Bir biyokimya laboratuvarında bulunan hassas akıllı dondurucunun başlangıç sıcaklığı bir rasyonel sayıdır. Sistem uzmanı, dondurucunun sıcaklık ayarını kontrol ederken şu matematiksel formülü test etmektedir:
“Başlangıç sıcaklığının yarısına, \( 8\frac{1}{2}^\circ\text{C} \) eklendiğinde dijital ekranda \( -3\frac{1}{2}^\circ\text{C} \) değeri görülmektedir.”
Buna göre, akıllı dondurucunun başlangıçtaki sıcaklık değeri kaç derecedir?
- \( -24 \)
- \( -10 \)
- \( -6 \)
- \( 10 \)
1. Sorunun Çözümü
Strateji: Sınav Sırrı: Rasyonel sayılarla denklem çözerken eşitliğin karşı tarafına sayı atıldığında işaretin değişeceğini unutma. Karşıdaki sayı zaten negatif ise, yanına eksi işaretli bir sayı daha geldiğinde toplama yapıp ortak eksi işaretini koymalısın!
1. Adım: Başlangıç sıcaklığına \( x \) diyelim ve verilen cümleyi matematiksel denkleme dökelim. İşlem kolaylığı için tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim.
$$ 8\frac{1}{2} = \frac{17}{2} $$
$$ -3\frac{1}{2} = -\frac{7}{2} $$
$$ \frac{x}{2} + \frac{17}{2} = -\frac{7}{2} $$
2. Adım: \( +\frac{17}{2} \) değerini eşitliğin diğer tarafına eksi olarak geçirelim.
$$ \frac{x}{2} = -\frac{7}{2} – \frac{17}{2} $$
$$ \frac{x}{2} = -\frac{24}{2} $$
$$ \frac{x}{2} = -12 $$
3. Adım: Bölüm durumundaki 2’yi karşı tarafa çarpım olarak gönderelim.
$$ x = -12 \cdot 2 $$
$$ x = -24 $$
Sonuç: Dondurucunun başlangıç sıcaklığı \( -24^\circ\text{C} \)’dir. (Çeldirici Analizi: B şıkkı, karşı tarafa geçerken işaret değiştirmeyi unutup \( -\frac{7}{2} + \frac{17}{2} = 5 \) bulanların, D şıkkı ise pozitif \( +5 \)’i 2 ile çarpanların düşeceği tuzaktır.)
Doğru cevap A seçeneğidir.
Ege yöresindeki organik bir zeytinyağı üreticisi, hasat sonunda elde ettiği \( 72 \) litrelik sızma zeytinyağının \( \frac{1}{6} \)’sını kendi ailesinin yıllık tüketimi için ayırmıştır.
Üretici, geriye kalan zeytinyağının tamamını e-ticaret sitesi üzerinden satmak amacıyla her biri \( \frac{4}{5} \) litre kapasiteli özel tasarım cam şişelere, hiç artmayacak ve şişeler tam dolacak şekilde dolduracaktır.
Buna göre üreticinin bu işlem için kaç adet cam şişeye ihtiyacı vardır?
- \( 48 \)
- \( 60 \)
- \( 75 \)
- \( 90 \)
2. Sorunun Çözümü
Strateji: Bir bütünü eş parçalara ayırma, ambalajlama veya paylaştırma soruları kesinlikle bölme işlemi gerektirir. Rasyonel sayılarda bölme yaparken birinci sayıyı aynen yazıp, ikinci sayıyı ters çevirerek çarpmayı unutma. Ancak işleme başlamadan önce elinde kalan net miktarı bulduğundan emin ol!
1. Adım: Önce üreticinin ailesi için ayırdığı miktarı bulup, geriye kalan net zeytinyağı hacmini hesaplarız:
$$ 72 \cdot \frac{1}{6} = 12 \text{ litre (Ayrılan miktar)} $$
$$ 72 – 12 = 60 \text{ litre (Kalan miktar)} $$
2. Adım: Kalan \( 60 \) litrelik zeytinyağını \( \frac{4}{5} \) litrelik şişelere paylaştırmak için bölme işlemi yaparız:
$$ 60 \div \frac{4}{5} = 60 \cdot \frac{5}{4} $$
3. Adım: Çarpma işlemini yaparken önce sadeleştirme yapmak işimizi kolaylaştırır. \( 60 \) ile \( 4 \)’ü sadeleştirirsek \( 15 \) kalır:
$$ 15 \cdot 5 = 75 $$
Sonuç: Üreticinin bu işlem için tam \( 75 \) adet cam şişeye ihtiyacı vardır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Zeynep Hanım, bir çevrim içi market uygulamasından aşağıdaki ürünleri sepetine eklemiştir:
- Kilogramı \( 24 \) TL olan domatesten \( 2\frac{1}{2} \) kg,
- Kilogramı \( 35 \) TL olan muzdan \( 1\frac{1}{5} \) kg,
- Kilogramı \( 180 \) TL olan peynirden \( \frac{3}{4} \) kg.
Buna göre Zeynep Hanım, bu alışveriş için toplam kaç TL ödeme yapar?
- \( 216 \)
- \( 237 \)
- \( 245 \)
- \( 342 \)
3. Sorunun Çözümü
Strateji: Tam sayılı kesirlerle çarpma işlemi yapmadan önce, tüm tam sayılı ifadeleri mutlaka bileşik kesre çevirmelisin. Aksi takdirde sadece tam kısımları çarparak işlem hatasına düşersin!
1. Adım: Domates için ödenecek tutarı bulalım. ( \( 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \) )
$$ 24 \cdot \frac{5}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ TL} $$
2. Adım: Muz için ödenecek tutarı bulalım. ( \( 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} \) )
$$ 35 \cdot \frac{6}{5} = 7 \cdot 6 = 42 \text{ TL} $$
3. Adım: Peynir için ödenecek tutarı bulalım.
$$ 180 \cdot \frac{3}{4} = 45 \cdot 3 = 135 \text{ TL} $$
Sonuç: Ürünlerin toplam maliyetini hesaplayalım:
$$ 60 + 42 + 135 = 237 \text{ TL} $$
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir mobil bilgi yarışmasında alınan puanlar rasyonel sayılarla gösterilmektedir. Emir, oyunun ilk iki turunda yukarıdaki ekranda yazan puanları almıştır.
Buna göre, Emir’in iki tur sonundaki toplam puanı kaçtır?
- \( -\displaystyle \frac{1}{2} \)
- \( \displaystyle \frac{1}{2} \)
- \( -\displaystyle \frac{1}{10} \)
- \( -\displaystyle \frac{11}{10} \)
4. Sorunun Çözümü
Strateji: Rasyonel sayılarla toplama işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması şarttır. Eğer işaretler zıt ise (biri negatif, biri pozitif), paydalar eşitlendikten sonra mutlak değeri büyük olandan küçük olan çıkarılır ve büyüğün işareti verilir.
1. Adım: İşlemi Yazma ve Payda Eşitleme
Verilen puanlar: \( -\frac{4}{5} \) ve \( +\frac{3}{10} \).
Toplama işlemi: \( (-\frac{4}{5}) + \frac{3}{10} \)
Paydaları 10’da eşitlemek için birinci kesri 2 ile genişletelim:
$$ -\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = -\frac{8}{10} $$
2. Adım: Toplama İşlemi
Şimdi paydaları eşit olan iki kesri toplayalım:
$$ -\frac{8}{10} + \frac{3}{10} = \frac{-8 + 3}{10} = -\frac{5}{10} $$
3. Adım: Sadeleştirme
Sonucu en sade haliyle yazmalıyız. Pay ve paydayı 5’e bölelim:
$$ -\frac{5 \div 5}{10 \div 5} = -\frac{1}{2} $$
Sonuç: Emir’in toplam puanı \( -\frac{1}{2} \)‘dir.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Yukarıdaki şemada işlemlerin yapısal farkı renklerle gösterilmiştir. Bu mantığa göre;
$$ \frac{4}{\frac{2}{3}} – \frac{\frac{4}{2}}{3} $$
işleminin sonucu kaçtır?
- \( 2 \)
- \( \frac{10}{3} \)
- \( \frac{14}{3} \)
- \( \frac{16}{3} \)
5. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tür “merdivenli” işlemlerde en kritik nokta Ana Kesir Çizgisi‘ni bulmaktır. Ana kesir çizgisi, işlemin (eşittir, artı veya eksi) hizasında olan en uzun çizgidir. İşlemleri bu çizgiye göre “Üsttekini Aynen Yaz, Alttakini Ters Çevir Çarp” kuralıyla yapmalısın.
1. Adım (Sol Taraf): İşlem hizasındaki çizginin üstünde \( 4 \), altında \( \frac{2}{3} \) var. $$ \frac{4}{\frac{2}{3}} = 4 \cdot \frac{3}{2} $$ $$ = \frac{12}{2} = \mathbf{6} $$
2. Adım (Sağ Taraf): İşlem hizasındaki çizginin üstünde \( \frac{4}{2} \), altında \( 3 \) var. $$ \frac{\frac{4}{2}}{3} $$ Önce üstteki kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{4}{2} = 2 \). O halde işlem şuna döner: $$ \frac{2}{3} $$ (Eğer sadeleştirmeseydik: \( \frac{4}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) yine aynı sonuç çıkardı.)
3. Adım (Çıkarma): Bulduğumuz sonuçları birbirinden çıkaralım: $$ 6 – \frac{2}{3} $$ Kısa yoldan yapalım (Tam sayı ile paydayı çarp, payı çıkar): $$ \frac{(6 \cdot 3) – 2}{3} = \frac{18 – 2}{3} = \mathbf{\frac{16}{3}} $$
Sonuç: İşlemin sonucu \( \frac{16}{3} \)’tür.
Doğru cevap D seçeneğidir.
Bir bankanın dijital kasası, güvenlik nedeniyle şifresini matematiksel bir bulmaca olarak ekrana yansıtmaktadır. Kasanın açılması için aşağıdaki eşitliği sağlayan \( x \) değerinin girilmesi gerekmektedir.
$$ \frac{24}{10 – \left( \displaystyle \frac{12}{\displaystyle \frac{x}{4} + 1} \right)} = 3 $$
Buna göre, kasayı açacak olan \( x \) sayısı kaçtır?
- 16
- 20
- 24
- 28
6. Sorunun Çözümü
Strateji: Bu tür iç içe geçmiş (merdivenli) sorularda en dıştan başlayarak “Kutu Yöntemi” uygularız. Bilinmeyen kocaman ifadeyi bir kutu gibi düşün ve “Hangi sayıyla işlem yaparsam sonuç bu çıkar?” diye sor.
1. Adım: En büyük bölme işlemine odaklanalım.
$$ \frac{24}{\text{KUTU}} = 3 $$
24’ü kaça bölersek 3 çıkar? Cevap: 8. Demek ki paydanın tamamı 8 olmalı.
2. Adım: Paydadaki ifadeyi 8’e eşitleyelim.
$$ 10 – (\text{İç Kısım}) = 8 $$
10’dan kaç çıkarsa 8 kalır? Cevap: 2. Demek ki;
$$ \frac{12}{\displaystyle \frac{x}{4} + 1} = 2 $$
3. Adım: Şimdi bu kesre odaklanalım.
$$ \frac{12}{\text{Alt Kısım}} = 2 $$
12’yi kaça bölersek 2 çıkar? Cevap: 6. Demek ki;
$$ \frac{x}{4} + 1 = 6 $$
4. Adım: Son denklemi çözelim.
\( \frac{x}{4} + 1 = 6 \) ise \( +1 \)’i karşıya atalım: \( \frac{x}{4} = 5 \).
Hangi sayıyı 4’e bölersek 5 çıkar?
$$ x = 5 \cdot 4 = 20 $$
Sonuç: Kasayı açan şifre 20’dir.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Dört farklı tabletin şarj doluluk oranları görseldeki gibi kesirlerle ifade edilmiştir.
Buna göre, şarjı en fazla (en dolu) olan tablet hangisidir?
- I. Tablet
- II. Tablet
- III. Tablet
- IV. Tablet
7. Sorunun Çözümü
Strateji: Rasyonel sayıları (kesirleri) sıralarken “pasta dilimi” gibi düşünmek zordur. En garantili yöntem, paydaları (alt kısımları) eşitlemektir. Böylece parçaların büyüklüğü eşitlenir ve sadece kaç parça olduklarına (paylara) bakarız.
1. Adım: Kesirlerin paydaları: 3, 4, 6 ve 12’dir. Bu sayıların hepsi 12 sayısında birleşebilir (EKOK). Hepsini 12 olacak şekilde genişletelim:
- I. Tablet: \( \frac{2}{3} \) \(\rightarrow\) (4 ile çarp) \(\rightarrow\) \( \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \mathbf{\frac{8}{12}} \)
- II. Tablet: \( \frac{3}{4} \) \(\rightarrow\) (3 ile çarp) \(\rightarrow\) \( \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \mathbf{\frac{9}{12}} \)
- III. Tablet: \( \frac{5}{6} \) \(\rightarrow\) (2 ile çarp) \(\rightarrow\) \( \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \mathbf{\frac{10}{12}} \)
- IV. Tablet: \( \frac{7}{12} \) \(\rightarrow\) (Zaten paydası 12) \(\rightarrow\) \(\mathbf{\frac{7}{12}} \)
2. Adım: Paydalar eşitlendiğine göre, payı (üst kısmı) en büyük olan sayı en büyüktür: $$10 > 9 > 8 > 7$$ Bu durumda \( \frac{10}{12} \) yani \( \frac{5}{6} \) en büyük değerdir.
Sonuç: En fazla şarja sahip olan III. Tablettir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Laboratuvardaki dereceli bir kaba \( \displaystyle \frac{23}{4} \) litre sıvı doldurulmuştur.
Buna göre, kaptaki sıvı seviyesi hangi iki tam sayı (litre çizgisi) arasındadır?
- 3 ile 4 arasında
- 4 ile 5 arasında
- 5 ile 6 arasında
- 6 ile 7 arasında
8. Sorunun Çözümü
Strateji: Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek, sayının büyüklüğünü ve hangi tam sayılar arasında olduğunu görmenin en kesin yoludur.
1. Adım: Kesri Tam Sayılı Hale Getirme
Payı paydaya böleriz: \( 23 \div 4 \).
23’ün içinde 4, 5 kere vardır \( (5 \times 4 = 20) \) ve geriye 3 artar.
$$ \frac{23}{4} = 5 \frac{3}{4} $$
2. Adım: Aralığı Belirleme
Bulduğumuz sayı \( 5 \)’ten büyüktür çünkü yanında \( \frac{3}{4} \) gibi bir parça vardır.
Ancak \( 6 \)’ya henüz ulaşmamıştır (6 olması için \( \frac{24}{4} \) olması gerekirdi).
Sonuç: Sıvı seviyesi 5 ile 6 litre çizgileri arasındadır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
Bir laboratuvardaki hassas terazi, ölçüm sonuçlarında oluşan sapma miktarını sistemsel bir hata nedeniyle ondalık yerine rasyonel sayı olarak göstermektedir.
Teknik ekip, sapma değerinin not kağıdındaki gibi \( \displaystyle -\frac{3}{125} \) gram olduğunu tespit etmiştir.
Buna göre, bu sapma değerinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
- \( -0{,}024 \)
- \( -0{,}24 \)
- \( -0{,}032 \)
- \( -0{,}375 \)
9. Sorunun Çözümü
Strateji: Paydasında 125, 250 veya 500 bulunan kesirleri ondalık sayıya çevirmenin en pratik yolu, paydayı 1000 olacak şekilde genişletmektir. Unutma, \( 125 \cdot 8 = 1000 \) eşitliği bu tür sorularda hayat kurtarır.
1. Adım: Verilen rasyonel sayının paydasını 1000 yapmak için kesri 8 ile genişletelim.
$$ -\frac{3}{125} = -\frac{3 \cdot 8}{125 \cdot 8} $$
2. Adım: Genişletme işlemini uygulayalım.
$$ -\frac{24}{1000} $$
3. Adım: Elde edilen kesri ondalık gösterime çevirelim. Paydada 1000 olduğu için virgülden sonra 3 basamak olmalıdır.
$$ -0{,}024 $$
Sonuç: Sapma değerinin ondalık gösterimi \( -0{,}024 \)’tür.
Doğru cevap A seçeneğidir.
Bir doğa yürüyüşü parkurunun toplam uzunluğu \( \frac{15}{2} \) kilometredir.
Bu parkurda yürüyüşe başlayan bir sporcu, önce \( 2\frac{1}{4} \) km yürüyüp ilk molasını, ardından \( 1\frac{7}{8} \) km daha yürüyüp ikinci molasını vermiştir.
Sporcunun antrenman programındaki günlük hedefine ulaşması için tüm parkurun \( \frac{4}{5} \)’ini tamamlaması gerekmektedir.
Buna göre sporcunun hedefine ulaşabilmesi için ikinci moladan sonra kaç kilometre daha yürümesi gerekir?
- \( \frac{15}{8} \)
- \( \frac{17}{8} \)
- \( \frac{27}{8} \)
- \( \frac{33}{8} \)
10. Sorunun Çözümü
Strateji: Rasyonel sayılarla çok adımlı problemlerde, “bütünün kesri” ile “parçaların toplamı” kavramlarını birbirine karıştırmamak kritik bir sınav sırrıdır. Hedefi belirlerken toplam uzunluğun belirtilen kesrini almalı, sonra yürünen mesafeleri bu hedeften çıkarmalısın.
1. Adım: Önce hedeflenen mesafeyi bulalım. Bunun için toplam parkur uzunluğu olan \( \frac{15}{2} \)’nin \( \frac{4}{5} \)’ini hesaplıyoruz.
$$ \frac{15}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{60}{10} = 6 \text{ km (Hedeflenen mesafe)} $$
2. Adım: Sporcunun şu ana kadar toplam ne kadar yürüdüğünü bulmak için tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirip payda eşitliyoruz.
$$ 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \quad \text{ve} \quad 1\frac{7}{8} = \frac{15}{8} $$
$$ \frac{9}{4} + \frac{15}{8} = \frac{18}{8} + \frac{15}{8} = \frac{33}{8} \text{ km (Yürünen toplam mesafe)} $$
3. Adım: Hedefe ulaşmak için kalan mesafeyi bulmak adına, hedeflenen mesafeden yürünen toplam mesafeyi çıkarıyoruz.
$$ 6 – \frac{33}{8} = \frac{48}{8} – \frac{33}{8} = \frac{15}{8} \text{ km} $$
Sonuç: Sporcunun hedefine ulaşması için \( \frac{15}{8} \) km daha yürümesi gerekir. (Çeldirici Analizi: C şıkkı, hedefin \( \frac{4}{5} \) olduğunu unutup parkurun tamamından yürünen yolu çıkaranların, D şıkkı ise sadece yürünen yolu hesaplayıp işlemi bitirenlerin işaretleyeceği tuzaklardır.)
Doğru cevap A seçeneğidir.
Teknoloji ve tasarım dersi için 3D yazıcı kullanan Zeynep, makineye yeni taktığı tam dolu bir filament (yazıcı plastiği) rulosu ile art arda iki farklı obje üretecektir.
Yazıcı, birinci obje için tüm rulonun \( \frac{1}{5} \)’ini eritiyor. İkinci obje için ise kalan filamentin \( \frac{1}{4} \)’ünü kullanıyor.
Üretimler tamamlandıktan sonra Zeynep, ruloda tam \( 330 \) gram filament kaldığını tartıyor.
Buna göre, Zeynep’in kullandığı bu filament rulosunun başlangıçtaki toplam kütlesi kaç gramdır?
- \( 220 \)
- \( 550 \)
- \( 600 \)
- \( 660 \)
11. Sorunun Çözümü
Strateji: Rasyonel sayı problemlerinde “kalanın” kelimesi tam bir sınav tuzağıdır! Bu kelimeyi gördüğünde ikinci kesri asla birinciyle doğrudan toplama. Önce kalanı bulup, ikinci kesri bu kalan miktar üzerinden çarparak hesaplamalısın.
1. Adım: Birinci üretimden sonra kalan filamenti bulalım. Tüm ruloyu \( \frac{5}{5} \) kabul edersek:
$$ \frac{5}{5} – \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \text{ (1. işlemden sonra kalan)} $$
2. Adım: İkinci üretimde bu kalanın \( \frac{1}{4} \)’ü kullanılmıştır. Kalan miktar ile kesri çarparız:
$$ \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \text{ (2. obje için kullanılan)} $$
3. Adım: Kullanılan toplam miktarı ve en son rulo içinde kalanı bulalım:
$$ \frac{1}{5} \text{ (1. obje)} + \frac{1}{5} \text{ (2. obje)} = \frac{2}{5} \text{ (Toplam kullanılan)} $$
$$ \frac{5}{5} – \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \text{ (En son kalan miktar)} $$
4. Adım: Rulonun \( \frac{3}{5} \)’i \( 330 \) grama eşittir. Tamamını bulmak için \( 330 \)’u paydaki \( 3 \)’e böler, çıkan sonucu paydayla (\( 5 \)) çarparız:
$$ 330 \div 3 = 110 $$
$$ 110 \cdot 5 = 550 $$
Sonuç: Filament rulosunun başlangıçtaki kütlesi \( 550 \) gramdır.
Doğru cevap B seçeneğidir.
Bir teknoloji tasarım atölyesinde, dron tasarımı yapan bir öğrenci 3D yazıcı kullanarak parçaları üretecektir. Yazıcıya takılı olan filaman (plastik ip) makarasında başlangıçta \( \frac{17}{2} \) metre uzunluğunda filaman bulunmaktadır.
3D yazıcı; dronun ana gövdesi için \( \frac{13}{4} \) metre, pervane koruyucu destek parçaları için ise \( \frac{11}{3} \) metre filaman tüketerek baskıyı tamamlamıştır.
Buna göre, baskı işlemi bittiğinde makarada geriye kaç metre filaman kalmıştır?
- \( \frac{83}{12} \)
- \( \frac{21}{4} \)
- \( \frac{19}{12} \)
- \( \frac{29}{12} \)
12. Sorunun Çözümü
Strateji: Unutma, birden fazla parçanın tüketildiği problemlerde; önce harcanan toplam miktarı bulup, ardından bu toplamı bütünden çıkarmak, işlem hatası yapma riskini sıfıra indirir. Ortak katların en küçüğünü bularak paydaları eşitlemelisin!
1. Adım: İlk olarak harcanan toplam filaman miktarını bulalım. Gövde ve destek parçaları için tüketilen rasyonel sayıları toplamamız gerekiyor: \( \frac{13}{4} + \frac{11}{3} \)
2. Adım: Toplama işlemi için paydaları 12’de eşitleyelim. Birinci kesri 3 ile, ikinci kesri 4 ile genişletiriz:
$$ \frac{39}{12} + \frac{44}{12} = \frac{83}{12} \text{ metre (Harcanan toplam)} $$
3. Adım: Başlangıçtaki tüm filamandan harcanan miktarı çıkararak kalanı bulalım. Çıkarma işlemi için baştaki \( \frac{17}{2} \) kesrinin de paydasını 12 yapmak üzere 6 ile genişletelim:
$$ \frac{17 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{102}{12} $$
4. Adım: Son çıkarma işlemini yapalım:
$$ \frac{102}{12} – \frac{83}{12} = \frac{19}{12} \text{ metre} $$
Sonuç: Makarada geriye kalan filaman uzunluğu \( \frac{19}{12} \) metre olarak hesaplanmıştır.
Doğru cevap C seçeneğidir.