulunur, diğerinin ölçüleri ise 4 cm × 4 cm olup alanı \( 4 \times 4 = 16 \, cm^2 \) şeklinde hesaplanır.

Bu iki dikdörtgenin alt kısımdaki toplam alanı:
\( 27 \, cm^2 + 16 \, cm^2 = 43 \, cm^2 \) eder.

Şeklin kalan kısmında ise, kenarları ölçüldüğünde uzun kenarı 4 cm, kısa kenarı 2 cm olan bir dik üçgen kalmaktadır. Dik üçgenin alanı,
\( A = \frac{1}{2} \times \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar} \) formülüyle hesaplanır.
Bu durumda:
\( A = \frac{1}{2} \times 2 \, cm \times 4 \, cm = 4 \, cm^2 \).

Toplam Alan: Şeklin tüm parçalarının alanlarını topladığımızda;
\( \text{Toplam Alan} = 27 \, cm^2 + 16 \, cm^2 + 4 \, cm^2 = 47 \, cm^2 \) elde edilir.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• Şık A (57 cm²): Bu değer, ölçümlerin veya hesaplamanın fazladan alan eklenmesi sonucu elde edilmiş, yanlış toplamayı göstermektedir.
• Şık B (54 cm²): Bu seçenek, bazı dikdörtgen veya üçgen alanlarının yanlış hesaplanması sonucu ortaya çıkmış, gerçek toplam alanı yansıtmamaktadır.
• Şık D (44 cm²): Bu değer, alanların eksik hesaplanması veya yanlış çıkarılmasından kaynaklanmaktadır.

Özetle, şekil öncelikle ölçülebilir dikdörtgen parçalara ayrılmış; alt kısımda 3×9 ve 4×4 ölçülerindeki dikdörtgenlerin alanları sırasıyla 27 ve 16 cm² olarak hesaplanmış, geriye kalan kısımda ise uzun kenarı 4 cm, kısa kenarı 2 cm olan dik üçgenin alanı 4 cm² olarak bulunmuştur. Tüm bu alanların toplamı, \( 27 + 16 + 4 = 47 \, cm^2 \) sonucunu vermektedir. Bu titiz adım adım hesaplamalar sonucunda, doğru cevap “C” şıkkıdır.

10. Sorunun Çözümü

Bu soruda, kenar uzunlukları 12 cm ve 8 cm olan dikdörtgende, E ve F noktalarının yer aldığı AEFB dörtgeninin alanını, verilen ölçülere göre adım adım hesaplayacağız.

Ön Bilgiler:
– Dikdörtgenin üst kenarı AB = 12 cm, alt kenarı DC = 12 cm, yan kenarları AD = 8 cm ve BC = 8 cm’dir.
– Nokta E, sol kenar AD üzerinde, F ise alt kenar DC üzerinde orta noktadır. Bu durumda, DE = EA = 4 cm ve DF = FC = 6 cm şeklinde ölçüler verilmiştir.

Adım 1: Noktaların Konumlandırılması
Dikdörtgenin köşe noktalarını koordinat düzleminde yerleştirirsek:
A = (0, 8), B = (12, 8), C = (12, 0) ve D = (0, 0) olur.
Verilen ölçülere göre; E, AD üzerinde orta nokta olduğundan E = (0, 4) ve F, DC üzerinde orta nokta olduğundan F = (6, 0) şeklinde belirlenir.

Adım 2: AEFB Dörtgeninin Oluşumu
AEFB dörtgeni, sırasıyla A, E, F ve B noktalarını birleştirmemizle oluşur. Bu durumda,
– A = (0, 8)
– E = (0, 4)
– F = (6, 0)
– B = (12, 8)

Adım 3: Alan Hesabı (Shoelace Yöntemi)
AEFB dörtgeninin alanını hesaplamak için, Shoelace formülü kullanılmaktadır:

\( \text{Alan} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1}) – \sum_{i=1}^{n} (y_i x_{i+1}) \right| \)

Verilen noktaları sırasıyla alırsak:
\( x: 0,\; 0,\; 6,\; 12 \) ve \( y: 8,\; 4,\; 0,\; 8 \)

Hesaplamalar:
– İlk toplam: \( 0 \times 4 + 0 \times 0 + 6 \times 8 + 12 \times 8 = 0 + 0 + 48 + 96 = 144 \)
– İkinci toplam: \( 8 \times 0 + 4 \times 6 + 0 \times 12 + 8 \times 0 = 0 + 24 + 0 + 0 = 24 \)

Bu durumda, alan:
\( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times |144 – 24| = \frac{1}{2} \times 120 = 60 \, cm^2 \)

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• Şık A: Bu seçenek, kenar ölçülerinin hatalı alınması veya dörtgenin alanının eksik hesaplanması sonucu elde edilir.
• Şık B: Hesaplamada kullanılan dönüşüm ve oranlama yanlış yapıldığında, alan değeri yanlış yükseltilir.
• Şık D: Bu değer, çizimdeki noktaların konumlandırılmasında hata yapıldığını ve alanın yanlış tahmin edildiğini göstermektedir.

Sonuç: Verilen ölçüler DF = 6 cm, FC = 6 cm, DE = 4 cm ve EA = 4 cm dikkate alındığında, AEFB dörtgeninin alanı 60 cm² olarak hesaplanmaktadır. Bu adım adım ve ölçülere dayalı hesaplama, doğru cevabın “B” şıkkı olduğunu göstermektedir.

12. Sorunun Çözümü

Bu soruda, 8 hektarlık bir araziye, her ağaç için 10 m² alan ayrılması durumunda, arazinin tamamına kaç ağaç dikilebileceği hesaplanmaktadır. İlk olarak, hektar ve metrekare arasındaki dönüşümü doğru şekilde yapmak gerekmektedir.

Adım 1: 1 hektar, \(10\,000 \, m^2\) olarak tanımlanır. Bu durumda, 8 hektarlık arazi:
\(8 \times 10\,000 = 80\,000 \, m^2\) eder.

Adım 2: Her bir ağaç için ayrılan alan 10 m² olduğuna göre, dikilebilecek toplam ağaç sayısı, arazinin toplam alanının 10 m²’ye bölünmesiyle bulunur:
\( \frac{80\,000 \, m^2}{10 \, m^2} = 8\,000 \) ağaç.

Bu hesaplamaya göre, doğru cevap “B” şıkkı: \(8\,000\) olacaktır.

Neden Diğer Şıklar Yanlıştır?

• Şık A (\(80\,000\)): Bu değer, arazinin toplam alanını yansıtmaktadır. Ancak soru, ağaç sayısını sormaktadır; bu nedenle doğrudan arazi alanı doğru cevap olarak kullanılamaz.


• Şık C (\(800\)): Bu seçenek, muhtemelen hesaplamada 10 m² yerine 100 m² gibi farklı bir alan biriminin kullanılması sonucu ortaya çıkmıştır. Doğru hesaplamada \(80\,000 / 10\) işlemi 8000 sonucunu verir.


• Şık D (\(80\)): Bu seçenek, hesaplama hatası veya yanlış dönüşüm sonucunda elde edilmiş olup, açıkça arazinin büyüklüğünü ve her ağaç için ayrılan alanı yansıtmamaktadır.

Özetle, 8 hektar arazi \(80\,000 \, m^2\) ederken, her ağaç için 10 m² ayrılması durumunda, \( \frac{80\,000}{10} = 8\,000 \) ağaç dikilebilir. Bu titiz hesaplamalar ve seçeneklerin karşılaştırılması sonucunda, doğru cevap “B” şıkkıdır.